武汉理工大学材料力学3章2013

1、31 31 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 32 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算33 33 扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图 34 34 薄壁圆筒的扭转、薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理剪应力互等定理和剪切虎克定律和剪切虎克定律 35 35 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形36 36 圆轴扭转时的强度、刚度条件圆轴扭转时的强度、刚度条件37 37 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形38 38 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念第第3 3章章 扭转扭转 ( (Torsion) ) 汽车传动轴汽车传动轴31 31 扭转的概念及实例（扭转的概念及实例（7 7）主传动轴构件

2、的受力特点：构件的受力特点：在垂直于杆件轴线的两个平面内，作在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。用一对大小相等、转向相反的力偶。 扭转变形特点：扭转变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。各横截面绕轴线发生相对转动。ABOMeMeOBA轴轴：以扭转为主要变形的直杆称为轴。如：机器中的：以扭转为主要变形的直杆称为轴。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。传动轴、石油钻机中的钻杆等。m)(N 9549 nPMe其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW） n 转速，转转速，转/分（分（r.p.m）1PS（马力）（马力）=735.5W； 1kW=1.36 PS传递轴的传

3、递功率、转速与外力偶矩的关系为：传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：eeM dPMdt功率为力偶在单位时间内作的功：功率为力偶在单位时间内作的功：3-2 3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算eexMTMTm 0:0 2 2 截面法求扭矩截面法求扭矩1 1 扭矩：扭矩：内力偶矩，记作内力偶矩，记作“T”。33 33 扭矩、扭矩图扭矩、扭矩图 MeMexaaMeTx xaaMeTxaa3 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+)(+), ,反之为反之为 负负(-)(-)4 4 扭矩图：扭矩图：表示沿杆件轴线各横截

4、面上扭矩变化规律表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。的图形。 | |T| |max值及其截面位置值及其截面位置强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。xT 扭矩变化规律扭矩变化规律作扭矩图的步骤：作扭矩图的步骤： 求支座反力；求支座反力； 分段求控制截面的扭矩值；分段求控制截面的扭矩值； 作扭矩图。作扭矩图。矩图。，求：各段扭矩及画扭，已知：例mkN10mkN15mkN20mkN30134321mmmmm10kN2003 212 mmTmkN3011 mTE D C B Am4 m3 m2 m11122段段解解： AB:段段BC11m1AT122m2 m1T210kNm15kNm3

5、0kNm5kNm TmkN5152030 3213 mmmTmkN1510152030 43214 mmmmT:段段CD:段段DEm10kN2003 212 mmTmkN3011 mTE D C B Am4 m3 m2 m111223344各段扭矩及画扭矩图。求已知例:,mkN7,mkN2,mkN 3:23321mmmE D C B Am3 m2 m1 523mkN: 单单位位薄壁圆筒薄壁圆筒: :壁厚壁厚Rt101 （R：平均半径）：平均半径）一、一、 薄壁圆筒的扭转：薄壁圆筒的扭转：1 1 实验前：实验前：纵向线：纵向线：ab、cd圆周线：圆周线：ac、bd3-4 3-4 薄壁圆筒的扭转、

6、剪应力互等薄壁圆筒的扭转、剪应力互等定理和剪切虎克定律定理和剪切虎克定律 dxR2 2 实验后：实验后：（2 2）各纵向线均倾斜了同一微小角度）各纵向线均倾斜了同一微小角度 。（3 3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。（1 1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动，两端截面有改变，只是绕轴线作了相对转动，两端截面有相对扭转角相对扭转角 。 acddxbdy （1 1）无正应力）无正应力3 3 与与 的关系：的关系：lRRl. 剪剪应应变变取微小矩形单元体如图所示：取微小矩

7、形单元体如图所示：（2 2）横截面上各点处，只产）横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。4 4 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 ： tRTTtRRARTRAAA 2 2dd2 R二、剪应力互等定理：二、剪应力互等定理： dddd0yxtyxtmzacddxb dy tz 在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或

8、共同背离该交线。其方向则共同指向或共同背离该交线。纯剪切应力状态纯剪切应力状态单元体的四个侧面上只有剪应单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力。力而无正应力。剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（过材料的剪切比例极限时（ p) )，剪应力与剪应变成正比。，剪应力与剪应变成正比。 G三、剪切虎克定律：三、剪切虎克定律：各向同性材料：各向同性材料：)1(2 EG p一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅绕轴线间距均未改变，仅绕轴线作相对转动，作相对转动，直径仍为直直径仍为直线线；各纵向线

