一元函数微分学练习题

1、高等数学（I）练习第二章一元函数微分学专业班 姓名学号25习题一导数概念.填空题f （x。）存在，则lmf(x0 - ：x) - f(x0)-f (刈)2.（刈）存在，hmf(Xo h) - f(Xo -h) 2f (Xo)f(xo 3.：x) - f(Xo)3f (%)3.f '(x°) = 2,则 limx。f(x0 -2x)-f(x0)4.5.已知物体的运动规律为 s=t +t2（米），则物体在t =2秒时的瞬时速度为二1, 3 二曲线y =cosx在x = 一处的切线方程为 7 -2 - 2 （乂一，3西线方程为35m/ sy=*(x=)=2U36.用箭头？或？表示在

2、某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系,;极限存在二、选择题;连续一,可导。(A)2.设(A)f (0) =0,且 f '(0)存在，则 lim f( xf (x)(B) f (0)(C) f(0)(D)f(0)f （x）在x处可导，a,b为常数，则f (x)(B) (a b)f (x)lxmof (x a x) f (x b ：x)(C) (a -b) f (x)(D)(x)3.函数在点x0处连续是在该点x0处可导的条件（A）充分但不是必要（B）必要但不是充分（C）充分必要(D)即非充分也非必要(A) (0,1)(B) (1, 0)(C) ( 0,0)(D)(1,1)5.设函数

3、f(x)=|sinx|,则 f(x)在 x=0处（A）不连续。（B）连续，但不可导。(C)可导，但不连续。(D)可导，且导数也连续。三、设函数f (x) = «2xax bx < 1为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a, b应取什么值。x 1解：因为f (x)在x =1处连续，所以f (11 = f (0=f(1),f (11 = lim x2 =1 = f (1), f (1+)=lim(ax +b) = a+b,所以 a+b=1 x_1 -x_1 1' 因为f (x)在x =1处可导，所以f：(1)= fX1)f_(1) = lim 2x = 2, f (1)

4、 = lim a = a,-x_1 一x_1 ,所以 a =2,b = 1四、如果f(x)为偶函数，且f'(0)存在，证明f'(0)=0。证：因为f(x)为偶函数，所以f (x) = f (-x),又因为f(.：x)-f(0) f (- x)- f(0) f( x)- f (0)f _(0); lim - = lim -二-lim - =-f (0)二J0LxLx二J0'Lx而因为f (0)存在，故f&0) = f = f40)，所以f '(0)=0.五、 证明：双曲线xy= a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。证：设双曲线上的任意一点

5、为(x0, y0),则x0y0 =a2,又因y+xy' = 0,所以双曲线在该点的切线方程为y = _° (x-x0) y0,x。故它与两坐标轴的交点分别为(0,2y0)和(2x0,0),1 2所以二角形的面积 S =- (2x0) (2y0) =2x0y0 =2a为te值.、填空题高等数学（i ）练习专业 班级习题二求导法则第二章一元函数微分学姓名（一）学号2.3.4.5.6.2=(2 secx) sin x, y = tan x 2cos x ；- 1= cos(2ex) , y'= -2e sin(2e ).110g 2 x =xlog2 x ln 2, r =

6、ln2w = ln(sect tant), w = sectx(1 x2) = l x21ln(x + 出 +x2) :J1+x2二、选择题一， sin x1 .已知y=,则x/ 、 xsin x -cosx(A) 2xsin x(B)_sin xy = esin 2x y =x0P = ln tan 二2_sin x,y，= 一cosxe .2xcos2x。sin 2x：=CSCIy = arccosx2 52T 1+ x), yf= V1-(x2+ x)2（足。）/ln(x 、1 x2) C)=1 1 x2xcosx -sin x2xsin x - xsin x(C)(D)3- 2一一x

7、cosx - x sin x2.已知y=1 cosx/ A、 cosx T(A)2cosx 1,x3.已知 y =sece ,x(A) esecex tan4.已知(A)1 cosx(B)2cosx -1(B)secex tane(C)1 cosx(C) tan ex(D)2cosx -A1 cosxx , x(D) e cot e2y Tn(x +中 +x ),11 x2(B)1 x2x(C)1 x2(D)x2 -1(C) 1/2D (D) -2B 5 .已知 y =ln cotx ,贝U y'| = x -4(A) 1(B) 2,1 - x6 . 已知 y =，则 y =1 x(A

