平面直角坐标系及其应用

1、.平面直角坐标系（基础）知识讲解【学习目标】1.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.2.能在平面直角坐标系中,根据坐标确定点,以及由点求出坐标，掌握点的坐标的特征.3.由数轴到平面直角坐标系,渗透类比的数学思想.【要点梳理】要点一、有序数对定义： 把有顺序的两个数a 与 b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a， b)要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换， (a， b) 与 (b， a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是 6 排 7 号，可以写成 (6， 7)的形式，而 (7， 6)则表示 7 排 6 号要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面画两

2、条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图 1).要点诠释： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a， b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（ a,b ）叫做点 P 的坐标，记作 :P(a,b)，如图 2.要点诠释：（ 1 ）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开（ 2 ）点 P(a， b) 中

3、， |a|表示点到 y 轴的距离； |b| 表示点到 x 轴的距离 .Word 资料.(3) 对于坐标平面任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应 ,反过来对于任意一对有序数对， 在坐标平面都有唯一的一点与它对应，也就是说， 坐标平面的点与有序数对是一一对应的要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的、四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图要点诠释：（ 1 ）坐标轴 x 轴与 y 轴上的点 (包括原点 )不属于任何象限（ 2 ）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方， 第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在

4、右下方 .2. 坐标平面的结构坐标平面的点可以划分为六个区域： x 轴， y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 . 这六个区域中，除了 x 轴与 y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面任意一个点，不在这四个象限，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为 0 ；y 轴上的点的横坐标为 0 （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上

5、点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a， -a) 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a， b) 关于 x 轴对称的点的坐标为(a,-b) ；P(a， b) 关于 y 轴对称的点的坐标为(-a,b) ；P(a， b) 关于原点对称的点的坐标为(-a,-b) 4.平行于坐标轴的直线上的点平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同；Word 资料.平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对1如果将一“13 排 10 号”的电影票简记为（ 13,10），那么（10,13 ）表示的电影票是排号.【思路点拨】 在平面上，

6、 一个数据不能确定平面上点的位置须用有序数对来表示平面点的位置【答案】 10,13.【解析】 由条件可知：前面的数表示排数，后面的数表示号数.【总结升华】 在表示时，先要“约定”顺序，一旦顺序“约定”，两个数的位置就不能随意交换，(a， b)与 (b ， a)顺序不同，含义就不同举一反三：【变式】某地10:00 时气温是6，表示为 (10， 6)，那么 (3，-7) 表示【答案】 3:00 时该地气温是零下7类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.如图，写出点A、 B、C、 D 各点的坐标 .【思路点拨】要确定点的坐标，要先确定点所在的象限，再看点到坐标轴的距离【答案与解析】解：由点A 向

7、x 轴作垂线，得A 点的横坐标是2 ，再由点 A 向 y 轴作垂线，得A 点的纵坐标是 3，则点 A 的坐标是 (2， 3)，同理可得点B、C、 D 的坐标所以，各点的坐标：A(2， 3)， B(3， 2)， C(-2 ， 1)， D(-1 ， -2) 【总结升华】 平面直角坐标系任意一点到x 轴的距离是这点纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离是这点横坐标的绝对值举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，如果点A 既在 x 轴的上方，又在y 轴的左边，且距离x 轴，y 轴分别为5 个单位长度和4 个单位长度，那么点A 的坐标为 ().A (5， -4)B(4， -5)C (-5 ， 4)D(-4 ，

8、5)【答案】 D.3.在平面直角坐标系中，描出下列各点A(4， 3)， B(-2 ，3)， C(-4 ，1)， D(2 ， -2) 【答案与解析】解：因为点A 的坐标是 (4， 3)，所以先在x 轴上找到坐标是4 的点 M ，再在 y 轴上找到坐标是 3 的点 N然后由点M 作 x 轴的垂线，由点N 作 y 轴的垂线，过两条垂线的交点就是Word 资料.点 A，同理可描出点B、 C、 D所以，点A、 B、 C、 D 在直角坐标系的位置如图所示【总结升华】对于坐标平面任意一点,都有唯一的一对有序数对和它对应；对于任意一对有序数对， 在坐标平面都有唯一的一点与它对应，也就是说， 坐标平面的点与有序

