添加辅助线证明三角形全等

1、添加辅助线证明三角形全等一内容概要：DECAB常见的辅助线有：DAECB题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，ABC中，BD=DC，延长AD到E，使DE=AD，连结CD或BE。则有结论CDEBDA或BDECDA题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，1=2，AB>AC，则在AB上截取AE=AC，连结DE，必有结论ADEADC.如图(2)，若延长AC到E，使AE=AB，连结DE，必有结论ADEADB.如图(3)，若作DEAB于E，DFAC于F，必有结论DE=DF.21EDCBA12EDCBAF21EDCBA二例题详解1通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(

2、角)相等例1已知：如图AB=AD，CB=CD，(1)求证：B=D(2)若AE=AF试猜想CE与CF的大小关系并证明证明：(1)方法1:连结ACAB=AD，CB=CD，AC=ACABCADCB=D 方法2:连接BDAB=ADABD=ADBCB=CDCBD=CDBABD-CBD=ADB-CDBB=D(2)由(1)得B=DAB=AD, AE=AFAB- AE=AD- AFBE=DFCB=CDBCECDFCE=CF【解析】（1）本题中要证明B=D在已知条件中缺少明显全等的三角形。而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了B=D。在学习了等腰三角

3、形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到B=D更为简单。（2）猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到EAC=FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。我们在证明角相等时，可以证明全等三角形，也可以证明等边对等角。例2已知：如图AB=CD，AD=BC，求证：A=C证明：连结BDAB=CD，AD=BC，BD=BD ABDCDB A=C【解析】根据已知条件AB=CD，AD=BC，连结公共边BD(AC)，可以发现三角形ABD全等于三角形CBD(可以发现三角形ABC全等于三角形ADC)，在这里我们发现添加辅助线的方法非常

4、类似。所以我们以后在证明角相等时，先找角所在的三角形，若果没有可以通过做辅助线来找出三角形全等。2通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。例3. 如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF。求证：AC=BF。法一：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明ADC和HDB全等，得AC=BH。通过证明H=BFH，得到BF=BH。证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH D为BC中点 BD=DC在ADC和HDB中 ADCHDB(SAS) AC=BH, H=HAC EA=EF HAE=AFE又 BFH=AFE BH=BF BF=AC法二：延长F

5、D至H，使得DH=FD，连结HC。证明CDH和BDF全等。证明：延长FD至H，使得DH=FD，连结HC。 D为BC中点 BD=CD在BFD和CHD中 BFDCHD(SAS) H=BFH AE=FE HAC=AFE又 AFE=BFH H=HAC CH=CA BF=AC【解析】欲证AC=BF，只须证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。我们在证明线段相等时，

6、如果三角形中存在中线，我们可以延长中线，使之等于中线的2倍，即可得到全等三角形。例4. 已知：如图，在DABC中，D是BC的中点，E、F分别在AC、AB边上，EDF=90°。求证：证明：延长FD到G，使DG=FD，连结EG、CG。D是BC的中点BDCDGDFD，BDFCDGBDFCDG （SAS）BFCG又EDF=90o，GDFDDE垂直平分FGEFEG在CEG中：CE+CG>EGBE+CF>EF【解析】从要证的结论来看，它们没构成一个三角形，不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明，D是中点，可考虑延长，又考虑到EDF是直角，所以可以达到把EF用EG代换，而BF可以

7、用CG代换，问题可以得到解决。我们在证明线段的数量关系时，课可以通过三角形三边关系来证明，这是就需要寻找合适的三角形，通过延长中线、等量代换等，找到相等的线段，带环至一个三角形中，这样我们就可以证明出线段的数量关系。3 .通过添加辅助线构造全等三角形-角平分线。例5. 已知：如图，ADBC，AE、BE分别平分DAB和CBA，DC过点E。求证：AB=AD+BC 证明（一）：在AB上截BF=BC，连结EFBE是CBA的角平分线ABE=CBEBF=BC BE=BEBCEBFEC=BFE,BC=BFADBCC+D=180°BFE+D=180°BFE+AFE=180°D=A

8、FEAE是BAD的平分线BAE=DAEAE=AEDAEFAEAF=ADAB=BF+AFAB=BC+AD证明（二）：延长AE、BC交于点F。AD/BCDAB+ABC=180°AE和BE分别平分DAB和ABC22=DAB，23=CBA2+3=90°AEB=90°BEF=AEB=90° BE=BE FBE=ABEFBEABEAE=FE AB=FBAD/BC1=FADEFCEAD=FCFB=BC+FCAB=AD+BC【解析】从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB边上截一段等于AD（或BC），利用角平分线

9、的条件证全等。我们在证明某两条线段的和等于另一条线段，往往考虑“截长补短”，有时为了达到某种证明目的，可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长，达到旋转180°，有时遇有角平分线，还可以考虑添加平行线，能得出等腰三角形。例6.如图在ABC中ADBC于D, AE是ÐBAC的平分线, AB > AC。求证: .证明: 过C点作CNAE于N交AD于M交AB于PEAD+AMN=90°ADBC1+CMD=90°AMN=CMD1=EADAE是BAC的平分线, CNAEAP=ACAPC=ACPB+1=APCACP=B+11+ACP=ACBACB=B+21ACB-B=21【解析】要证, 可想办法构造出然后证明与ÐEAD相等, 又由已知AB > AC, 则有ÐC >