8、)2(x 1)2(B)-2(x 1)2(C)2x(x 1)2(D)-2x(x 1)2(2)y = tan(ln x)三、计算下列函数的导数：(1) y = ln(3 x) 3 In x1 1-3- 1 J- 1y，x3 v1 -x22*1 -x2 3(lnx) x10(1 (lnx) 3)3xy =sec2(ln x)1sec2(ln x)x xsin21(3) u =e v3、(4 ) y= sec (lnx).21-sin - vu =e1 . 2 sin-e v v1 (-2sin v.2 1-sin、 v1 cos v1(2)v2y = 3sec (ln x)sec(ln x) tan

9、(ln x)33二一 sec (ln x)tan(ln x) x(5) y =ln(x .1 -x2)(6) y = arctan 匕x1 x1-(1 x) - (1 - x) _11.(马2(1 x)2-r21 xy' =1 (x + & -x2)x .1-x21-2x(1.)四、设f(x)可导，求下列函数 y的导数dydx(1) y = f (sin x) +sin f (x)22、(2)y = f (sin x) f (cos x)y = f (sin x)cosx cos(f (x) f (x) 二cosx f (sinx) f (x)cos( f (x)22y = f

10、 (sin x)2sin xcosx f (cos x)(2cosx (一sinx)=sin 2x( f (sin2 x) - f (cos2 x)高等数学(i )练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班级 姓名 学号习题三求导法则(二)1.2.3.填空题：xy =e 2 cos3x , y '=1 .y =arccos- , y = x.2sin x 1y =arcsin,2 sin xJ 1In x-e 2 ( cos3x 3sin 3x) -.2 -2 ； y = Y1 +ln2 x , yf=x-1 + ln x11arctan x二arxtan/x 一e-x|Vx2 -1 ；

11、 y = e ，y = 27x(1 +x) 、3 cosx|cosx| (2 sinx)4.设 y =arctanex Tn Je,则 dy|x = e2x -1dx1221e2e2 -1二 215.设 y = (x+e 2)3,则 y'|xm=6.设f (x)有连续的导数，在x =0处连续，则常数 二、选择题：f (x) +asin xf (0) = 0 ,且 f '(0) =b ,若函数 F(x)= xA ,a bA = 1.设 y = f ( x),贝 U y'=(A) f'(x)(B) f'(x)(C) f'(x)(D) f'(x

12、)2.设周期函数f(x)在(-巴+8)可导，周期为4,又lim f(1) - f(1 -x) = -1,则曲线y = f (x)在点(5, f (5)处的切线的斜率为(A) 1(B) 0(C) -121 2x3.已知 y=arctan则 y =21 -x2(A) 4"+1(B) /1+x2(C)xx 1D (D) - 2C (D)x2 T4. 已知 y =arcsin(xln x),则 y'=(A) ln x(B)xln x,1 -(xln x)21 ln x()1 . (xln x)2(D)1 - (xln x)2In x-1二、已知y = f221(x)=arctanx(

13、3x+2j2,求:dy心 dx/3x-2、/3x-2、+ z3x-2 2y = f ()()=arctan()3x 2 3x 23x 2二八 3 二- y |x -0 = - 3 二4412(3x 2)2四、设x >0时，可导函数f (x)满足:_ 13f(x) +2f(-)=",求 x xf (x) (x 0)；f(x) 2f(1) =3r 1 r f(-) 2f(x)x=3x,1.f(x)=2x - x一.1.f (x) -2 -2(x 0) x2五、已知中(x) =af (x),且 f '(x)=1ln a f (x)，证明:(x)= 2=(x)7 (x) =af

14、2(x)2(x) =af (x)ln a 2f(x) f (x)f2(x)f 2( )_1=2- (x)=a ln a 2f (x)= 2alna f (x)六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。证：设f(x)是可导的奇函数，则- f (x)= f (-x),两边同时对x求导可得：f (x) = f ( -x) 24 所以f '(x)是偶函数。高等数学(I)练习 第二章 一元函数微分学系 专业 班 姓名 学号习题四隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、填空题yye ey 一, ,1.仅 y =1 xe，贝U y = 2 一 y i 一 xey2.设 r =tan(6 +r),则 r