9、实数对是一一对应的举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知：A（ 3， 2）， B（ 5， 0），则 AOB 的面积为【答案】 5.类型三、 坐标平面及点的特征4.指出下列各点所在的象限或坐标轴A(4 ， 5)、 B(-2 ， 3)、 C(-4 ， -1) 、 D(2.5， -2) 、E(0， -4)、F(3， 0)、 G(0， 0).【思路点拨】 先判断所求点的横纵坐标的符号，进而判断所在象限【答案与解析】解：点 A 在第一象限，点B 在第二象限，点C 在第三象限，点D 在第四象限，点 E 在 y轴上，点 F 在 x 轴上，点 G 在原点上【总结升华】 本题主要考查点的坐标

10、的性质，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限点的符号，但注意坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x 轴上，又在 y 轴上举一反三：【变式 1】点 A(3， n)在第四象限，到x 轴的距离为4则点 A 的坐标为【答案】 (3， -4) 【高清课堂：第一讲平面直角坐标系1 369934练习3 】【变式 2】若点 P (a ,b) 在第二象限，则：（1）点 P1（ a ,-b) 在第象限；（2）点 P2（ -a ,b) 在第象限；（3）点 P3（ -a ,-b) 在第象限；（4）点 P4（ b ,a )在第象限 .【答案】（ 1）三；（ 2）一；（3）四；（ 4）四 .Word 资料.5.已

11、知点 A(-3 ， 2)与点 B(x， y)在同一条平行于 y 轴的直线上，且点 B 到 x 轴的距离等于 3，求点 B 的坐标【思路点拨】 由“点A(-3 ， 2)与点 B(x， y)在同一条平行于y 轴的直线上”可得点 B 的横坐标；由“点B 到 x 轴的距离等于3”可得B 的纵坐标为3 或 3，即可确定B 的坐标【答案与解析】解：如图，点 B 与点 A 在同一条平行于y 轴的直线上，点 B 与点 A 的横坐标相同， x -3 点 B 到 x 轴的距离为3， y 3 或 y -3 点 B 的坐标是 (-3 ， 3)或 (-3 ，-3) 【总结升华】 在点 B 的横坐标为 -3 的条件下，点

12、B 到 x 轴的距离等于3，则点 B 可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解举一反三：【变式 1】若 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为（） .A（ 3， 0）B（ 3， 0）或（ 3， 0）C（ 0，3）D（0，3）或（ 0， 3）【答案】 B.【高清课堂：第一讲平面直角坐标系 1 369934练习 4（5）】【变式 2 】在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P 到 x轴， y 轴的距离分别为 2， 5，则P 的坐标是；若去掉点 P 在第二象限这个条件，那么P 的坐标是 _.【答案】（ -5,2 ）；（ 5， 2），（ -5,2 ），（5，

13、 -2 ），（ -5 ， -2 ） .Word 资料.平面直角坐标系（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1 A 地在地球上的位置如图，则A 地的位置是（）.A.东经 130 ，北纬50B.东经 130 ，北纬60C.东经 140 ，北纬50D.东经 40，北纬502.点 A（ a， -2 ）在二、四象限的角平分线上，则a 的值是（） . 2 -211223已知点 M 到 x 轴、 y 轴的距离分别为4 和 6，且点 M 在 x 轴的上方、 y 轴的左侧，则点M 的坐标为 ().A (4， -6)B(-4 ， 6)C (6， -4)D (-6 ， 4)4已知 A(a，b) 、 B(b， a)表

14、示同一个点，那么这个点一定在() .A第二、四象限的角平分线上B第一、三象限的角平分线上C平行于 x 轴的直线上D平行于 y 轴的直线上5. 已知点 M (a ， b) ，过 M 作 MHx 轴于 H ，并延长到 N ，使 NHMH ，且N点坐标为 (2 ， 3) ，则 ab() . 0 1 156. ()在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，形的部不包含边界上的点 观察如图所示的中心在原点，一边平行于x 轴的形： 边长为 1 的形部有一个整点，边长为2 的形部有1 个整点，边长为3 的形部有9 个整点 ，则边长为8 的形部的整点的个数为() .A 64B 49C

