整式的有关概念教材详解与典例分析

1、第二章整式整式1、单项式的系数、次数，多项式的顶、次数等概念；知识频道2、列代数式；体脸代数式在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣.例题频道3、辨析多项式的次数。方法频道一、代数式的有关概念代数式：用大体的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单唯一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前而，如白，必：数字因数是1或一1时，“1"省略不写，如一mn：（2）带分数与21 3字母相乘时要化成假分数，如：1R?要写成二。的形式：（3）除号要改写成份数线，如:2 2a

2、+b要写成色；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（1（必+乃尺2）平方米。b2代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数。说明：当系数是1或一1时，1省略不写，如一ab,/等。探讨引导：在小学咱们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的而积公式，咱们明白三角形的面积=底乂高小2,正方形的面积=边长X边长，长方形的面积=长乂宽；圆的面积=乃乂半径2。如下图所示，咱们用一些字母代替三角形的底和高、正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以够别离表示为：三角形a的而积为一;长方形s的面积为_st_b2T正方形a|的面积为一后；圆的面积为一

3、产r2.这些而积公式的表现形式比文字表示要简捷。象J”b,St,乃改这些式子都是代数式，它们都是数与字母的枳，它们的系数别离是L，1，1，lo二、整式的有关概念（1）单项式的概念：都是数与字母的积的代数式叫做单项式.说明：判断一个代数式是不是单项式，主如果按照代数式中数字和字母间是不是都是乘法运算关系.如上就不是一个单项式，因为2y与x之间是除法运算.可是，1ab2是单x2项式，因为上是一个数.a?是一个单项式，因为a?能够看做是aa.特别地，单独的一个2数或单独的一个字母也都是单项式，如一3,0,-,X,土等都是单项式32（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做那个单项式的次数.

4、说明：单项式的次数，是指那个单项式中将所有字母指数相加取得的和.如单项式3x2、2xy、lx?y、'x的次数别离是二、二、3、1.特别地，单独的一个数字，如3,一9等，32能够当做。次单项式来看待.（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数.说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关.如x3yz4的系数是1,次数为3+1+4=8.（4）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.说明：多项式是由几个单项式相加取得的，如多项式x?+2x-l是由单项式X?,2x和-1相加而取得的（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做那个多项式的次数.说明：在肯定多项

5、式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再肯定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数.如，多项式x3-x2y2+x中，单项式X3的次数是3,单项式一x2y2的次数是4,单项式X的次数是1,所以多项式x3-x2y?+x的次数是4.（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项.每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号.如多项式5-3x2中，二次项是一3x2.（7）常数项的概念：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8）降耗排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按那个字母降舞排列.（9）升箱排列：把一个多项式按某一个

6、字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按那个字母升足排列.说明：把多项式按升寤或降案排列时，必然要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看那个字母的指数，而后依照加法互换律互换项的位置.对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记从头排列多项式时，各项必然要带着符号移动位置.如：x3+2x4y7xy3y47=2x4y+x37xy3y47=-7-y4-7xy34-x3+2x4y=y47xy3+2x4y4-x37=7+x3+2x4y7xy3y4其中，是按x的降基排列；是按x的升帮排列；是按y的降卷排列；是按y的升帚排列.（10）整式的概念：单项式和多项式统称整式.说明：明白一个代数式，不论是单项

7、式仍是多项式，都必然是整式：反之，若是已知一个代数式是整式，那么它或是单项式，或是多项式，二者必具其一.如单项式-3X，X等都是整式，多项式3x,-x3x+1等都是整式；在整式2x,中，2x是单项式，x4-1是多项式.探讨引导：.4a,b2=x.a2h等，都是数字与字母的乘积,例如4a是4与a的积，b216516是工与b?的积，二x是二与x的积，屋h是1与a2h的积,像如此的代数式咱们把它们都叫1655做单项式，其中的数字因式如“4"“二”是单项式的系数.，每一个单项式中所165有字母的指数和叫单项式的次数。如是二次单项式，这里要注意乃是一个常数，不是16一个字母，所以单项式中只有一

