2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.理)含详解

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(四川)数 学 (理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第口卷(非选择题)两部分。第I卷 1至2页。第口卷3到8页。考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷注意事项：1 .答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2 .每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3 .本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A - B) =P(A) P(B)如果事件A、B相

2、互独立，那么P(A B) =P(A) P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率k kn _kPn(k) =CnP (1 -P)一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共 要求的。球是表面积公式S 二4 二 R2其中R表示球的半径球的体积公式43V 二 R3其中R表示球的半径60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1、设集合 U =1,2,3,4,5 , A=1,2,3,B =2,3,4,则 eu(AB) 二(A) 2,3(B) 1,4,5(C) 4,5(D) 1,5理科试题第1页(共14页)22、复数 2i(1+i)2 =(A) -

3、4(B) 4(C) -4i(D) 4i23、(tan x +cot x)cos x =(A) tanx (B) sinx(C) cosx (D) cotx4、将直线y = 3x绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移1个单位，所得到的直线为(A)yx 133(C) y=3x3(B)(D)y- -1x 13yx 135、设 0 w ct <2冗，若 sin«n ji(A) (, )(B)3 2>6cos久,则0的取值范围是二二 4 二(I，町(C)(-,)33 36、从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有(A)

4、 70 种(B) 112 种 (C) 140 种 (D) 168 种7、已知等比数列an中a2 =1,则其前3项的和S3的取值范围是(A) (-o,-1(B)(3,0) J。，")(C) 3,抬)(D) (g, _1|J3,收)8、设M、N是球O的半径OP上的两点，且 NP = MN =OM ,分别过N、M、。作垂 直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：(A) 3:5:6(B) 3:6:8(C) 5:7:9(D) 5:8:99、设直线l u平面a ,过平面0外一点A且与l、a都成30口角的直线有且只有：(B) 1 条(B) 2 条(C) 3 条(D) 4 条10、设f (

5、x) =sin(ox+中)，其中中>0 ,则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是(A) f(0)=0(C) f(0)=1(C) (0)=1(D) f'(0)=011、定义在R上的函数f(x)满足:(A) 13(B) 2(D)_213212、已知抛物线C: y =8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且f(x)叶(x+2)=13, f(1) = 2,则 f(99) =| AK |=/2 |AF ,| 则 AFK 的面积为(A) 4(B) 8(C) 16(D) 32第n卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。(13)、

6、(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .(14)、已知直线l :x y+4 =0与圆C :(x1)2+(y 1)2 =2 ,则C上各点到l距离的最小 值为.(15)、已知正四棱柱的对角线的长为屈,且对角线与底面所成角的余弦值为,则该正3四棱柱的体积等于.(16)、设等差数列an的前项和为Sn,若S4>10, S5W15,则a4的最大值为 /f/ / / / / / 芦 / / / / r / / / / / /供/2019年普通高等学校招生全国统一考试（四川）数 学 （理工农医类）题号 12345678910 H 12 得分选项二、填空题答题卡：13.。 14.。 15.。 1

7、6.。三.解答题 共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤得分 评卷人 17.（本小题满分 12分）/ / / /求函数y = 7 -4sin xcosx +4cos2 x -4cos4 x的最大值与最小值.得分评卷人18.（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客贝买甲种商品的概率为0.5 ,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.（I ）求进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（n）求进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（出）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、

8、乙两种商品中的一种的人数，求口的分布列及期望.理科试题第3页（共14页）得分 评卷人 19.(本小题满分 12分)如图，平面ABEF，平面ABCD ,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，/BA4/FA氏90口， BC/1ad, BE/【AF.(I)证明：C、D、F、E四点共面；(n)设 AB = BC = BE ,求二面角 A ED B的大小.理科试题第7页(共14页)得分 评卷人 20.(本小题满分 12分)设数列an的前项为Sn,已知ban 2n =(b1)0 .(I)证明：当b=2时，an n 2n是等比数列;(n)求an的通项公式.得分评卷人 21.(本小题满分 12分)2 2设椭圆

9、 与+乂=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率3 = 乂2, 2一 一 一LF2N|F1M'|=|F2N |=2而,求 a、b 的值; -1 I -(n)证明：当|MN|取最小值时，F1M +F2N与F1F2共线.右准线为(I)若l, M、N是l上的两个动点,F1M得分 评卷人 22.(本小题满分 14分)已知x =3是函数f (x) = a ln(1 +x) +x2 10x的一个极值点.(I)求 a ;(n)求函数f(x)的单调区间；(m)若直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围.理科试题第11页（共14页）2019年普通高等学校招

