八年级数学竞赛例题专题：正方形

1、八年级数学竞赛例题专题正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的 平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题.正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形， 熟悉以下基本图形.例题与求解【例1如图，在正方形纸片 ABCD中，对角线AC, BD交于点O,折叠 正方形纸片 ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB , AC于点E , G .下列结论： ZAGD =112,50 ；

2、股:2AE；S&gd =S#gd ；四边形AEFG是菱形；BE=2OG.其中，正确结论的序号是解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法.(重庆市中考试题)【例2】如图1,操作：把正方形 CGEF的对角线CE放在正方形 ABCD的边BC的延长线上(CG >BC),取线段AE的中点M .连MD , MF .(1)探究线段 MD , MF的关系，并加以证明.(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角后(如图2),其他条件不变.探究线段MD , MF的关系，并加以证明.解题思路：由M为AE中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等.(大连市中考题改编)【例3】如图，正方形 A

3、BCD中，E, F是AB, BC边上两点，且EF = AE + FC , DG _L EF 于G ,求证：DG =DA.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造AE +FC的线段是解本例的关键.【例4】 如图，正方形 ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形， P是EF与 GH的交点，若矩形 PFCH的面积恰是矩形 AGPE面积的2倍，试确定ZHAF的大小，并证明你的 结论.（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测ZHAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的 关系.【例5如图，在正方形 ABCD中,E, F分别是边BC, CD上的点，满足EF = BE + DF,A

4、E,AF分别与对角线BD交于点M,N .求证：（1） /EAF=45°（2） MN2=BM2+DN2.（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1）,可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2）,很容易联想到直角三角形三边关系.【例6】已知：正方形ABCD中，ZMAN =450, NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB , DC （或它们的延长线）于点当/MAN绕点A旋转到BM（1）当/MAN绕点A旋转到二DN 时（如图 1）,易证 BM +DN =MN .BM D DN时（如图2），线段BM , DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明;（2）当/MAN绕

5、点A旋转到如图3的位置时，线段 BM ,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2）,构造DN -BM是解题的关键.图1能力训练A级1 .如图，若四边形ABCD是正方形，&CDE是等边三角形，则NEAB的度数为.（北京市竞赛试题）2 .四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出以下题设条件： AB = BC =CD =DA； AO =BO =CO = DO,AC _L BD ； AO =CO,BO = DO, AC _L BD ; AB =BC,CD =DA .其中，能判定它是正方形的题设条件是 .（把你认为正确的序号都填在横线上

6、）（浙江省中考试题）A顺时针旋转300 ,3 .如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点 则这两个正方形重叠部分的面积是第1题图第4题图4.如图,P是正方形 ABCD内一点，将 MBP绕点B顺时针方向旋转至能与CBP重合，若（青岛市中考试题）PB =3,则 PP =12A . -cmn 2B. -cmC.n -12cm1、n 2D. ( ) cm4（河南省中考试题）5.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点Ai,A2,An分别是正方形的中心，则 n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（晋江市中考试题）第6题图6.如图，以RtABCA的斜边BC为一边在BCA的同侧

7、作正方形 BCEF ,设正方形的中心为O ,连接AO ,如果AB =4,AO =6/2 ,则 AC 的长为(A . 12B. 8C.4.3（浙江省竞赛试题）7.如图，正方形ABCD 中，CE =MN,MCE =35°,那么 /ANM 是(A .45°B. 55°C. 65°D. 75°8.如图，正方形 ABCD的面积为256,占八、F在AD上，点E在AB的延长线上,RtACEF的面积为200,则BE的值是（A. 15)B. 12C. 11D. 10第7题图第8题图9 .如图，在正方形ABCD 中,E是AD边的中点,BD与CE交于AF _L BE

8、 .F点，求证:10 .如图，在正方形ABCD 中,E是AB边的中点,1F是AD上的一点，且 AF= AD 4求证：CE平分NBCF.11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE _LDC,PF _LBC,E,F分别是垂足.求证：AP = EF.（扬州市中考试题）BFC12.(1)如图1,已知正方形 ABCD和正方形CGEF(CG >BC) , B,C,G在同一条直线上， M为线段AE的中点.探究：线段 MD,MF的关系.(2)如图2,若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转450 ,使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上， M为AE的中点.试问: 明；若

9、不成立，请说明理由.(1)中探究的结论是否成立？若成立，请证(大连市中考试题)F1 .如图，在四边形 ABCD 中，AD =DC,/ADC =/ABC =90°,DE _L AB于E ,若四边形ABCD的面积为8,则DE的长为2 .如图，M是边长为1的正方形oo 1nABCD 内一点，若 MA2 MB2 = ,/CMD =90°,则/MCD 2(北京市竞赛试题)第1题图第2题图第3题图3.如图，在RMABC中，/C= 90°,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心为O ,且OC =4j2 ,则BC的长为(“希望杯”邀请赛试题)4.如图：边

10、长一定的正方形 ABCD , Q是CD上一动点,AQ交BD于M，过M作MN _L AQ交1AM = MN ； MP = BD； 2AB BN BN +DQ =NQ ；AB BN为定值,其中一定成立的是A .BMB.C.D.5.如图，ABCD是正方形，BF/ACAEFC是菱形，则/ACF与/F度数的比值是（B. 4C. 5D.不是整数BC于N点，作NP 1 BD于点P ,连接NQ ,下列结论：6 .一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是（A .58C. 8D. 65E.5.3第4题图第5题图（美国高中考试题）7 .如图，正方形 A