8、个字母b,它的指数是2,工/就是一个二次单项式。16代数式4a4b是单项式4aL4b的和，像如此的几个单项式的和所形成的代数式，咱们把它叫做多项式.，每一个单项式就是那个多项式的一项，多项式4a4b中的项是4a和一4b,要注意多项式的项包括符号，所以第二项是一4人在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做那个多项式的次数.这一项在Lx?y+2y一1中次数最高，因此咱们把1x2y的次数3作为多项式lx2y+2y-l的次数，即1”丫+2y3-1是一个三次三项式，二、方式频道由解题理解知识，由知识学会解题1 .对单项式、多项式、整式进行判断例1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式.

9、(l)-3xy2：(2)2x3+1：(3)-(x4-y+l)：(4)-a2；(5)0；22x；y2xy 丁;i(8):2x(9)x2+-1：(10)!Xx+1解：单项式有：(1)-3xy2,(4)a?,(5)0,(7)；多项式有：(2)2x3+1,(3)1(x+y+1)；2不是整式的有：(6),(8),(9)x2+i-b(10)y2xxx+1知识体验：只有数字与字母的乘积，如此的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算，如此的代数式就是整式。没有出现2x即三，或x+2即已如此的式子，那X2么是整式吗？二能够

10、写成L所以£是单项式，而2是数字与字母的商，所以不是2 K222X?r1单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)上：(8)-：(9)x2y2x+1-1：(10)；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。xx+易错提示：(6)和(7)生这两个代数式常会误以为都是单项式，(7)能够看y321成大平，所以是单项式，而(6)是2xy,所以不是单项式也不是整式。(3)不(x+y+1)：会误以为是单项式，其实上(x-+-y+l)=x+y+所以是三个单项式的和，是一2222个多项式。二、说出单项式、多项式的次数和项例2指出下列各单项式的系数与次数：3加,4公'(

11、1) :(2)-mn3;(3)-(4)-3；83解：(1)必二的系数是3,次数是3.88(2) -mi】3的系数是-1,次数是4.4有°V34/r(3) 的系数是一，次数是5.33(4) -3的系数是一3,次数是0。知识体验：单项式的系数，包括前而的符号，当单项式的系数是1或一1时，“1”省略不写，如-nn】3中，系数是一1,则把“1”省略不写：圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：H-的系数是把，次数是5。另外，像一3,0等如此的常数，是332零次单项式.易错提示：-nnf的系数是-1；比二的系数是这，次数是5,如写成系数是3,334次数是6就不对了.例3、填空：次 项式，

12、最高次项的系数是(1)多项式2x4-3xS-2冗4是，四次项的系数是,常数项是,补足缺项后按字母X升箱排列得一（2）多项式ar3ab2+3a?b-b3是次项式，它的各项的次数都是一，按字母b降塞排列得.解：（1）五,三，-3,2,2n4,-2n4+0x+0x2+0x3+2x4-3x5；（2）三，四，3,-b3-3ab2+3a2b+a3.应用体验：一2口4是常数项，不是4次项。肯定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一路移动，这些都是容易犯错误的地方，要引发高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于3,一般称如此的三次多项式为三次齐次式.解题技能：

13、多项式应看做是省略括号的和的形式.因此，当肯定多项式的项时，应包括符号.另外，圆周率又是一个常数.回答多项式是几回几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成5次3项式.：补足缺项，是把升（或降）塞排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置时，要连同前而的符号一路移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道（一）题型分类全析一、与代数式有关的题型例1.用代数式表示：（1）把温度是t的水加热到100,水温升高了o（2）一个两位数，个位数字是a,十位数字是b,则那个两位数可表示为。（3）用字母表