10、生全国统一考试（四川卷）理科数学（含详细解析）说明：2019年是四川省高考自主命题的第三年，因突遭特大地震灾害，四川六市州40县延考，本卷为非延考卷.一、选择题：（5'父12 =60'）1 .若集合 U M1,2,3,4,5， A=1,2,3，B =2 ,3,4，则 Cu （A。B）=（）A- 2,3 B 1,4,5 C 4,5 D 1,5解析：选B.离散型集合的交并补，送分题.难度为三年来最低，究其原因，盖汶川地震之故.2 .复数 2i（1+i）2 =（）A. -4 B. 4 C . -4i D. 4i解析：选A.计算题，无任何陷阱，徒送分耳.2019四川考生因祸得福.3 -

11、 （tanx 4cotx）cos2x =（）A. tanx b . sin x c . cosx d. cot x _. ?解析原式.sinx cosx.2.cos x（）cos x=sinxcosx-cosx sin xsinx2322=sin xc0sx加0s x =cosx（sin XyOS x）二c0sx Hotx,选D.同角三角函数基本关系式，切化弦技巧等，属三 sinxsinxsin x角恒等变换范畴，辅以常规的代数变形.中等生无忧.A.C.4 .直线y =3x绕原点逆时针旋转90 ，再向右平移1个单位后所得的直线为（）11R1y = 一 x ' y = 一一 x , 13

12、331 y =3x 3D- y = 一 x 73_1.再右移 1 得 y=_1(x.1)33选A.解析：本题有新意，审题是关键.旋转90顼U与原直线垂直，故旋转后斜率为本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则.辅以平几背景之旋转变换.5 .若 0 Wot 2兀，sin ot 3cosa，贝U a的取值范围是（）AB. /二C. ,二 4二、D. /： 3二、（3,2）（3,一）9）（§,万）解析：曲口：斥。小 即 sina 第cosct°，即 2sin（a 工）0，即 sin（o（工）0 ； 33又由0刍（2n，得上为二父史；333综上，0 金工切，即三二 也选c本题考到

13、了正弦函数的正负区间-333除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区 间.3, 4, 5题是本卷第一个坡，是中差生需消耗时间的地方.6.从包括甲、乙共10人中选4人去参加公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的选法有（A. 70 B, 112 C , 140 D . 168解析：审题后针对题目中的至少二字，首选排除法.c* _C84 =21070 =140 .选C.本题应注意解题策略.7.已知等比数列anA.(-二，-1C. 3,二) D中，a2 =1,则该数列前三项和S3的取值范围是（）B-（-二,o）U（i,二）（n TU3,收）A.

14、3: 5:C. 5: 7:解析：由题知，解析：S =x由十（x#0）由双勾函数y=x+1的图象知，x+，之2或x+1 £-2，故本题选D.本题主要 3xxxx考查等比数列的相关概念和双勾函数的图象和性质.以上诸题，基本功扎实的同学耗时不多.8 .设M M是千O的半径OP上的两点，且 NP=MN =OM ，分别过N M O作垂直于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（B. 3: 6: 8D. 5: 8: 9M、N是OP的三等分点，三个圆的面积之比即为半径的平方之比.在球的轴载面图中易求得：22R2 _(R)2=8R,R2_(空)2_5R ，故三个圆的半径的平方之比为：R2 f

15、R2TR2，故本题选D.r 3，_ 93999本题着意考查空间想象能力.9 .设直线l u平面a ,过平面a外一点A且与l、 a都成30痈的直线有且只有()A. 1条 B. 2条 C .3条 D.4条解析：所求直线在平面 a内的射影必与直线l平行，这样的直线只有两条，选B.本题考查空间角的概念和空间想象能力.10 .设f (x) =sin(ecix+中)，其中甲>0,则函数f(x)是偶函数的充分必要条件是()A- f(0)H B- f(0)=1 C - f'(0)=iD- f'(0)=0解析：本题考查理性思维和综合推理能力.函数f(x)是偶函数，则 平=名水打，f=小，故

16、排除A，B.又 f 1(x)-cos(期用，邛=+kn， f (0) =0 选 D2此为一般化思路.也可走特殊化思路，取8=1,邛=三验证.一一211 定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)，f(x+2)=13，f(1)=2,则 f(99)=()A. 13B, 2 C. 13 D . _22213解析：由 f (x)，f (x +2) =13，知 f (x +2)，f (x +4) =13，所以 f (x +4) = f (x)，即 f (x)是周期函数，周期为4.所以i 13 13.选C.题着意考查抽象函数的性质赋值、迭代、构造是解抽f (99) =f (3 4 24) =f =-fy

