复习专题：导数

1、导数一、导数公式 (1)、几种常见的导数 C ；(x ) ( R)；(ax)'=;(ex) ;_ . 一'(log a X) =；'''(ln x) ；(sinx) ；(cosx) (2)、导数运算规则：k f(x);f(x) g(x);g(x)f(x) g(x)练习：1、函数y sne的导数为； x2、若 f(x) x2lnx,则 f'(x) 3、右 f (x) sin cosx,贝U f ( ) 二、函数的单调性f (x) C, f (x)在区间A单调递增f (x) 0在A恒成立f (x) C, f (x)在区间A单调递减f (x) 0在A恒

2、成立作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调;常识：看到单调，就想到导数大于等于(或小于等于)0在给定区间恒成立 练习：1、已知f(x) ax3 3x2 x 1在R上是减函数，则a的取值范围是 2、设f (x)是函数f(x)的导函数，y f (x)的图象如图(1)所示，则y f(x)的图象最有可能为3、已知函数y f(x), y g(x)的导函数的图象如下图，那么y f(x), y g(x)的图象可能是()4、已知对任意实数 x,有 f ( x) f(x), g( x) g(x),且 x 0 时，f (x) 0, g (x) 0 ,则x 0时()A. f(x)0, g (x) 0B

3、.f (x) 0,g (x)0C. f(x)0, g (x) 0D .f (x) 0,g (x)01 3125、右f(x)-x ax(a1)x 1在(1,4)内为减函数，在(6,+8)上为增函数，32则a的范围是三、极值和极值点函数草图中的转折点或导数草图中与x轴的交点(1)、极值点的判别法导数的草图注意点：如图，(为，f(X)是边界点不是极值点；(x2, f (x2) , J3, f J3)是转折点，才是极值点，其中(X2, f(X2)极大值点，(X3, f(X3)极小值点，f(X2)是极大值，f(X3)极小值；-极大值、极小值统称极值-是函数值由于极值点由横坐标决定，因此，常称X2为极大值

4、点，X3极小值点；所以求极值点-求横坐标(即f (X) 0的解)导数的草图需画 X轴；X轴上方，导数大于 0,函数单调递增；下方导数小于0,函数单调递减- 画X轴(2)、求函数y f(X)的极值的方法：求出f (x) 0的根；利用导数草图判定 为是极大值点还是极小值点；求出极值(3)求最值的方法求出f (x)0的根；作出导数草图；作出函数草图；计算比较得到最值练习：1、已知函数f (x)3x 12x 8在区间3,3上的最大值为 M ,则M2、已知 f (x) x3 bx2 cx。如图,f(x) X 2x2 在( ，)的值域是y f (x)的图象过点(1, 0), (2, 0),则下列说法中：不

5、正确的有 3 .一一一 X 金时，函数y f(x)取到极小值;函数y f(x)有两个极值点；c 6;x 1时，函数y f(x)取到极大值；3、设a b ,函数y (x a)2(x b)的图像可能是(B24、若函数f(x)a+一在x1处取极值，则a四、切线:曲线y f (x)在 xxo处切线的斜率k f (xo),切点(xo, f (xo),从而切线方程为f(Xo) f (Xo)(X Xo)求切线方程-关键在求切点的横坐标练习:1、设点P(x,y)是 yx3 x 上一点，则在 P点处的斜率取值范围是曲线y xex 2x1在点(0,1 )处的切线方程为3、2已知曲线y 了 4设P为曲线C: y13

6、1n x的一条切线的斜率为一，则切点的横坐标为2x2 2x 3上的点，且曲线 C在点P处切线倾斜角的取值范围0,则点p横坐标的取值范围为 4在曲线y x3 3x2 6x 1。的切线中，则斜率最小的切线方程是6、若曲线y=x2 ax b在点(0, b)处的切线方程式 x y 1=0,则a , b7、若曲线f xax2 Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 解答题3.21、已知函数f(x) x bx ax d的图象过点 p(0, 2),且在点 M(1, f (1)处的切线方程为6x y 7 0.(i)求函数y f(x)的解析式；(n)求函数yf(x)的单调区间.2、已知f(x)是二次函

