函数的单调性与最值(基础+复习+习题+练习)

1、课题：函数的单调性与最值考纲要求： 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义; 会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值教材复习1.函数单调性和单调区间的定义:类别增函数*y /图目库回石像1豕律O X1 X2 x描图像是_述一般地，设函数f(x)的定义域间I内任意两个单自变量X1,X2 W I调当X <X2 时，都性有,军那么，就称f(X)在区间I上是增函数义减函数y自左向右1 - Xi X2 X图像是为A,区间I 土 A,如果对于区当Xi<X2时，都有,那么，就称f(X)在区间I上是 减函数单 调 区 间若函数f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区

2、间具有,区间I叫做f(x)的2.利用定义法证明单调性的一般步骤：3.函数的最值设函数y = f(x)的定义域为I ,如果存在实数m满足条件(1)对于任意xw I ,都有一 (2 )存在 w I ,使得1 对于任意xw I ,都有(2)存在*。口，使得结论M为最大值M为最小值4.常见初等函数的单调区间窑函数指数函数对数函数三角函数多项式函数 基本知识方法1 .函数单调性的定义：如果函数f(x)对区间D内的任意x,X2,当xi<x2时都有 f(xJcf(X2),则f(x)在D内是增函数；当x<X2时都有 f(xi »“X2 ),则f(x)在D内时减函数。设函数y = f(x)

3、在某区间D内可导，若fx)A0,则y=f(x) 为xD的增函数；若f<x)<0,则y = f(x)为xw D的减函数.2 .单调性的定义的等价形式：xi -x2设 x1,x2wB,b ,那么 f(x1)匹x2-)A0u f(x 应 Q,b】是增函数；"x1.f"2)<0.f(x准hb是减函数；x - X2(Xi -X2 )f (Xi)- f (X2 )<0u f (X)在a,b是减函数。3 .复合函数单调性的判断：4 .函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若f(X)在区间D上递增(递减)且f (Xi) < f(X2)u Xi <X

4、2( X ,X2 w D );若 f (x)在区间 D 上递递减且 f (为)c f (x2) u X1 > x2 .( X1 , X2 W D ). 比较函数值的大小可用来解不等式.求函数的值域或最5 .讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单 调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的 子集；6 .判断函数的单调性的方法有：(1)用定义；(2 )用已知函数的单 调性；(3)利用函数的导数；(4)如果f(x)的递增(减)区间是D, 那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增(减)函数； (5)图象 法；(6)复合函数的单调性结论：“同增异减”；(7)奇函数在对 称的单

5、调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内 具有相反的单调性；(8)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；在公共定义域内，利用函数的运算性质：若 f(x)、g(x)同为增函数，则f(x)+g(x)为增函数；f (x)由(x)为增函数；，(f(X0 )为 f(x)减函数；fX" (f(x)之0)为增函数；-f(x)为减函数.(10) “对勾函数"：y =ax+b(a >0,b >0)在：°°,或|他用 上单 xI Va. Ja )调递增;在卜go :或J f上是单调递减.7 .证明函数单调性的方法：(1)利用单调性定义；(2 )利用单调

6、性定义.8 .函数的单调区间必须是定义域的子集.9 .两条结论(1 )闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；2开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.典例分析：题型一：求函数的单调区间问题1. (1)(07辽宁文)函数y = logi(x2-5x+6)的单调增区间为2/5)小、J 5)，一A. 5,+如：B. (3,+切C. I fD.SZ<2)I 2 J(2 )求下列函数的单调区间： f (x )= x2-4x+3 y = log1(x2-4x+3) y=j8 + 2x-x23题型二：判断或证明函数的单调性问题2.试讨论函数f（x）=S

7、（a=o汪（一1,1）上的单调性.x -12）（ 2000全国，节选（2）设函数f（x）= Jx2+1 -ax ,其中a>0.略;（2）求证：当a>1时，函数f（x）在区间此收）上是单调函数题型三：利用函数的单调性求字母的取值范围问题3. （1）（06北京文）已知f（x） = （3-a）x_4a，x< 1'是R上的增函 lOgax,x -1数，那么a的取值范围是A 1, -二 B. -二,3 C. -,3 D. 1,35(2)已知函数f(x)=x2+2(a1)x+2在区间(,3上是减函数，求实数a的取值范围题型四：函数的单调性的应用问题4. (1)( 07福建)已知f

8、(x)为R上的减函数，则满足fSAf x的实数x的取值范围是 A.(i1) B.(1,+ 9) d,0)U(01)D. (-%0)U(1,十叼(2)若心上叱,则不等式M -小i的解集为-题型五：单调性与最值xA、X问题5.函数f(x)=l1 -log2(x+2)在区间-1,1上的最大值是13/、'Z ( 2013 重庆)J(3-aXa+6) ( -6 < a < 3 )的最大值为9 -3 2A.9 B. 9 C. 3 D. 3- 22题型六：抽象函数的单调性问题6.(05山东模拟)设f(x)是定义在R上的函数，且对任意 实数x、y都有f (x+y) = f (x) + f