15、'=9.-csc C r)x y、一 .-22-, y L r -3 .设 In qx +y = arctan ,则 y = x y xcost -sint,贝U dy = sint costdx y -xx = e sin t4 .设, ty =e costdy|dx三二、选择题1.由方程siny+xey =0所确定的曲线y=y(x)在(0, 0)点处的切线斜率为(A) 1(B) 122 .设由方程xy =2所确定的隐函数为(A) -(B)2x2x，、-1-3 .设由方程x - y+sin y = 0所确见2(C)(D) 一22dyy = y(x)，贝U =dxyy(C) -(D)-

16、隐函数为 y = y( x),则0y =dx(A) 22 -cos y(B)22 sin y22 cosy(D)22 -cosxx =a(t -sint) _n4 .设由方程3所确定的函数为 y = y(x),则在t =一处的导数为 B 、y=a(1-cost)2，、,，1(A) -1(B) 1(C) 0(D)-25 .设由方程I'所确定的函数为y=y(x)，则立=B y = arctantdx25三、求下列函数的导数dydx方程两边同时对x求导得2工2工-x 3 -y 3y =033(C)2.dy12t(D) t.3 i=a cos t. 3 .=a sin t2dy/dt 3asi

17、n tcost2 .dx dx/dt 3acos t (-sint)sintcosty = -33. y +x2y3 +yex +1=04. y = xsin x, 1 - ex方程两边同时对x求导得y 2xy3 3x2y2y yex yex方程两边同时取对数得3 x2xy ye- -22x1 3x y eln y 二-ln x Insinx 一方程两边同时对x求导得ln(1- ex)29四、求曲线x -ex sin 8+1=0 ,y _e3 -29 =0y = xsinx 1 - ex (在9 = 0处的切线方程，法线方程1 cosx2x 2sinx 4(1-ex)方程dxx -ex sin

18、H +1 =0两边同时对a求导得-eddxx dx_x) - sin -e cos- = 0, dexcos -d -1 -ex sin -方程y e3 2日=0两边同时对e求导得dy =3。2 2ddy dy/du (312 2)(1-ex sin7dxdx/d：excos-:“当日=0寸，x = T,y =0二出 |& = 2e dx高等数学（I ）练习 第二章元函数微分学312.3.4.、填空题5.6.7.专业姓名学号习题五高阶导数cos' sin.设 r = (pcos(p，则 r =,-2sin4 cos1y = ln(x + 小 + x2)，则 y'=1 +

19、x22、y = f(t2),且 f ”(t)存在，则曳=(_)dteyy=1+xey,贝U y'= 2 yx723/2(1 x )±1 =2 =9 dt2e2y(3-y) 2e2f'(t2) 4t2f ”(t2)2y 3y! -xe,y”= (2-y)3(1-xey)31 t2(x=f(t)，且业则吗.y = t - arctant dx 2 dxn 2x4(n)+ e ，则 yn 2x 1n! 2 e设 f(x) =x(x 1)(x2)(x2001),则,(0)=一2001!二、选择题1.若 y =x2 In x,(A) 2ln x(B) 21nxi(C)2ln x

20、 2(D) 21n x 32.设 y = f (u),=ex,则 d dx(A)e2x f (u)(B) U2f (u) Uf (u)(C) e2f (u)(D)u f (u)uf (u)3.设2(n)y =sin x则 y =(A)(C)2n4sin2x (n -1)-2n 12 sin2x (n -1)(B) 2n”冗cos2x (n -1) 一 n二r(D) 2 sin2x (n -1)-高等数学(I)练习 第二章 一元函数微分学4.设y = xex,则y35(A) ex(x n)x(B) e (x - n)(C) 2ex(x n)(D)nx xe三、设f “(x)存在，求下列函数 y的