7、数，不等式f(x) 0的解集是(0,5)，且f(x)在区间 1,4上的最大值是12。37(I)求f (x)的解析式；(II)是否存在自然数 m,使得万程f(x) 0在区间(m,m 1)内 x有且只有两个不等的实数根若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。3、设函数 f(x) tx2 2t2x t 1(x R, t 0).(i)求f(x)的最小值h(t)； (n)若h(t) 2t m对t (0,2)恒成立，求实数 m的取值 范围.4、已知函数f(x) x3 mx2 nx 2的图象过点(1, 6),且函数g(x) f (x) 6x的 图象关于y轴对称.(I )求m n的值及函数y=f (x)的单调

8、区间；(11)若2>0,求函数y=f(x)在区间(a-1, a+1)内的极值.1 325、已知函数f (x) =-x x ax b的图像在点P (0,f(0)处的切线方程为 y=3x-2(I )求实数a,b的值；(n ) g (x) =f(x)+ m-是2,上的增函数。x 1(i )求实数m的最大值;(ii)当m取最大值时，是否存在点 Q,使得过点Q的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由。1 a6、已知函数 f(x) lnx ax 1(a R)x1(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2, f(2)处的

9、切线方程；(II)当a万时，讨论f(x)的单调性7、已知函数f(x) x2 a (x 0,常数a R).讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； x若函数f (x)在x 2,)上为增函数，求a的取值范围.8、已知函数f (x) x3 x.求曲线y f (x)在点M(t, f(t)处的切线方程；设 a 0,如果过点(a, b)可作曲线y f(x)的三条切线，证明： a b f (a).9、已知函数 f(x) 3ax4 2(3a 1)x2 4x1 .(I)当a 时，求f(x)的极值；(II )若f(x)在 1,1上是增函数，求a的取值范围6二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：(

10、1)斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率(2)函数的凹凸性。(3)判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等 于零时，为驻点。、用二阶导数判断极大值或极小值定理f(x)在 x0 二阶可导，且 f (x0) 0，f (x0) 0若 f (x0)。，则f (x)在x0取得极大值;(2)若 f (x。)石，则f (x)在x0取得极小值.试问a为何值时,函数f(x)1 .asinx -sin3x在x 一处取得极值它是33极大值还是极小值求此极值.f (x)ac

11、osxcos3x由假设知f(3)又当a 2时,(x)0,即 a 22sinx 3sin3x,且(3)所以 f (x) 2sin x1 .-sin 3x在x 一处取得极大值，且极大值f(3)例求函数f(x)3x29x 5的极大值与极小值.解 f(x)在2,4上连续，可导.令f (x) 3x2 6x 93(x 1)(x 3)得x 1和x 3,思考： f (x)在x1取得极大还是极小值在 x 3取得极大还是极小值f '(x) 6x6-1代入二阶导数表达式为-12, f (x)在x1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在x 3取得极小值三、函数图像凹凸定理 若f (x)在(a,b)内二阶可导，

12、则曲线y f (x)在(a,b)内的图像是凹曲线的充要条件是f (x)0, x (a,b).曲线y f (x)在(a,b)内的图像是凸曲线的充要条件是f (x)0 ,x (a,b)。几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f ”(x) 0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反 之在该线段的上方。1 .曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同.如图11中的曲线为向下凸，而图 1 2中的曲线为向上凸.图1 2f(X1) f(X2)f(Xi X2)2 2定义4.5.1 设y f(x)在(a,b)内可导，若曲线y f (x)位于其每点处切线的上方，则称它为在(a,b)内下凸(或上凹)；若曲线y f(x)位于其每点处切线的下方，则称它在(a,b)内上凸(或下凹).相应地，也称函数y f (x)分别为(a, b)内的下凸函数和上凸函数(通 常把下凸函数称为凸函数 ).从图1 1和图1