17、) =象函数问题不可或缺的三招.本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型，优生要笑了.12.设抛物线C： y2 =8x的焦点为F,准线与x轴相交于点K,点A在C上且AK|=<2|AF ，则FK的面积 为()A. 4 B, 8C, 16D. 32解析：解几常规题压轴，不怕.边读题边画图.y2=8x的焦点F(2,0)，准线x=2，K(-2,0) 设A(x,y), 由 AK =4i|AF , 得 J(x +2)2 +y2 =J2J(x_2)2 +y2，即(x+2)2 +y2 =2(x2)2+y2 化简得：y2 =T2 M2x 4 ,与y2 =8x联立求解，解得:本题的难度仅体现在对运算的准确

18、性和快捷性上. 点评：X =2 , y =型 S&FK =2，fk，yA W 4 4 =8，选 B2019地震的光？(1)纵观12道选择题，没有真正意义上的压轴题，这是大众数学时代的来临呢，还是沾了(2)真正体现了多考点想，少考点算的一套试题，做到了言而有信.(3)进一步体现了回归教材的意图，在高三复习中，题海战术应被教材串讲取而代之.(4)全面考查双基，基础扎实的同学受益，走难偏深押题路线的策略得不偿失.(5)周考月考的命题意图命题方向命题难度值得反思.二、填空题：(4'父4 =16') 13-(1+2x)3(1x)4的展开式中x2项的系数是 答案：-6.解析：二项式

19、定理再现，难度高于文科.(1 2x)3 (1 -x)4=(1 +c3 2x +c； 4x2 +11)(1 -c4x -+c42x2 +ill)2 .x 项的系数是 c： 2C3c： +4C32 =6 -24 士 2 =-6 这是中档略偏难的常规题.中差生在准确性和快捷性上有缺陷.14 .已知直线|：xy%=0,圆C:(xT)2y1)2=2,则圆C上各点到直线l的距离的最小值是 答案：2戏.解析：由数想形，所求最小值=圆心到到直线的距离一圆的半径.圆心 (1,1)到直线x_y+6=0的距离d 上点五 故最小值为3五五二五.一 2,15 .已知正四棱柱的一条对角线长为遥，且与底面所成的角的余弦值为

20、 正，则该正四棱柱的体积是 3答案：2.解析：由题意，j2 4a2 什2 =6 ， 0=1 , =V =a2h =2cos?=6316.设等差数列an的前n项和为sn,答案：4.解析：由题意，44>£d 40,即1用a125a115 ：4. 15a1 -d ：:15“ c h=2S4 H0，S5 E15，则a4的最大值是46d 210，心a143d "，a4=a1+3d-10d <15a1 2d <3I -这是加了包装的线性规划，有意思.建立平面直角坐标系a10d ,画出可行域j2a1 +3d >5 (图略)，画出a1 -2d <3目标函数即直

21、线a4=a1 +3d，由图知，当直线a4 =a1 +3d过可行域内(1,1)点时截面最大，此时目标函数取最大值a4 * .本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想.掌握线性规划问题"画移一求一答"四步曲，理解线性规划解题程序的实质是根本.这是本题的命题意图.因约束条件只有两个，本题也可走不等式路线.设a1 +3d =K1(2a1 +3d) +Z2(a1 +2d)，由p九+九=1解得p&j3，1 N ,2 =3.2 =3& +3d =-(2al +3d) +3(4+2d)，由不等式的性质得：2q 3d _5二|；(2q -3d)_石a12d

22、 l3 一, 3(21 2d) <9n-(24 +3d) +3(a +2d) <4，即a4 =a1 +3d <4， a4的最大值是 4.从解题效率来看，不等式路线为佳，尽管命题者的意图为线性规划路线.本题解题策略的选择至关重要.点评：(1)二项式定理，直线和圆的方程，正四棱柱，数列几个知识点均为前两年未考点.(2)无多选压轴题.无开放性压轴题.易入手，考不好考生只能怪自已.题出得基础，出得好，出得妙.尤其是第16题.17.解析： y =7 ysin xcosx +4cos2 x -4cos4x2.42 、2=8-4sin xcosx-1-4cos x -4cos x=8-4s

23、in xcosx -(1 -2cos x)2 一=8 -2sin 2x 一cos 2x一 一 .一 2 一、=8 -2sin 2x -(1 -sin 2x)2 .=7 -2sin 2x »sin 2x一 2=6 ' (1 -sin 2x)ymax =10， ymin =6 解析： y =7 -4sin xcosx 4cos2 x -4cos4x2-2、=7 -2sin 2x »4cos x(1 -cos x)22=7-2sin 2x 4cos xsin x=7 -2sin 2x sin2 2x一 2=6 (1 -sin 2x)ymax =10，ymin =6 -点评

