数值分析第二学期期末考试试题与答案(a)

1、精品文档期末考试试卷(A卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二二四总分123456得分评阅人、判断题(每小题2分，共10分)100011.用计算机求z100时，应按照n从小到大的顺序相加。n3n2.为了减少误差，应将表达式 J2001 - J1999改写为22001,1999进行计算。3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。()4 .采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。()5 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。()二、填空题(每空2分

2、，共36分)1 .已知数a的有效数为0.01,则它的绝对误差限为,相对误差限为.1 0-11一02 .设A=0-21,x=-5，则|A1=,|2=AxL=.-130J3 .已知f(x)=2x5+4x35x,则f1,1,0=,f-3,-2,-1,1,2,3=.1.334 .为使求积公式ff(x)dx定Af()+A2f(0)+A3f()的代数精度尽量局，应使t33A=,A=,A=,此时公式具有次的代数精度。5 .n阶方阵A的谱半径P(A)与它的任意一种范数|A的关系是.6 .用迭代法解线性方程组以=8时，使迭代公式X(k41)=MX(k)+N(k=0,1,2,|)产生的向量序列X(k)收敛的充分必

3、要条件是.7 .使用消元法解线性方程组AX=8时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L和上三角矩44-2阵U的乘积，即A=LU.若采用高斯消元法解AX=B，其中A=L，则一三、计算题(第13、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分)31.以X0 =2为初值用牛顿迭代法求方程f(x)=x 3x 1=0在区间(1,2)内的根，要求证明用牛顿法解此方程是收敛的；给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根(只需计算X1,X2,计算结果取到小数点后4位)。1L=,U=；若使用克劳特消元法解AX=B,则u11=;若使用平方根方法解AX=B，则111与u11的大小关系为(选填：>,<,二,

4、不一定)。y=xy8.以步长为i的二阶泰勒级数法求解初值问题，的数值解，其迭代公式为y(0)=1精品文档2.给定线性方程组x10.4x20.4x3«0.4x1+x2十0.8x30.4x1+0.8x2+x3=3(1) 分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;(2) 试分析以上两种迭代方法的敛散性。(3) 知函数y=f(x)在如下节点处的函数值x-io12yi430(1)建立以上数据的差分表；(2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式P2(x),并计算y(1.1)的近似值;(3) 采用事后估计法计算(2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)。4.

5、已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1o12y12505 .已知函数y=f(x)在以下节点处的函数值，利用差商表求f'(3)和f”(3)的近似值。x134y2186 .写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。y = x2y2y(0) = 0(0 < x < 1, h-0.2)四、（8分）已知n+1个数据点（Xi，yi）（i=0,1,2,|,n）,请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。期末考试答案及评分标准(A卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：

6、(每小题2分，共10分)1.X2.V3.X4.X5.X二、填空题：(每空2分，共36分)21. 0.00戟0.5父10,0.52. 5,.26,153. 0,24.1,0,1,35.P(A)<A7.一101 ?!2 1J 卜.1.8.yn1=yn(Xny)2(14yn)yn1=1.5Xn2.5yn0.5,n=0,1,2,|l|三、解答题(第14小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分)1. (1)证明：f(x)=x33x1,由于a) f(1)=-3<0,f(2)=10,b) f(x)=3x2-3=0(x(1,2),c) f'(x)=6x>0(xW(1,2),即f&

7、quot;(x)在(1,2)上不变号，d) 对于初值x0=2,满足f(2)f”(2)>0,所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4分(2)解：牛顿迭代法的迭代公式为f(Xn)X；-3Xn-1"1"一不"一3x23取初值Xo=2进行迭代，得x1=1.8889,1分x2=1.8795.1分2. 解：(1)Jacobi迭代公式为(k书)C.(k)c,(k)上.x1=-0.4x2-0.4x3十1Tx2k川=0.4x1k)0.8x3k)+22分x3k川=-0.4x1k)-0.8x2k)十3Gauss-Seidel迭代公式为x1k1)=-0.4x2k).0.4x3k)1&