9、均倾斜了同各纵向线均倾斜了同一微小角度一微小角度 。平面假设：平面假设：横截面变形横截面变形后仍为平面，只是刚性后仍为平面，只是刚性地绕杆轴线转动。地绕杆轴线转动。3-5 3-5 圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转时的应力与变形二、等直圆杆扭转时横截面上的应力二、等直圆杆扭转时横截面上的应力1 1 变形几何关系：变形几何关系：xdd 距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd扭转角沿轴线方向变化率扭转角沿轴线方向变化率dmndRox AA/GG/xxGGdddtg 2 2 物理关系：物理关系：剪切虎克定律：剪切虎克定律： GxGxGGdddd xd

10、d 3 3 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22 xGI pdd pGITx dd xGdd pIT PIIp为横截面的极惯性矩为横截面的极惯性矩 。应力分布应力分布（实心截面）（实心截面）（空心截面）（空心截面）pIT 例例3-3 3-3 判别下面截面上剪应力分布是否正确。判别下面截面上剪应力分布是否正确。T aT bT cDOyz32d2d42022DAIDAp 实心圆截面：实心圆截面：d附录内容：极惯性矩的求法附录内容：极惯性矩的求法 ApAId 2 zyAAAApIIAyAzAyzAI d d d d 22222 yzOAd yz空心圆截面：空心圆

11、截面：)(Dd 组合图形的惯性矩：组合图形的惯性矩： niyiyII1 nizizII1 444413232 DdDIpdDOyz附录内容：极惯性矩的求法附录内容：极惯性矩的求法pGITx dd lpxGIT0d d 三、等直圆杆扭转时的变形三、等直圆杆扭转时的变形 : pGIlTT 值值不不变变若若GIp截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度2. 2. 单位扭转角单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 1. 1. 相对扭转角相对扭转角 ： G Vxy)z(Wd 21)d (dd21d GGVWVUu2221dddd22 四、四、剪切应变能剪切应变能单元体微功

12、：单元体微功：剪切应变能密度：剪切应变能密度：剪切应变能：剪切应变能：xGITxAvuUlpl AVd2dd2Gd22 T21 （T为常量）为常量）acddxb dy dzz xy 作业 3-1；3-2；一、等直圆杆扭转时的破坏现象一、等直圆杆扭转时的破坏现象低碳钢试件：低碳钢试件：沿横截面断开。沿横截面断开。铸铁试件：铸铁试件：沿与轴线约成沿与轴线约成45 的螺旋线断开。的螺旋线断开。3-6 3-6 圆轴扭转时的强度、刚度条件（圆轴扭转时的强度、刚度条件（8 8）(a)A(b) (c)(d) x xnt转角转角 符号符号规定：规定：轴正向转至截面外法线轴正向转至截面外法线逆逆时针为正；反之为

13、负。时针为正；反之为负。0)cossind()sincosd(d : 0 AAAFn0)sinsind()coscosd(d : 0 AAAFt 2cos ; 2sin 2cos 2sin 450450min = -0-450max = 0pIT 由由知当知当max , 2 dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTpttpp 令令 tWT max Wt 抗扭截面模量；抗扭截面模量；mm3或或m3。实心圆截面：实心圆截面：163DRIWpt 空心圆截面：空心圆截面：16)1(43 DRIWpt二、强度条件：二、强度条件：等截面圆轴：等截面圆轴：max max tWT( 称为许用剪应力称为

14、许用剪应力)(1) (1) 校核强度：校核强度：(2) (2) 设计截面尺寸：设计截面尺寸：(3) (3) 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmax tWTmax TWt max tWT 强度条件：强度条件：三、刚度条件：三、刚度条件： 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。 (rad/m) maxmax pGIT /m)( 180 maxmax pGIT (1)(1)校核刚度：校核刚度：(2)(2)设计截面尺寸：设计截面尺寸：(3)(3)计算许可载荷：计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 例例3-4 功率为功率为150kW，转速为，转速为15.4转转/秒的电动机转秒

15、的电动机转子轴，许用剪应力子轴，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nPmTBC 2103 m)(kN 55. 1m)(N 4 .1514. 32101503 解：解：(1)(1)求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图(2)(2)计算剪应力强度计算剪应力强度(3)(3)此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmMPa231607. 01055. 133max tWTTmx 强度。轴满足强度时校核键的，求，键的轴的，已知例:MPa200MPa80MPa30mm100mm12mm20mm70:53bslhbd解解: :dlb2h2h mkN 02

