巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题

1、巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题【例 1】求 y= x+3 + x+2 + x+1 + x + x-1 + x-2 + x-3 的最小值，并指出y 为最小值时，x 的值为多少初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。绝对值的代数意义：a=a, (a 0) ；a = a, (a 0) 。绝对值的几何意义：a是数轴上表示数a 的点到原点的距离。众所周知，如果数轴上有两点A,B ，它们表示的数分别为a, b（ab) ，则A,B之间的距离：AB = a-b （如

2、图1）。设点X在数轴上表示的点为x,则 x-a + x-b表示点X 到点A 和点B 的距离之和：XA + XB，由图 2 可以看出， 如果 X 在 A，B 两点之间， 那么 XA + XB可以取到最小值AB，即：当axb 时， x-a + x-b 取最小值a-b ；同样，设点C 在数轴上表示的点为c，（ abc) ，则x-a + x-b + x-c 表示点X 到点 A、点 B 和点 C 的距离之和：XA + XB + XC，由图 3 可以看出， 如果 X 落在 B 点，那么 XA + XB + XC可以取到最小值AC，即：当x=b 时， x-a + x-b + x-c 取最小值a-c 。一般说

3、来，设f(x)= x-a ? + x-a ? + x-a ?+?+ x-a n，其中 a?a? a n， 那么：当 n 为偶数时，f min (x)=f(a)，其中a n/2 aan/2+1 ；且 f(a)=(a n-a 1)+(a n-1 -a 2)+?+(a n/2+1 -a n/2 )=(a n +an-1 +? a n/2+1 )-(a1+a2+?+a n/2 )当 n 为奇数时，f min (x)=f(a （ n+1 ） /2 ) ；且 f(a)=(an-a 1)+(an-1 -a 2)+?+【 a(n+1 ） /2+1-a (n+1 ） /2-1】=【 a+an-1+? a(n+1

4、） /2+1】- 【 a +a+?+ a(n+1 ） /2-1】n12也就是说，偶数个绝对值相加，当x 处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小， x 可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x 等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x 只有一个取值。利用这个原理来解决【例1】的问题将非常容易地得到结论： y= x-（ -3 ） + x- （ -2 ） + x-（ -1 ） + x-0 + x-1 + x-2 +x-3 ，所以x=0 时 y 最小，最小值为12。下面我们利用这一原理解决更多的问题。【例 2】已知y=? x+1 +2 x-1 + x-2 ，求y 的最小值。【解】 y=?(

5、2 x+1 +6 x-1 +3 x-2 )= ?（ x-（ -1 ） + x-（ -1 ） + x-1 +x-1 + x-1 + x-1 + x-1 + x-1 + x-2 + x-2 + x-2 ）有 11 个绝对值相加， 11 为奇数，当x=a 5， 即 x=1 时， y 最小为： ?(2 1+1 +31-2 )= ?（ 4+3 ） =7/3【例 3】已知a+3 + a-5 =8 ，求 a 的取值范围。【解】当- 3a5 时， a+3 + a-5 的最小值为8，a 的取值范围是- 3a5【例 4】已知2 a+1 + a-2 + b+1 +4 b-5 =9，求【解】 2 a+1 + a-2 = a+1 + a+1 + a-2 ，当b+1 +4 b-5 = b+1 + b-5 + b-5 + b-5 + b-5ab 的值。a=-1 时，最小值为3；，当b=5 时，最小值为6，2 a+1 + a-2 + b+1 +4 b-5 9，只有当a=-1 ， b=5 时，原式 =9 ，ab =（ -1 ） 5=-1【例 5】如图 4，一条公路旁有 6 个村庄，分别为公路边建一个公交站，请问建在哪一段比较合理A， B， C， D， E， F，现在政府要在【分析】所建公交站应该到各村的距离之和最小，以公路为数轴