《求点的轨迹方程》的教学实践与反思

1、求点的轨迹方程的教学实践与反思新课程理念下的一堂高三复习课高三复习中，如何在新的课改理念的指导下，更新观念，转换角色，调整教学策略，提高课堂教学的有效性，全面发展学生能力，是我们每个教师应关注的问题，本人就求点的轨迹方程一课，在课堂教学中如何落实双基与发展学生的能力作了一些尝试。课前设计：教学目标：知识与技能：1 .能从课前练习中归纳求动点的轨迹方程的四种常用方法：直接法、定义法、相 关点代入法、参数法；2 .注意求轨迹方程问题中的易出错误，注意方程的纯粹性和完备性；3 .能选择适当的方法求轨迹方程。过程与方法：1 .进一步强化类比联想的方法，领会方程，数形结合，分类讨论等数学思想；2 .培养

2、思维的灵活性和严密性；3 .学会在求轨迹时，如何思考问题。情感态度价值观：1 .感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美；2 .树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气。 教学重点：1 .求曲线方程的四种方法：直接法、定义法、相关点代入法、参数法；2 .注意求曲线方程的纯粹性和完备性教学难点：灵活运用求曲线方程的几何法，代入法。教学程序与策略：一.问题引入：练习：1.已知向量OP与OQ关于y轴对称，且20Pod=1,则点P(x,y)的轨迹方程是 2.AABC中，已知B、C的坐标分别为(一3, 0)和(3, 0),且的周长为16,则顶点A的 轨迹方程为.223.已知点P(x, y)满足x + y =

3、 4 ,过P作PF垂直x轴于F点，则PF的中点M的轨迹万 程为.224.已知点P(x, y)满足x +y =4，则点Q(xy, x + y)的轨迹方程为 .学生解决问题，教师巡视，学生口答并归纳求率哟然四种方法。设计意图：设置问题情境，学生思考，练习，能理解和掌握求曲线方程的四种常用方法，并 能自我小结，归纳出求动点轨迹方程的四种常用高度计的规律。二.探索研究：问题1：如图，在AABC中，BC =6若AABC的内切圆切BC边于D点且BD CD = 4 ,建立适当的直角坐标系，求顶点A的轨迹方程。通过师生共同分析，掌握问题1的解法。设计意图：利用变式教学根据约束动点变动的几 何条件，利用圆锥曲线

4、的定义得出动点轨迹方程， 并注意方程的纯粹性。O'点F的直线交抛物线于心G的轨迹方程(其中A、B两点，求AABC重O为坐标原点)。F问题2：如图，过抛物线C : y2 =4x (x#0)的焦师生分析寻求解决问题的多种方法。设计意图：如果没有找到约束动点变化的几何条件，则解决问题的关键是寻找引起变化的原因。三.归纳小结：指导并由学生自我小结。求曲线方程的步骤。求曲线方程的常用方法。本节课渗透的数学思想方法教学实录：出示练习并由学生单独完成，并请一位同学口答O O 1生 1:练 1: y - x2 =222练 2: x +匕=125162练 3： + y2 =14师：有没有同学需要补充？生

5、2: 1, 3两题答案是对的，2, 4两题的答案不完整，结论中少了限制条件。练 2应该加上y ¥0,练4要加上2 MX M2。师：为什么要加上这些限制条件？生2:练4中，因为点P在圆上，所以应该有 2 < X<2这个限制条件。练 2中，因为当A、B、C共线时，不能构成三角形，所以应该有y¥0这个条件。师：我再提个问题，这4个练习分别用了求轨迹方程中的什么方法，求轨迹方程的步骤是什么？生3:求轨迹方程的过程，应体现五个步骤，它们是：建立适当的直角坐标系，设动点坐标；有根据限制条件写出动点的集合坐标代入；化简方程；说明坐标满足方程的点在曲线上。4个练习中，1是直接法

6、，2是定义法，3是相关点代入法，4是参数法。师：口答得很好，在这 5个步骤中你们认为最关键的是哪一步？生4:是第2步，写出约束动点变化的限制条件，将此条件转化为代数形式，就可以得出动 点的轨迹方程了。师：很好，找出约束动点变化的限制条件是求动点轨迹方程的关键！在求解此类问题时要有找“限制条件的意识”。教师把练2中的条件改变一下，接着提问题。出示问题1,学生思考，解答，教师巡视。学生解答过程用多媒体展示，现摘录其一。生5：以BC所在直线为X轴，以BC的中垂线为y轴建立如图所示直角坐标系。B(-3,0).C(3,0)丁 BD - CD = 4 ,二 AB - AC = 4,二动点A的轨迹是B、C以

7、为焦点的双曲线 的右支，22二方程为+=1（X >2）。45师：你是如何得出 ,AB - AC =4?生5：设D、E、F是。'与相切的切点，BD = BE , CD =|CF , AE =|AF ,:.AB - AC = BE - CF = BD CD c师：动点A的轨迹为什么不是整支双曲线?生5:这个约束条件不是双曲线的定义，是双曲线的一个分支。师：回答得很好。如果限制条件符合自己已经学习过的曲线定义，则可以比较容易地写出动点的轨迹方程，如果限制条件不符合圆锥曲线的定义，又如何解决这类问题呢？继续出示问题2,请同学思考，请一个学生回答。生6：设直线AB的方程为y = k(x1)