24、：一考三角恒等变换，二考三角函数与二次函数相结合，意在避开前几年固定套路.由此观之，一味追前两年高考试题套路之风有踏空之嫌，立足考点回归教材方为根本.18.解析：题目这么容易，估计今年的评分标准要偏严了.(l) P =0.5 (1-0.6) (1-0.5) 0.6 =0.2 0.3 =0.5(口)P =1 _(1 -0.5)(1 -0.6) =0.8(m) X 可取 0,1,2, 3.P( =0) =C0 (1 -0.8)3 =0.008P( J) =C3 M(1 -0.8)2 M0.8 =0.096P(：=2)=C； (1 -0.8) 0.82 =0.384理科试题第#页(共14页)P(，=

25、3)=C； 0.83=0.512-的分布列为IT10123p0.0080.0960.3840.512 B(3,0.8)E 之=3 M0.8 =2.4 -点评：返朴归真，教材难度，审题无障碍.平和中正之风宜大力提倡.19 .解析：不是会不会的问题，而是熟不熟的问题，答题时间是最大问题.(I).面 ABEF _L® ABCD, AF_LAB=90 口:AF _® ABCD .y轴,z轴,;以A为原点，以AB , AD , AF所在直线为X轴, 建立如图所示的空间直角坐标系a _xyz .不妨设 AB =a ， AD =2b , AF =2c，贝UA(0,0,0)，B(a,0,0

26、)，C(a,b,0)， D(0,2b,0)，E 殷 c)，F(0,0, 2c) DF =(0, -2b, 2c)，DF CE ,CE4。,父)， DF=2CE,_ _ 一_ _ B _一 C一 E 更 DF , ： DFCE, ：C、D E F 四点共面.(口)设 AB =1 ,贝U BC =BE J , B(1,0,0)， D(0,2,0) ， E(1卬)设平面AED的法向量为n； =(x1, y1, z),K r，.由 U AE=0,得产 +Z1=。，R=(1,0,_1)1nl AD =0J2yi =0设平面BED的法向量为；=(x2,y2Z)L ，T由2 BE =0,得户 W , n2

27、=(2,1,0)n1 BD =0_2 2y2 =0、T T T Lcos：n1,n2_k _ 2=°怖V我店5由图知，二面角A-ED-B为锐角，.其大小为我.八八"arccos5点评：证共面就是证平行，求二面角转为求法向量夹角，时间问题是本题的困惑处.心浮气燥会在计算、书写、时间上丢分.因建 系容易，提倡用向量法.本时耗时要超过17题与18题用时之和.20.解析：由题意，在ban -2n =(b 1)Sn中，令 n =1 ,得 ba1 -2 =(b -1)a1, a1 = 2 .由 ban -2n =(b -1)Sn得 ban 工一2n 1 =(b 1)Sn1(n -2,n

28、 N*)两式相减得：b(an -an 1) -2(b -1)an即 an =ban 工+2n 勺n 攵,n n*)(D 当 b =2 时，由知，an =2an J 2n 1于是 an -n 2n. =2an x 一(n -1) 2n=2为1-8 一1) 2n B (n -2,n N*)又a1T 2j=#0,所以an-n 2n )是首项为1,公比为2的等比数歹U.理科试题第12页(共14页)（D 变：当b =2时，求an的通项公式.解法如下:解：当b=2时，由知，an =2an+2n，两边同时除以2n得an2nan 1(n _2,n EN*) 2n1 2¥ =1 (n _2,n N*)

29、 2-2是等差数列，公差为1,首项为电=1 an(n)当1 1=1(n -1) =(n 1)2 2=(n -+1)2n- (: an -n 2n,=2n，： an -n 2n-是等比数列，首项为 1,公比为 2)b =2时，由（I）知,当b#2时，由：a =ban两边同时除以2n得曳2n 一2an -n 2nl =2n1,即 an =(n - 1) 2n 工 - 2n 1可设包.一2n展开得匹_2nb2b2(挑十九)-an L +b -2 卜与anb anJ比较，二- -nT ,一 2n 2 2n1 2得 b _2 rx 1 ,.1.丁 " =2' bT2;an=b * &#

30、39;)2n b -22 2n b -2ran工1、是等比数列， ，公比为b ,首项为1+12b -2b -1b -2.bzl (b)n1b -2 2b -1b-22n二b(2)n _Lb (2)nan =2n1 1b -21_2(bW)bn1-2n-b -2 -b2点评：这是第一道考查"会不会”的问题.如若不会，对不起，请先绕道走.对大多数考生而言，此题是一道拦路虎.可能比压轴题还让人头痛.原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法.递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已.不过此题对考生有不公平之嫌.大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了.解题有套方为高啊.21 .解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中.开始挤牙膏吧.（I ）由已知，F1( V,0)，由 e -2e2F2(c,0) 2一 a又a2b2=2c2 .=b2 十c2, =c2, a2 =2b2.2, 2a 2c cx = =2c 'c cMONM(2c