电路-互感与理想变压器

1、第六章第六章 互感与理想变压器互感与理想变压器l重点重点 1. 1.互感和互感电压互感和互感电压 2. 2.有互感电路的计算有互感电路的计算 3. 3.理想变压器理想变压器6.1 6.1 耦合电感元件耦合电感元件1. 1. 互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件，熟悉这类多端元件的特等都是耦合电感元件与变压器元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必性，掌

2、握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。要的。线圈线圈1 1中通入电流中通入电流i i1 1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通( (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2 2，这部分磁通称为，这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。互感磁通。两线圈间有磁的耦合。+u11+u21i1 11 21N1N2图图 6.1-16.1-1耦合电感元件耦合电感元件 两个靠得很近的电感线圈，第一个线圈通电流两个靠得很近的电感线圈，第一个线圈通电流i i1 1， 它所它所激发的磁通为激发的磁通为1111( (自磁通自磁通) )，其中

3、一部分磁通，其中一部分磁通2121, ,它不但穿过它不但穿过第一个线圈，同时也穿过第二个线圈。同样，若在第二个线圈第一个线圈，同时也穿过第二个线圈。同样，若在第二个线圈中通电流中通电流i i2 2，它激发的磁通为，它激发的磁通为2222。 2222中的一部分中的一部分1212， 它不但穿过第二个线圈，也穿过第一个线圈。它不但穿过第二个线圈，也穿过第一个线圈。定义定义 ：磁链磁链 (magnetic linkage)， =N 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质( (空心线圈空心线圈) )时时， 与与i 成正比成正比, ,当只有当只有一个线圈时：一个线圈时： 111111 11 (H)NLi

4、L称 为自感系数，单位亨。 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：互磁链的代数和： 1111211121 112 2 NNLiM i 2222122212 221 1 NNL iM i 。为互感系数，单位亨为互感系数，单位亨、称称H)( 2112MM2121112122MiMi（式1）（式2） 式式1 1表明穿越第二个线圈的互磁链与激发该互磁链的第表明穿越第二个线圈的互磁链与激发该互磁链的第一个线圈中电流之比，称为一个线圈中电流之比，称为线圈线圈1 1对线圈对线圈2 2的互感系数的互感系数。式。式2 2表明穿越第一个线圈的互

5、磁链与激发该互磁链的第二个线表明穿越第一个线圈的互磁链与激发该互磁链的第二个线圈中电流之比，称为圈中电流之比，称为线圈线圈2 2对线圈对线圈1 1的互感系数的互感系数。明确明确（1 1）两线圈的互感系数一定小于等于两线圈自感系数的两线圈的互感系数一定小于等于两线圈自感系数的几何平均值，即几何平均值，即 （2 2）L L总为正值，总为正值，M值有正有负值有正有负. . 可以证明可以证明2112MM 所以，后面我们不再区分所以，后面我们不再区分M M1212与与M M2121，都用，都用M M表示。表示。 若若M M为常数且不随时间、电流值变化，则称为为常数且不随时间、电流值变化，则称为线性时不变

6、线性时不变互感互感，我们只讨论这类互感。互感的单位与自感相同，我们只讨论这类互感。互感的单位与自感相同, , 也是亨也是亨利利(H)(H)。21LLM 2. 2. 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient) 用耦合系数用耦合系数k 表示两个表示两个线圈磁耦合的紧密程度线圈磁耦合的紧密程度。121def LLMk当当 k=1 称全耦合称全耦合: 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即 11= 21 ， 22 = 121)(2211211222112121221 iLiLMiMiLLMLLMk一般有：一般有：耦合系数耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关与线圈的结构、相

7、互几何位置、空间磁介质有关图图 6.1-2 6.1-2 耦合系数耦合系数k k与线圈相互位置的关系与线圈相互位置的关系 互感现象互感现象利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。当当i i1 1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。圈两端产生感应电压。 dddd111111tiLtu 当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定