21、二阶导数d2y dx21. y 二 f (ex)2. y = ln f (x)dx2dy = f (ex) exdxd2vcy = f (ex) e2xf (ex) exdx小小f (x)二黑2 一 . 一, 一 ._d y f (x)f(x)-f (x)2f(x)2四、求下列函数y的二阶导数d2y dx2_Lx = acost 1.y 二bsint-.y .-222. arctan = ln x y xdy = dx d2y dx2bcost asintb2xb2xa2yb29(3 a2 dx yaa yy或d2ydx2ddx b(bcost)asintbcostd()/dtasintdx/

22、dt两边同时对x求导得1 y x - y1 (Y)2x2xx yy 二- x-y1 x2y2 2 . x2 y2(2x 2yy)y J1 y)(x-y)-(x y)(1-y)-2x2y(x-y)2(x-y)3一2 一. 3 , a sin t求 y(n)一1五、设 y =,2x -3当 y，"n)")n£!>系 专业 班 姓名 学号习题六函数的微分已知y =x2 X,计算在X =2处(1)当 Ax=0.1 时，Ay = 0.31, dy =3dx或0.3(2)当位=0.001时，4=0.003001, dy=3dx或SO。3。2 3,1、二1y 二(x 一)

23、(1)函数 y = arcsinV1 - x2在 x = 一一 处的近似表达式为 323y = (sin1 - cos1)x cos12(2)函数y=e/cos仅一1)在x = 0处的近似表达式为1,33.0185(3)计算近似值4 83 ：54三.填空(求函数的微分).2.21(2sin 二' c cos)d1、d(292sin9)=2、d(ln(cos Jx) ="tanx d Q2ln(1 -x),2dx3、d(ln (1 - x) =1 x24、5、(tan x sec x)dx d (In secx tan x) =1、1,1 - f (arctan 一) dxd

24、(f (arctan -) =x x 1xcosxd(sin x)6 、=sn_xd(cos x)xcosx -sin xd sin x2x37、K-=dx . x8、乌、9)= I 3x6dx3四.将适当的函数填入下列括号内，使等号成立。.,2不(1) . . xdx = d ( x2 C );3);1(2) . sin(3x2)dx =d ( - - cos(3x-2) +C 3(3) . (3x2 2x)dx =d ( x3 x2 );C1 ,1, x 八(5). -2 dx =d( arctan)Ca xa a2 .22 一(7). e d(x )=d ( e C );(9).1arc

25、sin x Cf=d ();.1 -x-arccosx C2 x .1_2x(4). e dx .d ( -2e- C )；(6). -1-dx =d ( 1ln(2x + 3)+C2x 32 万1、八(8) cos(2x)dx = d( 2sin(2x)十CIn x , 12(10). dx = d (- In x C )；x2五.求下列函数或隐函数的微分22xy(1) . + =1,求 dy ab解：方程两边同时求微分，得2xdx 2ydy一°dy,2 , b xdx2a y(2) . y = x + arctan y ,求 dy 解：方程两边同时求微分，得dy =dxdyy1

26、y1 y2dy 二一2dx y(3) . y =xsinx,求 dy解：y = esinxlnxdy = xsinxcos xln x snxdx高等数学(i )练习 第二章专业一元函数微分学姓名 学号习题七综合练习(一)、填空题f (x1 .设f '(x)存在，a # 0为常数，则limh Qh)-f(x-h)2f '(x) a2 .若抛物线y =x2 +bx+c在点(1,1)处的切线平行于直线y -x 1=0,3 .若f (x)可导，且yf (e> + sin中)，则 y = (cos'飞丁 '(e)4 .若x=f(t)2、y=ln(1+t2)，且 d

27、y=2t,则1 -y,29d y 2 2t2 dx2 "25 .若 xy+ey x =0,则 dy = x +2ye”x6.若 y = ue"u 则 y(100) = (u -100)e二、选择题f "(x) < 0,则 f (x)在(-8, 0)内A1.若 f (-x) = f (x),且在(0, 8)内 f '(x) >0,37(A) f'(x)< 0, f*(x)< 0(B)f r(x)< 0, f“(x)> 0(C) f'(x)>0, f“(x)< 0(D)f X x) >0,