15、36D 25Word 资料.二、填空题7.已知点 P(2 a， 3a 2)到两坐标轴的距离相等，则P 点的坐标为8.线段 AB 的长度为3 且平行 x 轴，已知点A 的坐标为（ 2 ，-5 ），则点 B 的坐标为.9.如果点 A(0 ， 1) ， B(3 ， 1) ，点 C 在 y 轴上，且 ABC 的面积是5，则 C 点坐标 _10.设 x、 y 为有理数，若x2y 2 2x y 6 0，则点（ x， y）在第象限 .11观察下列有序数对：(3，-1) 、5, 1，7,1 、 9, 1 、 根据你发现的规律，234第 100 个有序数对是12在平面直角坐标系中，点A、 B、C 的坐标分别为：

16、A(-2 ， 1)、 B(-3 ， -1) ， C(-1 ， -1) ，且 D 在 x 轴上方 . 顺次连接这4 个点得到的四边形是平行四边形，则 D 点的坐标为13已知平面直角坐标系两点M(5 ， a)， N(b ， -2) (1)若直线 MN x 轴，则 a， b；(2)若直线 MN y，轴，则a， b14 ()若点 P(x，y)的坐标满足x+y xy，则称点P 为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标，如三、解答题15如图，棋子“马”所处的位置为 (2， 3)(1)你能表示图中“象”的位置吗？(2)写出“马”的下一步可以到达的位置 (象棋中“马”走“日”字或“”字)16如图，若B（ x1

17、， y1）、C（ x2， y2 ）均为第一象限的点，O、 B、 C 三点不在同一条直线上.(1) 求 OBC 的面积（用含 x1、x2、 y1、 y2 的代数式表示） ；(2) 如图，若三个点的坐标分别为A（ 2,5）， B（ 7,7），C（ 9,1），求四边形 OABC 的面积 .Word 资料.17.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B1，第二次将三角形 OA 1B1 变换成三角形 OA 2B2，第三次将三角形 OA2 B2 变换成三角形 OA3 B3 ，已知 A(1 ，2)， A1(2，2)， A2(4， 2)， A3(8， 2)； B(2， 0)，

18、 B1(4， 0)， B2(8， 0)， B3(16 ， 0)(1)观察每次变换前后的三角形有何变化?找出规律，按此规律再将三角形OA 3B3 变换成三角形 OA 4B4，则 A4 的坐标是，B4 的坐标是；(2)若按 (1)中找到的规律将三角形OAB 进行 n 次变换， 得到三角形OAnBn，推测 An 的坐标是， Bn 的坐标是（3 ）求出 O的面积【答案与解析】一、选择题1. 【答案】 C.2. 【答案】 A；【解析】因为（a， -2 ）在二、四象限的角平分线上，所以a+(-2)=0 ，即 a=2.3. 【答案】 D；【解析】根据题意，画出下图，由图可知M（-6 ，4）.4. 【答案】

19、B；【解析】由题意可得：ab ，横坐标等于纵坐标的点在一三象限的角平分线上.5. 【答案】 B；【解析】由题意知：点 M（ a， b ）与点 N（ -2 ， -3 ）关于 x 轴对称，所以M(-2,3) .6. 【答案】 B；【解析】边长为奇数的形所含整点个数为奇数的平方，而边长为偶数的形所含整点个数与边长比此偶数少 1 的奇数的形所含整点个数相同 .二、填空题7. 【答案】 P（ 1， 1）或 P（ 2， -2 ）；【解析】2a3a2 ，得 a0或 a1，分别代入即可.8. 【答案】 B（ 5， -5 ）或（ -1 ，-5 ）；Word 资料.【解析】 xB235或-1，而 yB5 713）；9. 【答案】（ 0，）或（ 0，33【解析】