指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)1

1、L本章的结构图如下:一、指数的性质a0 =1 a = 0nmmn(2) a i：=a m,n Z（一）整数指数哥1 .整数指数哥概念：an=aa".3a（nN）n个an1.aa=0,nNa2 .整数指数哥的运算性质：（1）amH=am而（m,nwZ）(3)(ab£=anbn(n=Z)m.nm.nm-na1nnna其中aa=aa=a,-=(ab)=ab=-.bbn3. a的n次方根的概念一般地，如果一个数的n次方等于a（n>1,nen*），那么这个数叫做a的n次方根,即：若xn=a，则x叫做a的n次方根，（n>1,neN"）例如：27的3次方根3/57=

2、3,27的3次方根V27=3,32的5次方根5/32=2,32的5次方根532=-2.说明：若n是奇数，则a的n次方根记作"a；若aa0则Uga0,若a<o则"a<0;若n是偶数，且a>0则a的正的n次方根记作Va,a的负的n次方根，记作："a;（例如：8的平方根土&=垃816的4次方根±析6=±2）若n是偶数，且aM0则联没意义，即负数没有偶次方根；O0n=0（n>1,nwN曲），n/0=0；n式子n/a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。（na）=a.4. a的n次方根的性质般地，若n是奇数，则nan =a；若

3、n是偶数，则Iana : 05.例题分析：例1 .求下列各式的值:（1）狄-8）(2)-10 2(3) 4;(3-n )4(4)7(a-bf(a>b河：略。化简:例2.已知a<b<0,n>1,nwN冲解：当n是奇数时，原式=(ab)+(a+b)=2a当n是偶数时，原式=|ab|+|a+b|=(ba)+(ab)=2a所以,GI一bn 例3.例4.求值:解:5 5-222(5 1)29-4 54(5-2)24（二）分数指数哥1 .分数指数哥：5 a10 = a1053124=a5 a 0 a = a12=a3 a 0计算：7t40.7-、40解：7.40.7-、40=,(5

4、2)2(5.2)2=25即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数哥的形式;n如果哥的运算性质（2） （ak ）kn =a对分数指数哥也适用,2 2例如：若a >0,则a32 3二a3 二a5、4a4即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数骞的形式。m 规定：（1）正数的正分数指数哥的意义是anvam (a >0,m,ne N*,n>1 )；（2）正数的负分数指数哥的意义是1an 二man(a>0,m,neN*,n>1).nma2,分数指数哥的运算性质：整数指数哥的运算性质对于分数指数哥也同样适用(1)aras =a"(

5、a>0,r,sw Q)r s rs2 a =a a0, r,s Qr r r3 ab = a b a 0,b 0, r 三 Q说明：（1）有理数指数哥的运算性质对无理数指数哥同样适用；2 2） 0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥没意义。3 .例题分析：例1.用分数指数哥的形式表示下列各式（a a o）：a2 .、a ,解：a2 a = a21a22a32 -=a 25=a2 ；11百a a2I J3a21,3=a4例2 .计算下列各式的值（式中字母都是正数）f 2 1V(1) 2a3b2-6a2b3(2)13q_4二m4n/2 1v解(1) 2a3b2-6a2b3 - -3a6

6、b2 11115=2-6 - -3 a3=4ab0 =4a ；2 6b2 3 6(2)13一 4_ _8m4n1m42 m -3" n例3,计算下列各式:(2)解：（1）（3 5 - .125 - 4 5 =2 2533、-51 a。).32-a % a12131- 54 = 5 - 54 - 5 -：-57= 512 -52a4 = 1而5-54/5；a3丁25a665二二=a6 - -ac2 c3a a(三)综合应用例1.化简：5x45x5x1.解：5-5x5x1=5x，(1525)=315x=315x.51111例2.化简：(x2-y2)-：(x"-y，).11111

7、1111111解：(x2y2尸(x4y4)=(x4+y4)(x4y4)+(x4y4)=x4+y4.11评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(xZ)2=xL由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。1133例3.已知x+x-=3,求下列各式的值：(1)x2+x2；(2)x2+x2.111111解：(1)Q(x2+x)2=(x2)2+2x"x+(x)21 1=x+x+2=3+2=5,1 1x2+x2=±45,11又由x+x,=3得x>0,.x2+x20,11所以x2x2-.5.3311111111(2)(法一)x2+x2=(x2)3+(x2)3=(x2+x2)