28、f"(x) > 0x在x = -1处取得增量Ax = -0.1时，相应地函数增量Ay的线性主部为0.1 ,则f (1)=(A)-1(B) 0.1(Q 1(D)0.53.设f (x) = (x -1) arcsin(A)f (1) =0(B)f(1)=1、,冗(0 f (1)二一 4(D)f (1)不存在4.设(A)x .一.y = In tan 一 -cosx In tan x , 则 2cosxIn tan x (B) sin xln tan x(C) sin x In cot x(D)tan x In tan x.高等数学(i)练习 第二章元函数微分学、设函数y = y(x

29、)由方程ey+xy = e所确定，求 y(0).解：方程两边同时对 x求导得：eyy y xy = 0(1),. y,=-yey x方程(1)两边再对 x求导得：ey 'y' ,y' + ey ,y“+y' + y'+ xy" = 0 (2),所以，y=_叫2 2y二e x2 y 一 , y 、y e -2y(e x)(ey ' x)3当x =0时，y =1,所以y lx.二-12e1 -2 1 (e1 0)(e1 0)3四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数业及二阶导数dxd2y dx21.x =ln <1 +t2y a a

30、rctan t3 Tx = a cos1y = asin3 1解:解:dydxt 2 dt1 t2dy 3asin2 cos，d。dx 3acos2 ?(-sin 二)d 口sin cosd2y dx23dx dxd(；)dxdt tt 2 dt1 t21 t2一_td2y d /dy、d( - tan )7-()二dx dx dx dx-sec2 u d13a cos2 X - sin)d 二13a cos4 1 sin五、设y = xe ,用对数求导法求曳 dx解：两边同时取对数得ln y = ex ln x两边同时对x求导，得1y :exln x ex 1 ;ex(ln x 1)yxxe

31、x _x1、y = x e (ln x _) x41专业习题八综合练习姓名二)学号.填空题1.设 f '(x)存在，则 lim h f (x + ) - f (x)=1 yl、 hf (x)2 .当 a = 2ey "7 -2,时，两曲线y=ax2, y =lnx相切，切线方程是e3.若 f (x)在(内有一阶连续导数且f (0) = 0,当A = f '(0)时,4.00 , +30 )内连续。f(x)g(x)= xAa x b a x by=(b) P dy =a x ,b.a ,x b a b -a(b) (x) (”nb 工dx5.6.d ( 2x-3x+C)

32、 = (2-3xln3)dx,u v, e -v若 euHv =uv ,贝U = u eu-dud( f (ln x) C )=u "e -udu dvu ”v -edxf (ln x).x二.选择题1.设f (x) =xx,则其导数为(A) f(x)=xx(B) f(x)=xxlnx(Q f (x)=xx(ln x 1)(D) f (x) = xx，(A)飒 fifrxTx - a(B).则f(a) - f(a Ax)f(t-a)f(a).(D).gmxssf(a/3万)s3.设 y = f (cosx) cos( f (x),且(A)f (cosx) sin x sin( f (

33、x) f'(x)( B) f'(cosx) cos(f (x) + f (cosx) sin( f (x)(C)一 f (cosx) sin x cos(f (x) - f (cosx) sin( f (x) f (x)(D)f (cosx) cos( f (x) - f (cos x) sin( f (x) f (x)4.设 f(x)具有任意阶导数，且f (x)=f(x)2,当，f(n)(x)= A (A) n!f(x)n1(B)nf(x)n1( C) f(x)2n (D)n!f(x)2ni15.设函数 f(x) =(xsin x, 0x - 0.,则f(x)在x = 0处

34、x = 0,(A)不连续 (B)连续，但不可导。(C)可导，但不连续。(D) 可导，且导数也连续。三.计算题设 y = ax. 1 -a2x arccosaxdy = (axln a ( . 1 -a/ x1=(a ln a 2,1-a2x2x)'arccos(2xa 21n(其中a >0 , a # 1为常数)，试求dy .ax). 1 -a2x(arccosax)')d xx 227-1a arccos a . 1 - a,1-a2xax ln a)dx2xa ln ax,arccos a dxdy。dx.1-a2x2.已知 yx =父，用对数求导法求解：方程两边同时

