高中物理运动的合成和分解的两个模型

1、图10运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面各穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连。当细直棒与竖直杆夹角为“时，求两小球实际速度之比 Va：Vb。解析：小球a、b沿棒的分速度分别为 va cos 和vbsin ,两者相等。所va ：vb tan : 1解题思路：对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳 联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两 物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体 沿绳方向的速度相等即可求出。【举一反三】 如图

2、2所示，汽车甲以速度 vi拉汽车乙前进，乙的 速度为V2,甲、乙都在水平面上运动，求vi ： V2分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为 V1和V2COS0C ,两者应该相等，所以有 V1 : V2=cos a ： 1图2例2、如图4所示，杆OA长为R,可绕过。点的水平轴在竖直平面 内转动，其端点 A系着一跨过定滑轮 B、C的不可伸长的轻绳，绳的另 一端系一物块 M。滑轮的半径可忽略，B在。的正上方，OB之间的距离为Ho某一时刻，当绳的 BA段与OB之间的夹角为a时，杆的角速 度为3,求此时物块 M的速率Vm.分析与解：杆的端点 A点绕。点作圆周运动，其速度 Va的方向与杆 OA垂直，在

3、所考察时其速度大小为：Va=q R对于速度Va作如图5所示的正交分解，即沿绳 BA方向和垂直于 BA图4A0)方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块 M的速率Vm,因为物块只有沿绳方向的速度，所以V m=VaC0s3由正弦定理知,sin() 2sinHR由以上各式得 Vm = w Hsin a练习：1 .如图6所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B,高台上有一定滑轮 D, 一根轻 绳一端固定在 C点，再绕过B、段水平，当以速度 vo拉绳子自由端时，A沿水平面前进， 求：当跨过B的两段绳子夹角为 a时A的运动速度v.2 .如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A、B,不计一切摩擦.当杆滑到如图

4、位置时， B球水平速度为VB,加速度为aB,杆与竖直夹角为 a,求此时A球速度和加速度大小.图93 .一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30。的光滑斜面上的物体 mi连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2连接.已知定滑轮到杆的距离为 J3 m.物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，mi、m2恰受力平衡如图8所示.试求：(1) m2在下滑过程中的最大速度.(2) m2沿竖直杆能够向下，t动的最大距离 .4.如图9所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂5.一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为 m的物体，如图10所直照射在M上的光线，已知 SO=L

5、,若M以角速度3绕O点逆时针匀速转动，则 转过30°角时，光点S'在屏上移动白瞬时速度 v为多大示.绳的P端拴在车后的挂钩上， Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质 量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在 A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为 H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H,车过B点时的速度为vb.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的 功.6.如图11所示，斜劈B的倾角为30。，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个 质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示

6、位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中图11(1)斜劈的最大速度.(2)球触地后弹起的最大高度。(球与地面作用中机械能的损失忽略不计)答案：=Vo1 cos=VBtan a ;aA=aBtan a3. (1)由图可知，随 m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此 m2从B到C是加速过程，以后将做减速运动，所以m2的最大速度即出现在图示位置.对m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒二£增=4£减，即m1V12+ m22V2+m1g (AC-AB) sin30°

7、 =m2g BC22又由图示位置 m1、m2受力平衡，应有：TcosZ ACB=m2g,T=m1gsin30°又由速度分解知识知 V1=v2cos/ACB,代入数值可解得 V2= m/s,(2) m2下滑距离最大时 m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：A e 增'=a E 减'即：mg ( VHAB2 AB) sin30° =m2gH4 _利用(1)中质重关系可求得 m2下滑的取大距离 H = < 3 m= m34 .由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：/ SOS' =60°OS

8、9; =L/cos60° .选取光点S'为连结点，因为光点S'在屏上，该点运动方向不变， 故该点实际 速度(合速度)就是在光屏上移动速度v;光点S'又在反射光线 OS'上，它参与沿光线OS'的运动.速度V1和绕。点转动，线速度 V2；因此将这个合速度沿光 线OS'及垂直于光线OS'的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得：vi=vsin60 ,V2=vcos60又由圆周运动知识可得：当线OS'绕O转动角速度为2co.贝U: V2=2 w L/cos60°图12vcos60° =2 w L/cos60

9、° ,v=8 w L.VQ=VB1 = VBCOS45°,2VB2于是重物的动能增为12 12Ek2 = mVQ = mVB24在这个提升过程中, 重力做的功分别为重物受到绳的拉力h= v12 H-H= ( 22. -1) HWG=-mgh=-mg ( .2-1) H于是由动能定理得Wt+Wg= A Ek=Ek2-Ek1即 WT-mg ( x12 -1) H= mvB2-04所以绳子拉力对物体做功Wt= - mvB2+mg ( J2 -1) H4T、重力mg,物体上升的高度和图136. (1) A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球

10、和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.mg (h-r) = v'2 mvA2+ v'2 mvB2由图中几何知识知：h=cot30° - r= <3 r A、 B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图 14所示。由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以VA2=VB2即 vacos30° =vBsin30 °解得 VA= . ('31)gr5 .以物体为研究对象，开始时其动能 Ek1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不 断增加.当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度 vq,这个速度也就是收绳的速度, 它等于车速

11、沿绳子方向的一个分量，如图 13,即VB=3( 3 1)gr2(2) A球落地后反弹速度 VA' =VA2_做竖直上抛运动的最大高度：Hm= ' ( 3 1)r2g 4二、小船渡河模型求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移 和速度，根据平行四边形定则画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式。小 船渡河常见的问题如下。两种情况：船速大于水速；船速小于水速。两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。例1、一条宽度为L的河，水流速度为 v水，已知船在静水中速度为 v船，那么：(1)怎样才能使渡河时间最短(2)若V船 V水，怎样才能使渡河位移最小

12、(3)若V船 v水，怎样渡河才能使船行驶的距离最短解析：(1)研究小船渡河问题时，可以把小船的渡河运动分解为两个运动，一个是小船在静水中的运动，另一个是水流的运动。船白实际运动为两者的合运动，如图2所示。设船头斜向上游与河岸成任意角。，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为V1 v船sin渡河所需要的时间为t _L L 。可以看出:L、v船一定时，t随sin赠大而减小。当V1 V 船 sin0 =90M, sin。=1最大)，即船头与河岸垂直时用时最短tmin Lov船0 股 图2(2)如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并v水与河岸成一定的角度0,所以有V船cos V水，即cos 。因为(3)图30 cos 1,所以只有在V船 V水时，船才有可能垂直河岸渡河。若V船 V水，则不论船的航向如何,总是被水冲向下游，怎样才能使船行驶的距离最短呢如图4所示，设船头v船与河岸成。角,合速度V合与河岸成a角。可以看出：a角越大,最短V水船行驶的距离s越短，那么，在什么条件下a角最大呢以V水的矢尖