8、lt;x2k川=-0.4x(kW-0.8x3k)+22分x3k1)=.0.4x(k1)-0.8x2k1)3九0.40.4(2)Jacobi迭代矩阵的特征方程为0.4九0=.8,展开得0.40/8九30.96人+0.256=0,即(九一0.8)(九+0.4+)0.505)(1+0.4J0.505)=0,从而得=-1.0928,%=0.8000,%=0.2928,（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1,所以Jacobi迭代法发散。2分九0.40.4Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为0.4九九0.8=0,展开得0.4儿0.8儿儿九（九2一0.832九+

9、0.128）=0,解得=0/2上0.628,九3七0.204，迭代矩阵的谱半径小于1,所以Gauss-Seidel迭代法收敛。2分3. 解：（1）建立差分表xyy2yA3y-113043-1-421-3-2202分(2)建立牛顿后插公式为32P2(x)=0-五(x-2)-(x-2)(x-1)=-3(x-2)-(x-2)(x-1)=T24则所求近似值为P2(1.1)=2.793分(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为(1)14Pj)(x)=3-(x-1)(x-1)x1!2!=3-(x-1)-2x(x-1)-2x2x4则P/)(1.1)=2.68根据事后误差估计法R2 (x)P2 (0.9) -

10、P2(1)(0.9)故截断误差0.9R2(1.1)wp(2.79-2.68)-0.04714.5.解：设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x) =a0+ax + a2x2.根据已知数据，得一111-11A = a,Y8 ,M18建立法方程组为8 18色2分解得a0=3.5,a1=1.5,a2=-1.5.1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为R(x)=3.51,5x-1.5x2.1分6.解：设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：xy一阶差商二阶差商1282547231P24,3,3P2(3,33P2(3)P23,3P23,3,33巳2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又P2

11、(x)是f(x)的插值函数，故有5P24,3,3=P23,3,31二？精品文档而因此得由于从而得P24,3,3=P23,3 -73 49P23,3=-,21分f(k)(x)Tk!Pnx,x，xILx,k1f3)=Pz3,3=2,f(3)=2!P23,3,3=5.2分227.解：前进欧拉公式：yn由=yn+h'f(Xn,yn)=yn+0.2Xn+0.2丫门1分22后退欧拉公式：yn书=yn+h'f(Xn书，yn书)=yn+0.2Xn书+0.2y书1分预估时采用欧拉公式y；1=yn0.2x20.2y21分校正时采用后退欧拉公式2*2yn1-yn0.2xn10.2yn11分由初值X0

12、=0,y°=0,h=0.2知，节点分别为X=0.2i,(i=1,2,3,4,5)当=0.2,y*=y00.2x20.2y；=0,2*2y1=y0+0.2X1+0.2(y1)=0.008,当x2=0.4,*22y2=y10.2x10.2y1:0.0160,2*2_y2=必0.2x2-0.2y2:0.0401.1分当X3=0.6,*22y3=y20.2x20.2y2：0.0724,2*2_y3=V20.2X30.2y3:0.1131.1分当X4=0.8,*22y4=y30.2x30.2y30.1877,2*2y4=y30.2x40.2y40.2481.1分当乂5=1.0,*22NN40.

13、2x20.2y20.3884,_2*2y5=y40.2x50.2y.;0.4783.四、(8分)答：1、可以建立插值函数：11)Newton基本差商公式Pn(X)=f(X0)(X-X0)fx,X0(X-X0)(X-X1)fX2,x,X0III(X-X0)(x-X1)IH(X-Xn_JfXnJ|l,x,x1分(2)Lagrange插值多项式Ln(X)=a。f(X0)af(X1)IHAf(Xi)HIanf(Xn)其中ai(i =0,1,|,n).(x-x0)I11(x-xi1)(x-xi.1川I(x-xn)(xi-x0)IH(xi-xiJ(xi一为1川Kxi-xn)1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。2分2、可以建立拟合函数：Pm(x)=aoa