8、(x2)2x2x2+(x2)211=(x2+x2)(x+x)-1=V5(3-1)=2%/5,333333(法二)(x2)(x)j2=(x2)2(x”)22x”x”=x3x*2而x3x"=(xx')(x2x2-1)-(xx)(xxd)2-3-3(32-3)-1833(x2+x»=20,331又由x+x=3A0得x>0,x2+x2A0,33所以x2x£=：J20=2'5.二、指数函数1.指数函数定义：一般地，函数y=ax(2>0且2#1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.2.指数函数y=ax在底数a>1及0<a<

9、;1这两种情况下的图象和性质:性质(1)定义域：R(2)值域：(0,依)(3)过点(0,1),即x=0时y=1(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数例1.求下列函数的定义域、值域：(1) y=82x,(2)y=/_(；)'(3)y=3+x(4)y=Ox(aA0,a#1).一.-1,1.斛：(1)Q2x1*0，x#原函数的定乂域是xxuR,x#,22人1,令t=则t00,twR2x-11- y=81(twR,t*0)得y>0,y#1,所以，原函数的值域是yy>0,yr1.(2) Q1-(1)x>0.x>0原函数的定义域是10,收)，2，1x一.令t=1-(-)x

10、(x>0)贝u0<t<1,2Qy=JT在b,1)是增函数.0<y<1,所以，原函数的值域是0,1).(3)原函数的定义域是R,令t=x则tE0,Qy=3t在(血,0】是增函数，.0<y<1,所以，原函数的值域是0,11.(4)原函数的定义域是R,由y=ax-1(a>0,a=1)得ax=-1,a1y-1_x_y1Qa>0->0,，1<y<1,y-1所以，原函数的值域是(-1,1).说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2.当a >1时，证明函数ax 1是奇函数。证明：由ax1#0得，x#0,故函数定

11、义域xx#0关于原点对称。g)=a：1(a：1)axa-1(a-1)a1 axH 一(x)所以，函数y =ax 1 TEW-1函数。例3.设a是实数,2x 1(xw R),f(-x)-f(x)变形得:解得：a所以，当axc 2 222a - (21) 2x 2x 1=1 ,=1时，f(x)为奇函数。2(2x 1)2x 1(1)试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数;(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。(1)证明：设x1,x2亡R,x1cx2，则，、，、，2、，2、f(X1)-f(X2)

12、=(a-x-)-(a一-)2"12x 11222x212x112(2x1-2x2)(2x11)(2x21)由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1<x2,所以2x1<2x2即2x12x2<0,又由2x>0,得2x1*A0,2x2*A0,所以，f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2).因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。(2)解：若f(x)为奇函数，则f(x)=f(x),ab = N ,那么数b三、对数的性质1.对数定义：一般地，如果a

13、(a>0Ha1)的b次哥等于N,就是aNb指数式ab=N底数哥指数logaN=b即ab=N,叫做a为底N的对数，记作logaN=b,a叫做对数的底数，N叫做真数。对数式logaN=b对数的底数真数对数N>0.(负数与零没有对数)loga1=0,同样：logaa=1.10gaN=N(对数恒等式).说明：1.0在指数式中哥N>0,.在对数式中，真数2.0对任意a>0且a#1,都有a°=13.如果把ab=N中的b写成logaN,则有2.对数式与指数式的互换例如：42 =16142 =2log416 = 2102 =100logiolOO = 2log 4 2 = &

14、quot;2102=0.01log1O0.01 = -2例1.将下列指数式写成对数式:(1) 54 = 25 ;(2)(3)3a =27 ；64解：(1) 10g5 625 =4 ;log12 - = -664；(3)log 3 27 = a ;3(4)= 5.37 log 1 5.37 = m .33 .介绍两种特殊的对数:常用对数：以自然对数：以 例2. (1)计算：10作底log10 N 写成lgNe作底为无理数，e= 2.7182810g9 27, log31625.5rlogeN 写成ln e.解：设 x = 1og9 27 贝U ax =27,32x= 33,3x=2；x令 x=1

15、og3p625,(54 ) =625,5r451(2)求x的值：log3 x 1ogqx2Y3x2+2x-1) = 1.3解：x =371二 4273x22x-1 =2x2 -仁2x 2x -0= x =0,x - -2但必须:2x -1 02x2 1 #1x = 0舍去，从而x= -2.3x22x-10(3)求底数: 10gx 3 = 10gx 2 = 78解：x石=3=(3-3)飞7x8=2=24 .对数的运算性质：如果a>0,a¥1,M>0,N>0,那么(1) loga(MN)=logaM+logaN；，、，M.，10ga=10gaM-10gaN；N(3)lo