9、(y).求证:(1)f(x)是奇函数；(2 )若当 x>0 时，有 f(x)A0,则f(x)在R上是增函数.课后作业：1.利用函数单调性定义证明:f (x) = j-x +1在(-00,1上是减函数2 .函数y =logi(x2-2mx + 3)在( - 1)上为增函数，则实数m的取值范3 .已知函数()=置在区间S，)上是减函数,试求a的取值 范围4 .已知y =loga(2 -ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是A. (0,1)B. (1,2)C.(0,2)D.2,二)5 .下列函数中，在区间(口,0)上是增函数的是.22Ay=x -4x 8 B. y=log1(x)C.

10、y = D. y = 1 - x6 . f (x)为(-°0,收)上的减函数，awR,则A. f (a) ： f (2a) B. f (a2) ： f (a) C. f (a2 1) ：； f (a) D. f (a2 a) ： f (a)7 .(1991全国)如果奇函数f(x)在区间b,71上是增函数，且最小值为5,那么f(x)在区间R.3上是A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-58 .已知y = f(x)是偶函数，且在10,")上是减函数，则f(1-x2)是增函数的区间是 _A. 0,二)B.(-二,0C.-1,

11、0)U(1,二)D.(-二，-1U(0,19 .(04湖南文)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间11, 2】上都是减函数，则a的取值范围是 A. (-1,0)U(0,1) B. (-1,0仙0, 1 C. (0, 1)D. 0, 1110 .(04上海)若函数f (x) =ax-b+2在0± )上为增函数，则实数 a、b的范围是11 .已知偶函数f(xp&0,2内单调递减,若a = f(1), b=f(log),-2 4c = f(lg0.5),则a、b、c之间的大小关系是12. ( 2012兰州模拟)已知函数函数，则实数a的取值范围是ax，f(y4mx 1x +2

12、, x 0 1是R上的增A. (1,：)B.14,8D.(18)C.(4,8)13.已知奇函数f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，若f (m 1)十 f (2m 1) >0,求实数114.已知函数 f(x)= - -log xm的取值范围.29，求函数f(x)的定义域，弁讨论它1 一 x的奇偶性和单调性x15.设a >0, f (x) = 土 +弓是R上的偶函数.(1)求2的值; a e(2 )证明“*)在(0,)上为增函数. 16.( 05北京东城模拟)函数f(x)对任意的a,bWR,都有f(a+b) = f(a)+ f(b) 1 ,并且当 x>0 时 f(x)>

13、1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2 -m -2)二3 17.已知函数f(x)的定义域是x#0的一切实数，对定义域内 的任意X，X2都有f(Xi X2)= f(Xi) + f(X2),且当 XA1 时 f(x)A0, f(2)=1 ,(1)求证：f(X)是偶函数；(2) f(X)在(0,依)上是增函数；(3)解不等式 f(2X2-1)<2.走向高考：1 .(07天津)在R上定义的函数f(X)是偶函数,且f(X)=f(2-X), 若f(X在区间1,21是减函数，则函数f XA.在区间1-2,-11上是增函数，区间3,41上是增函数B.在区间1-2

14、,-11上是增函数，区间3,41上是减函数C.在区间匚2,一1止是减函数，区间3,41上是增函数D.在区间L2,-11上是减函数，区间3,41上是减函数2. (09陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的 Xi,X2 W0,)(Xi #X2),有f(X2)f(xi) <0.则 A. f(3) < f (-2) < f(1) B. f(1)< f(-2)< f (3) X2 - X1C. f(-2):二 f (1) ； f(3)D. f(3)：二 f (1):二 f (-2) .53.( 07福建)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足fgf的 实数 X 的

15、范围是A. (-1,1)B. (0,1)C.(-1,0)U(0,1)D. -二，-1 i、11,二4.(2011江苏)f(X)=log5(2X+1)的单调递增区间是 5 . ( 07重庆)已知定义域为 R的函数f(x)在(8,+切上为减函数， 且函数y = f (x 8)为偶 函数， 则 A. f(6)f B. f (6) > f (9) C. f(7) > f(9) D. f(7) . f(10)6 .（05山东）下列函数既是奇函数，又在区间-1,1上单调递减=1 ax a q D. f (x) = ln x 22 x的是A. f(x) =sinx B. f(x) = x+1 C. f(x)7 .（2013全国大纲）若函数f（x）=x2+ax+x在区间刁是增函数，则a的取值范围是 A 1-1,0 B. f C.【0,3D.3,二)8 .(05重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数