14、示两个持续奇数为。（4）若正方体的棱长是a-l,则正方体的表面积为0（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算能够射进阳光的面积为米2。思维直现：(1)温度不同就是末了温度一初始温度；(2)一个两位数的表示方式：十位数字X10+列位数字：(3)持续奇数之间相差2；(4)正方体的表而积=棱长X棱长X6；(5)射进阳光的面积=长方形而积一阴影部份的面积。解：(100-t)(2) 10b+a(3) 2n-l,2n+l(n为整数)(4) 6(«-1)2(bY万一,/ci，16/13乃b-7t.(5) -3x=abx=abb223624阅读笔记：用代数

15、式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：(1)数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前而，如10b+a：数字因数是1或一1时，“1”省略不写，如(100-t)；(2)带分数1 3与字母相乘时要化成假分数，如：要写成二。的形式；(3)除号要改写成份数线，2 2如：a+b要写成色：(4)书写单位时要把代数式用括号括起来，如(Lo+1太)平方米。b2题评讲解：列代数式是学习整式的基础，有代数式才能研究整式，而列代数式用到的知识很多，比如而积公式、温差等生活知识，对学生能力要求较高，难度视题目而定，可能很简单也可能比较难。列代数式是后续学习

16、列方程解决实际问题的基础，所以要掌握好。建议：对列代数所用到的知识要尽力回忆和温习，要多练才能熟练。例2.用语言叙述下列代数式的实际意义。2(1)3"；(2)a2+b2；(3)(l-20%)x；(4)如。思维直现：列代数式要有必然的问题背景，用语言叙述下列代数式，就是要再现列出代数式的问题背景，问题背景可能设计的不同，只要能解释即可。解：(1)若是用a表示一支铅笔的价钱，那么3a表示3支铅笔的价钱。(2)若是用a,b别离表示两个正方形的边长，那么a?+b2表示这两个正方形而积之和。(3)若是用x表示过去的产量，那么(1-20%)x表示减少20%以后的产量。(4)如果用“表示圆的半径，

17、正方形的边长是它的!，那么及4表示39圆面积与正方形面积之差。阅读笔记：要解释代数式，就要熟悉代数所能表示的问题背景，如a?可表示边长为a的正方形的而积，加/可表示半径为a的圆的而积等。如此才能写出合理的代数式的意义。题评讲解：用语言叙述下列代数式是列代数式的逆向，要按照代数式写出问题的背景，能够写出不同的问题背景，只要合理即可。建议：要仔细体会本题的解答，理解这种问题的解题思路。2、单项式、多项式的概念有关的题型例3一个五次多项式，它的任何一项的次数都A.小于5B.等于5C.不小于5D.不大于5思维直现：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中,次数最高的项是五次的

18、，其余的项的次数能够是五次的，也能够是小于五次的，却不能是大于五次的.因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的.解答：选D。阅读笔记：多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，若是直接问是几回多项式,要先求出每一项的次数，找出最高次作为多项式的次数，而本题是告知是五次多项式，想象一下多项式中每一项的次数情形，这里有一个逆向思维的问题。题评讲解：本题是一个关于多项式次数问题，但不是给多项式问是几回多项式，而是给多项式的次数是五次，想象一下每一项的次数情形，因为没有见到具体的每一项，所以有必然的难度。例4说出下列各多项式别离是几回几项式.d2V+8(l)3x-23：(2)a2b+2a-3b-4

19、；(3)-"；2(4)(a3b3+l)X；(5)x6x54-3x2-12x-l-a；(6)2(xy+-x3y+n4).3思维直现：需要找出多项式的每一项，算出每一项的次数，然后回答是几回几项式。解：(1)多项式3X-23是一次二项式：(2)多项式a2b+2a-3b-4是三次四项式：(3)因为二Z生心=Lx?-x+4,所以多项式':一2+X是二次三项式：222(4)因为侬一齐+l)X-=-a3-b，+所以多项式0b3+1)X-是三次三项式：33333(5)多项式x6-x5+3x2-12x+a是六次五项式：121(6)因为2(xy+x3y+n4)=2xy+x32y+2n4,所以多