16、gaMn=nlogaM(nWR).例3.计算：(1)lg1421g7+lg7lg18；(2)-；(3)g13lg9lg1.2解：(1)解法一：lg142lg7+lg7lg183=lg(27)-2(lg7-lg3)lg7-lg(322)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3lg2=0;解法二：lg14-2lgZlg7,|g18372=lg14-lg(3)2lg7-lg18=0 ；147=lg亍=lg1(7)21835(2)lg243_lg3551g3_5"72"lg9lg322lg32113“、lg.271g8-3lg10lg(33)5lg23-3lg1052

17、(lg32lg logam bn = -log a b (a、b>0且均不为 1). mlgb lga _1 .lg a lg b '-1)33lg1.2l322lg32lg2-12g10logmN5.换底公式：logaN=(a>0,a#1；m0,m*1)logmax证明：设logaN=x，则a=N,x两边取以m为底的对数得：logma=logmN,xlogma=logmN,从而得:logmNx二logmalogaN10gmNlogma说明：两个较为常用的推论：(1)logabxlogba=1;证明：(1)logablogbanlg bmlg alogab . mlog&q

18、uot;、署例4.计算：(1)5140g0.23；(2)log4310g92+log24/32.解：(1)原式3=工=勺=15log3115g0.210g51353(2)原式11一log23-log32225-log22例5.已知log189=a,18b=5,求log3645(用a,b表示).18 logi8 =1 log 182 = a ，2解：logi89=a,log182=1-a,又.18b=5,1- logi85=b，log3645log1845*36log189log1851log182ab2-a一v，111例6.设3x=4y=6z=t>1，求证：一=一zx2y证明：3x=4y

19、=6z=t>1,lgtlgtlgt一x=,y=,z=,lg3lg4lg6111g61g31g21g41.,:=-=zxlgt1gtlgt21gt2y例7.若1og83=p,1og35=q，求lg5.解：1og83=p,.1ogz3=3p=1g3=3p1g2=3p（11g5）,1g5又log35=q，1g31g5=q1g3=3pq（11g5）,（1-3pq）1g5=3pq1g5 二3 Pq1 3pq四、对数函数1 .对数函数的定义：函数y=logax(a>0且a丰1)叫做对数函数。2 .对数函数的性质：(1)定义域、值域：对数函数y=1ogax(a>0且a#1)的定义域为(0,

20、),值域为C3O二)(2)图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于y=x的对称图形，即可获得。同样：也分a >1与0<a<1两种情况归纳，以y = log 2x （图 1）与 y = log, x（图 2）为2例。（图1）（图2）(3)对数函数性质列表:22、(1)y=lOgaX；y=loga(4X)；(3)y=loga(9X).分析：此题主要利用对数函数y=logax的定义域(0,+=c)求解。解：(1)由x2>0得x=0,，函数y=logax2的定义域是xx#0；(2)由4x>0得xc4,函数y=loga(4x)的

21、定义域是xx<4；(3)由9-x2a0得-3<x<3,函数y=loga(9x2)的定义域是x-3<x<31.例2.比较下列各组数中两个值的大小：(1)10g23.4,log28.5；(2)10g0.3I.8,log0.32.7；(3)loga5.1,loga5.9.解：(1)对数函数y=1og2x在(0,+w)上是增函数，于是log23.4<log28.5；对数函数y=log0.3x在(0,-He)上是减函数，于是10g0.3I.8>log0.32.7；(3)当a>1时，对数函数y=logax在(0,)上是增函数，于是loga5.1<log

22、a5.9,当o<a<1时，对数函数y=logax在(0,+看)上是减函数，于是loga5.1>loga5.9.例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：(1) 10g67,log76；10g3n，10g20.8;(3)1.10.9,log、0.9,log0.70.8；(4)10g53,1og63,1og73.解：(1)1og67A1og66=1,10g76<1og77=1,1og67>1og76；(2) .log3n>1og31=0,log20.8<log21=0,，log3n>log20.8.(3) 1.10.9>1.10=1,logi

23、.i0.9Mlog1.11=0,0=log0.71<log0.70.8<log0.70.7=1,./J.9-1.1>log0.70.8>log1.10.9.(4) 0<log35<log36<log37,logs3>log63>log73.例4.已知10gm4<logn4,比较m,n的大小。11解：.10gm4<10gn4,<,log4mlog4n11当ma1,n>1时，得0<<,log4mlog4nlog4n<log4m,m>n>1.一11当0<m<1,0<n<1时，得<<0,log4mlog4n1log4n<log4m,.0<n<m<1.当0cm<1,n>1时，得10g4m<0,0<log4n,0<m<1,n>1,0cm<1<n.综上所述，m,n的大小关系为mn>1或0<n<m<1或0cm<1<n.例5.求下列函数的值域：22(1) y=log2(x+3)；(2)y=l