8、,设 A(xi, yi), B(X2, y2)，G(x, y)。y = k(x -1)、y2 = 4x2 2_ 22.k x -(2k4)x k =0 ；-4x1 x2 =2 k2又丁 G是AABC的重心,x=x乂2 二3.yiy243k消去k ,得点G的轨迹方程是4x 8一 o393师：解法对吗？大家说说看。生7：直线AB可以垂直x轴,这个问题有一定难度，问两条动直线的交点的轨迹。教师借助几何画板的演示,所以k有可能不存在。解题时要分为两种情况。当 k不存在2 c时AB: x =1 ,二G(g,0)满足所求方程。生8：设直线AB的方程为：x = my +1,则可以避免对直线 AB的斜率的讨论

9、，结论和方法都不会改变。师;你真聪明。本题与问1的题设条件不一样，不易写出动点G在变动时所满足的几何条件， 但却容易看出，直线绕焦点F转动是引起点 G变动的原因。因些，我们可以用直线的斜率过渡，建立起 G横、纵坐标之间的联系，也就是动点G的轨迹方程。接下来，教师继续改变问题。22问题3：已知椭圆工+1=1的一动弦pp2与长轴AB垂直，且AR与BP2相交于点Q,25 16求点Q的轨迹方程。2是直线AB绕F点旋转引起变化，现在是动直线 P1P2平移，求让学生观察、讨论，寻求解题途径，几分钟后，有学生举手回答。生 9：设 Q(x, y), P1(xo, yo), P2(xo,-yo) 则APi的方程

10、为：y =y(x+5);X05 y0BP2 的方程为：y="一(x5)5 -'xo225x0 =两直线的交点为 Q(x,y),联立方程组，解得x5yyo =L.x22x y又一点Pi在椭圆上，一代入椭圆方程得 =12516师：为什么先设 PnPz点的坐标呢?生9:因为直线P1P2是引起动点运动的原因。师：这样说来，寻找到了引起动点运动的原因是解决问题的关键。很好。如果把椭圆2222二十匕=1改为与+ L =1(a Ab A0),其余条件不变，则 Q点的轨迹方程是什么?25 16a2 b222若将椭圆类比到双曲线 x-匕=1,试写出类似的结论。25 162222生10：在与+

11、y2=1(a Ab >0)的条件下，轨迹方程为 三一4=1, a ba b22类比为双曲线，则轨迹方程为 3+匕=1。25 16教师用几何画板演示，验证结论的正确性。师：现在我们回顾刚才几个问题的解题过程，当你在遇到求点的轨迹方程问题时，你该从何思考？生11：首先应该看一看，根据题意是否能找出约束动点变动的限制条件，如果有，则可以直接把几何条件用代数形式表示出来，如果限制条件是我们熟悉的曲线形状，就可以直接根据定义写出它的方程。生12:寻找约束动点的限制条件是关键，如果题中没有约束动点变化的限制条件，我们就 要寻找动因。师：大家都谈得很好，我们在求点的轨迹方程问题时，通常可以从下面两条思

12、路来思考。一是题中是否可以找到约束动点变化的限制条件，如果有，而且曲线形状还是我们熟悉的，我们就可以直接写出方程。 如果有，但曲线形状是未知的， 我们就可以利用求轨迹方程的五 个步骤去探求。二是寻找引起动点运动的原因。如果动因找到了，我们就可以将动因与所求动点坐标建立起 联系，从而解决问题。 教后反思： 一强调基础知识这节课是一堂高三复习课， 学生已经学习了曲线方程的概念， 求曲线的方程的步骤等基础知识， 设计中我以 4 个填空题作为基本问题， 学生通过对4 个填空题的分析解答， 找到求点的轨迹方程的 4 种方法。 一方面加深了对曲线和方程概念的理解、 记忆和运用基础知识的目的，另一方面也巩固

13、了求曲线方程的基本方法。二重视基本技能训练在课堂教学中要落实双基教学， 让学生熟练地掌握基本技能， 必须将基本技能由浅入深、由低到高、 由简单到复杂， 形成系列， 先让学生运用基础知识和基本热能解决一些简单的基本问题， 最后综合和灵活运用它们解决一些较复杂的问题， 本节课中， 求曲线的轨迹方程的热能训练有三个层次：1. 运用求点的轨迹方程的常用方法解决简单的基本问题（如练习）2. 运用求点的轨迹方程的常用方法解决一般的轨迹问题（如问 1 ）3. 灵活运用点的轨迹方程的方法解决较复杂的轨迹问题三教学生“学会思考”在高三阶段，相对来说，学生缺少的主要是“能力”一一知识运用的能力、分析问题的能力、

14、解决问题的能力。 所以， 我们要始终把对学生能力的培养、 提高放在十分重要的位置，因此在本堂课的设计中， 把求轨迹问题思考的出发点作为本课的核心内容。 通过本课的复习，力求使学生在遇到求轨迹问题时， 学会自己思考问题， 知道自己该如何下手， 而不是利用各种方法进行简单机械地操作， 设计问 1 力求培养学生纵向思维和横向思维， 提升学生分析问题，解决问题的能力。问 3 中设计了研究性问题， 使得学生不仅要复习数学知识，还需要通过复习发现问题进而解决问题， 着重培养学生类比、 推广等探究能力， 整堂课强调过程教学、启发思维，调动学生学习数学的积极性，让学生真正参与其中。四如何实施解题教学解题教学在高三总复习中占有相当的比重。 在解题教学中， 必须让学生养成良好的习惯，强调表达规范。这里包括审题规范、语言表达规范、答案规范，因