35、取对数，得x ln y = y ln x两边同时对x求导,.1.ln y x y = y ln y2._ y -xyln yy 一 2,x -xyln x4.已知 y =ln(3x+2),求 y.解：若y=lnx,则y(n) = (1)n(n 1)以川所以当 y =ln(3x 2)时，y(n) -(-1)n4(n -1)!3n(3x 2)*高等数学(I)练习 第二章 一元函数微分学学号A 2(D) f (x)=1 3x + 2x系 专业 班 姓名习题五一访中值定理一一.选择题1 .在区间Li, 1】上，下列函数满足罗尔中值定理的是.3.1.3-2(A) f(x)= 2(B) f (x )=2(

36、C) f(x)=x2x 11 -x2 .若f(x)在(a,b)内可导，x1、x2是(a,b)内任意两点，且x1 < x?,则至少存在一点 J 使得C (A) f (b) - f (a) = f -)(b - a) (a<t<b)；(B) f (b) - f (x1) = f'仁)(b - x1)(x1<J<b);(C) f (x2)- f (x1) = f ( -)(x2 -x1) ( x1< - < x2);(D) f (x2)- f (a) = f V)(x2 - a)(a<*<x2)3 .下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理

37、条件的有B 2x一(A) f(x) =r，1,1(B) f(x)= x ,1,21 x 322 .(C) f(x)=4x 5x +x2, 0,1(D) f (x) =ln(1 + x ),0,34.若f(x)和g(x)对于区间内每一点都有f'(x) = g'(x),则在(a , b)内必有 B (A) f(x)=g(x) (B) f(x) = g(x)+C (C) f(x) + g(x)=1(D) f(x) + g(x)=C二.填空题1 .对函数f (x) = px2 + qx + r在区间a, b上应用拉格朗日定理时 ，所求的拉格朗日定理结 a b论中的匕总是等于2.2 .若

38、f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点e (a,b), f ( )使得 ef(b).ef(a)= e f(-)(b-a)成立3 .设 f (x) =x(x -1)(x -2)(x -3)(x 4)，贝U f '(x) =0 有4个根，它们分别位于区间 (0,1),(1,2),(2,3),(3,4)内 二4 .设y=x3在闭区间0,1上满足拉格朗日定理，则定理结论中的= =43三.证明题b-a , bb-a1 .当 0 < a < b ,试证：< In <b a a证明：设f (x) =ln x,则f (x)在a,b内连续，在(a,b)内可导,

39、 故由拉格朗日中值定理知，(a,b),使得f'( )(b -a) = (b -a) = In b -ln a = In b ,a又因为 Ew(a,b),所以 <,且(ba)0 b a所以 b-a<lnb<ba,证毕。b a an2 . 证明： arcsin x+arccosx = 一2证明：令 f (x) =arcsin x+arccosx,贝1Jf (x)在一1,1上可导，且11f (x) - :- :-0,1 -x2. 1 -x2TT TT所以 f(x)三C, x1,1,又因为 f(0) = 0 + 二=二，所以 C =,2 22故 arcsin x +arcco

40、s x = 。2.53.证明方程x +x-1=0只有一个正根.证明：令 f (x) =x5 +x1,则 f (x)在R上连续，且 f (1) = 1 >0, f (0) =-1 <0, 所以由零点定理知，延w (0,1)，使f、)=0.即是f(x)=0的正根。又假设另外还有, .0也是f(x)=0的根，不妨设0：二则f (x)在匕匕内连续，在(£。)内可导，由罗尔定理可知，茹(： 4 ),使f色)=0，但与f (x) =5x4 +1 A 0矛盾，故假设不成立。所以方程只有一个正根。47高等数学（I ）练习 第二章一元函数微分学系 专业 班 姓名 学号习题十洛比达法则一.填

41、空题limx0x.xe -esin x2.limx_a3,-3 -、x - a3.limX 132x -x-x 15.6._2_3,a-3-2,2x -3x 1lm(1 - x) tanJi卜列极限能够使用洛必达法则的是4.6.(A) limx 11 -sin bx一、. .冗，、(C) lim x(arctan x);x)二二 2ln tan 3x lim x 力 ln tan 5xlim xe x0 -+0(B) limx J ：.（D）lim1 x221x sin x的值,x-0 sinx二、判断题：（正确的括号内打,错误的在括号内打“X”）（不存在）1 cosx 二 lim11 -co