11、BCD中，AB=8, Q是CD的中点，设/ DAQ =口，在CD上取一点P,使/BAP = 2一，则CP的长度等于（）A .1B. 2C. 3D. V3（“希望杯”邀请赛试题）8 .已知正方形 ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点， MN _L DM且交/ CBE平分 线于N （如图1（1）求证：MD =MN ;（2）若将上述条件中的“ M是AB中点”改为“ M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2）,（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2,点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不

12、成立，请说明理由；（临汾市中考试题）N图1图2图39 .已知 0 <a <1,0<b <1,求证:a2 +b2 + J(1a)2 +b2 + Ja2 +(1-b)2 +山1 a)2 十(1 b)2 > 2J2 .10 .如果，点M ,N分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，已知AMCN的周长等于正方形 ABCD周（“祖冲之杯”邀请赛试题）长的一半，求 /MAN的度数.11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ,对角线AE,CG分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明:AE_LCG,且 AE = CG .（北京市

13、竞赛试题）12 .如图，正方形 MNBC内有一点 A ,以AB, AC为边向&ABC外作正方形 ABRT和正方形ACPQ，连接 RM , BP .求证：BP/RM .（武汉市竞赛试题）专题20正方形例1梃示；在AD上取AH = 4E连E则 N八HE=45°,NED-N“DE=22. 5则 HE= HD又HE=HD八E故不正确,又必心一 S.，故不正确.例2提示I "M交（E于逢DANF,先证明AADM4/ENM再证明CDg/iEYF 得 FD IN/DFN= ZCFE = 90 故 MD MF 且 MT）=MF（2）延长DM至N点使DM MM连FD,FN,先让 明

14、A.ADM 9 AE.VM 得，AD = EN. NMAD ; NMEN狷AD/EX.延长EN. DC交于S点.则 NADC=/CSN=90'在四边形 FCSE 中,/；+ NFEN 180°. X V RFCS 十 ZFCD = 180 枚 NFEN NFCD叫诬（："*£"；U）中结论仍成立.例3提示：延长BC至点H使得CH = .AE,连结D£ D产由RDAERtDC H得.DE=F汨.进而推 证DEQADF,RiADG/RtaDCH.例 4 设 AG=q.BG=",AE=”,ED=» 则 |a+g/+y.I

15、2ojl如由都 a-j 17 方得 a: ,上£一小斗士工y一助k1ff 将财弋入得。-2or -V，- j_lIU+火*b； Q I x）2 =b: y ,得 二 '工、/F、了.+y CH;+CP-FH，a-LFH,即 DHBFFH.延长CB至M.使8M=D,在结AM.由RtAABVf经Rt/AQ得,M=AH9/MAB=ZHAD.=I /BA=/BAH+ /HAD-901再证AM-AAHF. /MAF=NHAF.即 / HAF= 3/MAH=45)例51如图,延长CD至点储,使 彳,卢 DE. BE.连结AE .则ZVIDE】/六号；.知 必说落尸从而./DAE】 =/B

16、AEAElAE,| 歹 /于是.NE3 =90：J/y在 AAEF 和 ZiZAE F 中，*EF= BE- DF=E,D+ DFE、F.网 AAE"A£|F.故/E4F=NE：AF-4/EAE -451(2)如图,在人兄上取一点M,使得AM： = AM,连结 M：D,M】N则ABMWADM .ANgAANM, 故4,HSM :/ADM ,BMhDMV./NDM =90.从而M| V -M 厅 + N。，A.MV 及Vf+DM.图a例6(1)BM-DN=MN 成 k如图a把2AND燃点八顺时针箕转90，得到少8£. E,B.M 三点共线，则DANzBAE.:.AE

17、 - AN. /EAM = NNAM45AM AM,得 &41小1*ANM".ME=MN.V ME=BE+ BM= DN+ BM.AD.V I HW-MN.(23 BM=MN.如用b,对于图2,连BD交AM FE,交AN于F,连ENgFM.aJ进一步证明：ACM、的周长寿于正方形边长的2倍，E尸一 BK + D尸,AEN.4AFM都为等腰直角二角形.鼠s =2Szf.6.B1. 75-9 .发示：AABE丝DCE.&V)-ZmF,证明/ABE -ZBAF-901.10 .提示延长CE交DA延长线于G.证明RTi=FC11 .提出，连PC则PC=EF.12 . (I)延

18、长 DM 交 EF 于 N由.ADMAENM, DM = NM.MF = £dZ.FD=FM故 MDLMF.且,MD -MF.延长DM交CE于N.连结DF.FN先证明/XADM EXM,再证明ZiCDF匕ENF,(1)中结论仍成立.B1. 272 L W 枫录+MB：3. 5 4. D 5. C 6. B 7. B8.假示J D在人。上截取.AF-AM./DFM=NM3，由UHM皿-WBN故 DM MV (2)讦怯同上结论仍成立.(3)在人。隹长线取点E,使":=BM.可证明aDE” "M8N故 DM=MN.9提示8构造边长为1的正方形小以力.4 fP为正方形AHCD内一点过P作FH,“AB 交 AD 于F交 BC 于.作 EG/ 心 /*、" AD交AB 于E,交CD J G.设AK=°. J， 刖 B£= -a 设 AF=6,