20、项式2(xy+x?y+丸*)3是三次四项式.阅读笔记：当所给的多项式不能直观地辨别第二数和项数时，就需要对其整理变形，使其成为标准形式的多项式.如第(3)、(4)、(6)小题，变形后便容易多了.另外，常数项中的指数，不能做为多项式的次数.如第(1)、(6)小题中23、不影响多项式的次数.题评讲解：判断多项式是几回几项式的问题，是理解多项式概念中的常规题，具体在解答时会碰到具体困难，如多项式给出不规范要先变形，有常数项中有指数的干扰，这增加了本题的难度。建议：要概念清楚，排除干扰，(二)思维重点冲破例5若一3“尔”是关于x、y的单项式，且系数为一6,次数为3,则=，思维直现：“关于X、y的单项式

21、”说明只有X、y才是单项式中的字母，”只是系数的一部份，所以一3“是系数，也就是一6,即一3“=-6,解得：“=2.而单项式的次数是x、y的指数和：(1+力，也就是3.因此1+利=3得小=2.解：”=2,?=2阅读笔记：单项式是数与字母的积，数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数,在本题中x、)，才是单项式中的字母，只是系数的一部份，这两点必然要理解到位。题评讲解：本题是已知单项式的系数和次数，求参数的值。如此的参数问题，不睬解题意的人不明白该如何下手，其实只要弄清说代表单项式的系数，谁代表单项式的次数，就可列出方程解决，虽然学生尚未学习解一元一次方程，但简单的一元一次方程，学

22、生在小学是见过并会解的。建议：正确理解多项式的系数和次数，不要受字母参数的影响。例6当x为何值时，下列多项式可化简为关于y的一次单项式.(l)x-5y-5；1+6.32思维直现：把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项2保留外，其余各项的和等于0.如(1)中，要使多项式一x-5y5化简为关于y的一次单项2式，只保留一5y这一项，其余各项的和为0,即便二x-5=0的x的值即为所要求的x的值.32215解：(1)由一x5=0,即一x=5,得*=.332152所以当x=上时，多项式二x-5y5可化简为关于y的一次单项式.23x+3v-41311(2)多项式:+6可化为一x+y

23、+4.由-x+4=0,即一x=-4,得x=-8.22222所以当x=-8时，多项式±±1+6可化简为关于y的一次单项式.2阅读笔记：理解题意很重要，本题把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0.这是解此题的关键。题评讲解：本题理解题意后就是一个整理代数式，构造一元一次方程的进程，所以理解把一个多项式转化为关于某一字母的单项式，就是指除符合题目要求的项保留外，其余各项的和等于0,这是本题的关键。建议：要多项式可化简为关于y的一次单项式，就要能够将含y的项从多项式中分离出来，其它部份的和是0即可。四、习题频道对应例题例1例2例3

24、例4例5例6变式练习1、2、3、4、141711、13、165、8、9、126、10、1571 .长方形的长为a厘米，宽为b厘米，该长方形的周长为厘米，面积为平方厘米。2 .一桶汽油倒出30%还剩a千克，则这桶汽油原有千克。93 .若是用C表示摄氏温度，f表示华氏温度，研究表明华氏温度比摄氏温度的一还多32,5则/二。4 .商场中某牌子的电视机有A,B,C三种型号，售价别离为3000元，3500元，4000元,三月份商场出售的这三种型号的电视机数量别离是：A型的a令，B型的b台，C型的c台，则该商场三月份这三种电视的销售额是元.五、在X?,1（x+y）,-3,吧3中，单项式是，多项式是2X71

25、X（1）窗户中能射进阳光的部份的而积别离是多少？（窗框面枳忽略不计）(2)你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数别离是多少？15.若是单项式3a2b3吁4的次数与单项式_Lx3y2z2的次数相同，试求m的值。16、请你写出一个四次项系数为7的四次多项式，并指出其余各项的次数和系数.17、用语言叙述下列代数式的实际意义。(l)ab(2)(+)-(3)4c答案：1. 2(a+b),ab,分析：长方形的周长=2(长+宽)：而积=长乂宽。点拨：要熟记小学学过的面积、周长公式，在列代数式时会经常常利用到。2. a,分析：倒出30%，就剩70%,剩的70%是a千克，所以原有a+70%，书写7代数式时要