42、sxxe -cosx=limx0xe sin x2x=limx )Dex cos x ,二12.x -arcsin x3sin x三.计算题cosxxe lim x-01 -sin x - cosxNX-cosxcos xe - xsin x e一cosx sin xx - arcsin x、 1 - x23x2高等数学(I)练习 第二章 一元函数微分学x x 1 )3. lim -xT (x -1 In x. ，11 、4. lim( r ) 22x 0 x sin x51xln x=limx 1 xln x x -15.-(1 2x3)-26(1 x )=limx厂xln x -(x -1

43、)二 lim x arctan xxpm. 一(二 arctan x) =e (x -1)ln xlnx11=lim=x 1lnx22arctanxx limx 0 ln(1 2x3)1"2 " 1二 lim 1-x3 二 limx 16x2x 11 2x3一- 2222sin x-x sin x-x二 lim 22 二 lim4T x sin x T xsin 2x - 2x 2cos 2x - 2二 lim 3 二 lim2x w 4x x >012x2sin 2x1=lim 二 一一x w 12x316. lim (cot x)1nxx >01令y = (

44、cot x)ln xln cot x,lim ln y = lim X w -x Q ln x2、tan x( -csc x)1xtan x: lim -x 0 -sin x1lim°(cot x)lnx = e，7. lim(arctan x)x令 y =(2 arctan x)x n8. limx 02x 3x 4x3ln( arctan x) lim ln y = lim :x J ： ,x s'.11令+3'+4”3 J2x3x4xln 11arctan x 1 x2132xln 2 3xln3 4x ln 4x x x= lim 2343x )01ln3 2

45、43 -e 24=工 ln 24 = ln J3/24 312x+3x+4x 工 lim 3 J系 专业 班 姓名 学号汨十一i!薮的单调性与极看一.填空题13(_叼_1)和(3+00)1 .函数y =x3 -3x2 -9x+5在区I司, 内单调减少,在区间 内单调增加.1(-1 0)和(0 1) ,(q 1)和(1 +8),“2 . y=x十一在区间,1M 件,0山内单润减少，在区间'二小 L 仇单调增加.X(-二 二)3 .函数y = 3/x的单调增区间是二,)。彳1 1 2 (0，7)(t , )4 .函数 y =2x -ln x在区间2内单调减少,在区间 2 内单调增加.5 .

46、当x=±1时，函数y =x3+3px+q有极值，那么p = -16 .函数y =sin(x+2)+冗，在区间一冗，n上的极大值点x0 =0 .二.选择题1 .设函数f(x)满足，f'(x0) = 0, f (x1)不存在，则D (A) x = x0及x = Xi都是极值点(C)只有x = Xi是极值点2 .下列命题为真的是(A)若x0为极值点，则f'(x0)=0(C)极值点可以是边界点3 .设f (x) , g(x)是恒大于零的可导函数，且有(A) f (x)g(b) > f (b)g(x)(C) f (x)g(x) > f (b)g(b)4.设函数f(x

47、)连续，且f'(0)>0,则存在(A) f (x)在(0,6)内单调增加(C)对任意的 xw(0,6)有 f(x) > f(0)(B)只有x = x0是极值点(D) x = x0与x = Xi都有可能不是极值点D (B)若f (x0)=0 ,则x0为极值点(D)若Xo为极值点，且存在导数，则 f'(x0)=0f '(x)g(x) f(x)g'(x)c0,则当 a <x<b时，A (8) f(x)g(a)a f(a)g(x)(D) f (x)g(x) > f(a)g(a)每下 0,使得C (B) f (x)在(6,0)内单调减少(D)对任意的 xw (6,0)有 f(x) a f (0)5.当X>X。时，f (x)>0,当XCXo时，f'(x)<0,则%必定是函数f(X)的D (A)极大值点；(B)极小值点；(C)驻点；(D)以上都不对三.求函数y =(x -5)23 (x-1)2的单调区间与极值2 c1解：y=2(x-5)(x 1)3 3 .二寸 x 三(0,