16、. 2107161030 636 tWTkN 7 .5710721002. 2223 dTQ2dQT tWTmax 满满足足强强度度要要求求bsbslhQblQ MPa2 .961010012107 .572 2MPa9 .281010020107 .576363dlb2h2h例例3-6 长为长为l =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作的作用，若杆的内外径之比为用，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应，许用剪应力力 =30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m ，试校核，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。此杆的刚度，并求右端面

17、转角。解解: :杆的外径杆的外径max TWt 116D 43）（ tW314max 116 ）（TD314max 116 ）（TDD 0.0226m(2) (2) 校核刚度校核刚度 180maxmax PGIT40NmxT 40NmxT 180maxmax PGIT 92443240 1801.89 /80 10(1)mD(3)(3)右端面转角右端面转角：弧弧度度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITpplp 例例3-7 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率，输入功率P1=500马力，输出功率分别马力，输出功率分别P

18、2=200马力及马力及P3=300马力，马力，已知：已知：G=80GPa ， =70MPa， =1/m，试求：，试求：(1)AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？(2)若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？(3)主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？500mm400mmP1P3P2ACBTx7.024kNm4.21kNm解解: :作扭矩图作扭矩图9.550 (kN m)ePMn(2)(2)强度条件：强度条件：max tWT16 3 TdWt mm4 .67107014. 3421016163632 Td mm80107014. 37024

19、16163631 Tdd1d2500mm400mmP1P3P2ACB 180 32 4 GTdIp(3)(3)刚度条件刚度条件 180 max pGITmm4 .741108014. 3180421032180 3249242 GTdmm841108014. 3180702432180 3249241 GTdTx7.024kNm4.21kNmd1d2500mm400mmP1P3P2ACB(4)全轴选同一直径全轴选同一直径mm85 dmm4 .672 dmm801 dmm4 .742 dmm841 d(5)轴上轴上绝对值绝对值最大的扭矩最大的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮

20、应该换位。轮应该换位。换位后换位后,轴轴的扭矩如图所示的扭矩如图所示,此时此时,轴的轴的最大直径才为最大直径才为75mm。 mm75 mm8521 ddTx7.02kNm4.21kNmd1d2500mm400mmP1P3P2ACB+Tx2.814kNm4.21kNm度比。同强度时的重量比及刚求它们受扭时，具有相，外径为外径比值，一根为空心圆轴，内直径，圆轴，一根为实心圆轴材料及长度相同的两根例Dd8 . 0 83解解: :dD 4338 . 011616 DdWWtbta 1921693718011334. dD 955. 15115. 018 . 01192. 1114422222 DdWW

21、tbta重重量量比比刚度比刚度比 839. 0192. 118 . 01444 DdGIGIPbPatWT (a)(b) 作业 3-12；3-14；3-20；一、弹簧杆横截面上的应力一、弹簧杆横截面上的应力=+ 1 1 2 23max21max812dFDDd FFST3max 8 :10dFDdD 时时3-7 3-7 密圈螺旋弹簧的应力和变形密圈螺旋弹簧的应力和变形214dPAFS 332max816/2dFDdFDWTt Dd弹簧杆的强度条件弹簧杆的强度条件: : 83maxdFDK33max88615. 04414dFDKdFDCCC dDC 弹簧指数弹簧指数CCCK615. 04414

22、 曲度系数。曲度系数。考虑弹簧曲率及考虑弹簧曲率及 1并非均匀分布的影响：并非均匀分布的影响：二、弹簧的变形二、弹簧的变形UW FW21 外力功：外力功：变形能：变形能：pGIlTTU2212 43242432/22/GdDnFdGDnFD 843KFGdnFD 弹弹簧簧刚刚度度 8 34nDGdKF F43242GdDnFF 非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立，即各截面发生平面假设不成立，即各截面发生翘曲不保持平面。因此，须由弹性力学方法求解。翘曲不保持平面。因此，须由弹性力学方法求解。3-8 3-8 非圆截面杆扭转时的概念非圆截面杆扭转时的概念自由扭转：自由扭转：杆件扭转时，横

23、截面的翘曲不受限制，任杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。意两相邻截面的翘曲程度完全相同。 横截面上没有正应力，只有剪应力。横截面上没有正应力，只有剪应力。约束扭转：约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。邻截面的翘曲程度不同。 横截面上既有正应力，也有剪应力。横截面上既有正应力，也有剪应力。杆件扭转时，横截面上边缘各点的剪应力都与截面边杆件扭转时，横截面上边缘各点的剪应力都与截面边界界相切。相切。截面凸角处的剪应力等于零。截面凸角处的剪应力等于零。一一、矩形截面杆上的剪应力、矩形截面杆上的剪应力:

24、 :h bh 1T max 注意！注意！b1.1.剪应力分布：剪应力分布：横截面边缘各点的横截面边缘各点的剪应力形成与边界切向的环流。剪应力形成与边界切向的环流。 2 2. .最大剪应力：最大剪应力：在长边的中点在长边的中点3.3.单位扭转角单位扭转角max1 maxmaxtWT 2 hbtW 其中： nGIT 3hbIn In相当极惯性矩相当极惯性矩31 :) 10 : ( bh即即对对于于狭狭长长矩矩形形一、选择题一、选择题1、剪应力互等定理的运用条件是、剪应力互等定理的运用条件是 。 A、纯剪切应力状态；、纯剪切应力状态； B、平衡应力状态；、平衡应力状态； C、线弹性范围；、线弹性范围

25、； D、各向同性材料。、各向同性材料。2、当剪应力超过材料的剪切比例极限时，剪切虎克、当剪应力超过材料的剪切比例极限时，剪切虎克定律与剪应力互等定理定律与剪应力互等定理 。 A、前者成立，后者不成立；、前者成立，后者不成立； B、前者不成立，后者成立；、前者不成立，后者成立； C、都成立；、都成立； D、都不成立。、都不成立。 BB 本本 章章 习习 题题3、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆轴扭转时、根据圆轴扭转的平面假设，可以认为圆轴扭转时其横截面其横截面 。A、形状尺寸不变，直径仍为直线；、形状尺寸不变，直径仍为直线；B、形状尺寸改变，直径仍为直线；、形状尺寸改变，直径仍为直线；C、形状

26、尺寸不变，直径不保持直线；、形状尺寸不变，直径不保持直线； D、形状尺寸改变，直径不保持直线。、形状尺寸改变，直径不保持直线。 4、一圆轴用碳钢制作，校核其扭转刚度时，发现单、一圆轴用碳钢制作，校核其扭转刚度时，发现单位长度扭转角超过了许用值。为保证此轴的扭转刚度，位长度扭转角超过了许用值。为保证此轴的扭转刚度，采用措施采用措施 最有效。最有效。A、改用合金钢材料；、改用合金钢材料； B、增加表面光洁度；、增加表面光洁度；C、增加轴的直径；、增加轴的直径； D、减小轴的长度。、减小轴的长度。 AC5、低碳钢试件扭转破坏是、低碳钢试件扭转破坏是 。A、沿横截面拉断；、沿横截面拉断；B、沿、沿45

27、o螺旋面拉断；螺旋面拉断；C、沿横截面剪断；、沿横截面剪断；D、沿、沿45o螺旋面剪断。螺旋面剪断。 6、根据、根据 可得出结论：矩形截面杆受扭时，横可得出结论：矩形截面杆受扭时，横截面上边缘各点的剪应力必平行于截面周边，且角点截面上边缘各点的剪应力必平行于截面周边，且角点处剪应力为零。处剪应力为零。A、平面假设；、平面假设； B、剪应力互等定理；、剪应力互等定理；C、各向同性假设；、各向同性假设； D、剪切虎克定律。、剪切虎克定律。 AB7、在横截面面积相等的条件下，、在横截面面积相等的条件下， 截面杆的抗扭截面杆的抗扭强度最高。强度最高。A、正方形；、正方形； B、矩形；、矩形； C、实心

28、圆形；、实心圆形； D、空心圆形。、空心圆形。 8、剪应力互等定理与剪切胡克定律的正确适用范围、剪应力互等定理与剪切胡克定律的正确适用范围是（是（ ）A、都只有比例极限范围内成立、都只有比例极限范围内成立B、超过比例极限时都成立、超过比例极限时都成立C、剪应力互等定理在比例极限范围内成立，剪切胡、剪应力互等定理在比例极限范围内成立，剪切胡克定律不受比例极限限制克定律不受比例极限限制D、剪切胡克定律在比例极限范围内成立，剪应力互、剪切胡克定律在比例极限范围内成立，剪应力互等定理不受比例极限限制等定理不受比例极限限制 DD1、内外径分别为、内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，受的空心圆截面轴，受扭矩扭矩T=1kNm作用，计算横截面上距离圆心作用，计算横截面上距离圆心15mm的的A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：解：pAAIT MPa66.63)5 . 01 (3204. 0015. 0100044 tWT max MPa88.84)5 . 01(1604. 0100043