26、把除号用分数线代替，所以原有W”千克。7点拨：书写代数式要注意：数字与字母相乘乘号省略不写，数字写在字母前而，带分数要化成假分数：除号要改写成份数线；多项式后面带单位的，要给多项式加括号。9993. 二c+32；分析：华氏温度比摄氏温度的二还多32,说明华氏温度=摄氏温度十532。点拨：注意代数式书写规范的要求，数字写在字母的前面。4,3000a+3500b+4000c；分析：销售额=单价X销售量，本题，商场一共销售三种型号的电视，所以销售额是三种型号电视销售额之和。点拨：每种型号的单价要与销售量对应，代数式的书写要规范，因为后而有单位，所以要给多项式加括号。五、X2,-,一3：i(x+y)：

27、x2,L(x+y),一3分析：单项式中只有数与7T2271字母的积，几个单项式的和是多项式，单项式和多项式统称整式，按照概念做出判断。点拨：L是常数，所以是单项式，也是整式。但-L,-3,分母中含有字母就即KXX不是单项式、多项式，也不是整式。六、6：分析：单项式中数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。点拨：要能把数字因数分离出来，尤其是系数为分数时。7、=1；分析：代数式中只有数与字母的积，如此的代数式是单项式，整式x2+a-1是单项式，就要只含有X?,其它项的和为零，所以a-l=0,就得a=l,点拨：单项式中只有乘法没有加减运算，只能有一项，所以其它项的和要为0。八、二，

28、二；分析：多项式中每一个单项式都是多项式的一项，有几个多项式就有几项。多项式的次数是次数最高项的次数，这里只有两项：xx和-1,xy项是二次项，一1是零次项，所以xx-l是二次二项式。点拨：判断多项式的次数，要先求出多项式中每一项的次数，然后找最高次做多项式的次数。九、一xy?-y+5x3+1；分析：要求按字母y的降事排列，就要看每一项中y的字数,由高到低排列。点拨：不含y的项和常数项都是y的。次卷，能够并列排在最后，一般把常数项排在最后。10、3,-3x3y-3x2y2-3xy3；分析：单项式的次数是所有字母的指数和，这里要求只含字母x和*所以它们的指数和应该是4,能够组成4的加数有：3和1

29、,2和2,1和3,所以系数是一3,且只含有字母x和y的四次单项式共有3个，它们是：-3xy,-3x2y2,-3xy'o点拨：考虑指数和是4时，要固定字母的顺序，然后肯定指数：第一个加数是x的指数，第二个加数是y的指数，指数和是4的加数情形只有3和1,2和2,1和3,如此就不会遗漏和重复了。1一、1,-x2,xy,一卡和一xy3；分析：多项式中的每一个单项式都是多项式的一项，有几个单项式就有几项。点拨：写多项式项的时候要连同前面的符号一路作为多项式的一项，不要漏掉符号。1二、D;分析：单唯一个数字和字母也是一个单项式，所以A不对：2分母中含有字a母不是整式，也就不是单项式：x的系数是1不

30、是0,如此用排除法选D。点拨：其实D中，二能够化简为一（3工一2），）=二工一了，是两个单项式的和，222所以是士工多项式，也该选D。213、D；分析：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关。若是一个多项式是五次多项式，那么那个多项式的最高次项是五次，至于有几项不能肯定，但因为是多项式，所以至少要有两项。所以选D。点拨：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关，不要把多项式的项和次数弄混淆了。14、分析：窗户中能射进阳光的部份的面积别离是长方形的面积减去图中阴影部份的面积。解：左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为净的圆的面积的一半，即*b?.窗户中能射进阳光的部份的面积为ab-Jb2.8右图小兰房间的装饰物所占面积是半径为为勺两个小圆的面积，即2X占b2=b?.窗86432户中能射进阳光的部份的面积是ab-b2.ab-b2和ab-1b2它们都是多项式，且次数都是2次。832点拨：左图阴影部份而积是两个四分之一圆，就相当于