8、律： 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。均包含自感电压和互感电压。tiMtudd dd 12121 自感电压自感电压互感电压互感电压3. 3. 耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系 当自磁通与互磁通方向一致时，当自磁通与互磁通方向一致时， 称磁通相助，如图称磁通相助，如图6.1-36.1-3所示。在这种情况下，交链线圈所示。在这种情况下，交链线圈1 1、2 2的磁链分别为的磁链分别为: : 1222122221112111MiiLMiiL上式中，上式中，1111、2222分别为线分别为线圈圈1 1、

9、2 2的自磁链；的自磁链；1212、2121分别为两线圈的互磁链。分别为两线圈的互磁链。 图图 6.1-3 6.1-3 磁通相助的耦合电感磁通相助的耦合电感 dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222设两线圈上电压、电流参考方向关联，设两线圈上电压、电流参考方向关联， 即其方向与各自即其方向与各自磁通的方向符合右手螺旋关系，则磁通的方向符合右手螺旋关系，则 如果自磁通与互磁通方向相反，称磁通相消，如图如果自磁通与互磁通方向相反，称磁通相消，如图6.1-46.1-4所示。所示。 这种情况，交链线圈这种情况，交链线圈1 1、2 2的磁链分别为的磁链分别为 2122

10、212111图图 6.1-4 6.1-4 磁通相消的耦合电感磁通相消的耦合电感 dtdiMdtdiLdtdudtdiMdtdiLdtdu1222221111所以所以 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjj ILIMUIMILU 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：否则取负。表明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。）与线圈的相对位置和绕向有关。注注tiLtiMuuutiMtiLuuudd d

11、d dd dd2212221221112111 由上述分析可见由上述分析可见4.4.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对自感电压，当对自感电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，u、i与与 符合符合右螺旋定则，其表达式为右螺旋定则，其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。出，可不用考虑线圈绕向。i1u11对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，对互感电

12、压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的为解决这个问题引入同名端的概念。概念。tiMutiMudd dd1313112121 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 * 同名端同名端i1+u11+u21 11 0N1N2+u31N3

13、si2i3注意：线圈的同名端必须两两确定。注意：线圈的同名端必须两两确定。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出) )时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例(2) (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。在图在图6.1-56.1-5所示那样，设电流所示那样，设电流i i1 1 、i i2 2分别从分别从a a端

14、、端、c c端流端流入，就认为入，就认为( (判定判定) )磁通相助。磁通相助。图图6.1-5 6.1-5 互感线圈的同名端互感线圈的同名端 如果再设线圈上电压、如果再设线圈上电压、 电流参考方向关联，电流参考方向关联， 那么两那么两线圈上电压分别为线圈上电压分别为 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111如果像图如果像图6.1-66.1-6所示那样，设所示那样，设i i1 1仍是从仍是从a a端流入，端流入，i i2 2不是不是从从c c端流入，而是从端流入，而是从c c端流出，就认为端流出，就认为( (判定判定) )磁通相消。磁通相消。可见，两互感线圈上电压可见，两互感

15、线圈上电压与其上电流参考方向关联，与其上电流参考方向关联， 所以所以 图图 6.1- 66.1- 6磁通相消情况时的互感线圈模型磁通相消情况时的互感线圈模型 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加， 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。由同名端及由同名端

16、及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 如果互感电压的如果互感电压的“+”+”极性端子与产生该互感电压的极性端子与产生该互感电压的电流流进去的端子是一对同名端，则互感电压取电流流进去的端子是一对同名端，则互感电压取“正正”，反之，取反之，取“-”-”。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1

17、*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写写出出图图示示电电路路电电压、压、电电流流关关系系式式例例i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s)()(H,1,H2,H5,10 2211tutuMLLR和和求求已已知知 tstVstVtiMtu2 021 1010 10dd)(12解解 tstVtstVttiLiRtu2 021 150 10010 50 100dd)(1116.2 6.2 耦合电感的去耦等效耦

18、合电感的去耦等效1. 1. 耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1） 顺接串联顺接串联图图6.2-1 6.2-1 互感线圈顺接串联互感线圈顺接串联 tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudd dd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 iRLu+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦等效电路图图6.2-2 6.2-2 互感线圈反接串联互感线圈反接串联 （2 2） 反接串联反接串联（2 2） 反接串联反接串联MLLLRRR2 2121 tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddd

19、dd21212211 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLLiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+ 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：4反反顺顺LLM 全耦合时全耦合时 21LLM 221212121)(22LLLLLLMLLL 当当 L1=L2 时时 , M=L互感的测量方法：互感的测量方法：在正弦激励下：在正弦激励下：*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I )2(j)(2121IMLLIRRU+ I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2

20、U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相量图：(a) (a) 顺接顺接(b) (b) 反接反接（1） 同侧并联同侧并联tiMtiLudddd211 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeqi = i1 +i2 解得解得u, i 的关系：的关系：2. 2. 耦合电感的并联耦合电感的并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 等效电感：等效电感：如全耦合：如全耦合：L1L2=M2当当 L1 L2 ，Leq=0 ( (物理意义不明确物理意义不明确) )L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，

21、电感不变相当于导线加粗，电感不变) ) （2） 异侧并联异侧并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd211 i = i1 +i2 tiMtiLudddd122 tiMLLMLLudd2)(21221 解得解得u, i 的关系：的关系：等效电感：等效电感：0 2)(21221 MLLMLLLeq3.3.耦合电感的耦合电感的T T型等效型等效（1 1） 同名端为共端的同名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效 图图6.2-3(a)6.2-3(a)为一互感线圈，由图便知为一互感线圈，由图便知L1L1的的b b端与端与L2L2的的d d端是端是同名端同名端(L(L1 1的的a a端与端与L

22、L2 2的的c c端也是同名端，同名端标记只标在两端也是同名端，同名端标记只标在两个端子上个端子上) )，电压、电流的参考方向如图中所标。，电压、电流的参考方向如图中所标。 图图6.2-3 6.2-3 同名端为共端的同名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效 *j L1 I1 I2 I123j L2j M21113 jj IMILU12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML j (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)（2 2） 异名端为共端的异名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效 图图6.2-4(a)6.2-4(a)所示互感线圈

23、所示互感线圈L L1 1的的b b端与端与L L2 2的的d d端是异名端，端是异名端， 电电流、电压参考方向如图中所标。流、电压参考方向如图中所标。 图图6.2-4 6.2-4 异名端为共端的异名端为共端的T T型去耦等效型去耦等效 显然有显然有dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111经数学变换，得经数学变换，得 dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu)()(2122122222*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2

24、I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML 以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法，以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法， 它们适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦它们适用于任何变动电压、电流情况，当然也可用于正弦稳态交流电路。稳态交流电路。 明确：无论是互感串联二端子等效还是明确：无论是互感串联二端子等效还是T T型去耦多端子型去耦多端子等效，都是对端子以外的电压、等效，都是对端子以外的电压、 电流、电流、 功率来说的，其功率来说的，其等效电感参数不但与两耦合线圈的自

25、感系数、互感系数有等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数、互感系数有关，而且还与同名端的位置有关。关，而且还与同名端的位置有关。 *Mi2i1L1L2ui+*Mi2i1L1L2u+u+j (L1M) I1 I2 Ij Mj (L2M)j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)4. 4. 受控源等效电路受控源等效电路2111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u+u+j L11 I2 Ij L2+2 IMj 1 IMj +2 U+1 U 例例6.2-1 6.2-1 图图6.2-5(a)6.2-5(a)为互感线圈的并联，其中为互感线圈的并联，其中a,ca,c端为同端

26、为同名端，求端子名端，求端子1 1、 2 2间的等效电感间的等效电感L Leqeq。 图图6.2-5 6.2-5 互感线圈并联互感线圈并联 例例6.2-2 6.2-2 如图如图6.2-6(a)6.2-6(a)所示正弦稳态电路中含有互感线所示正弦稳态电路中含有互感线圈，已知圈，已知u us s(t)=2cos(2t+45(t)=2cos(2t+45) V) V，L L1 1=L=L2 2=1.5H, M=0.5 H=1.5H, M=0.5 H，负载电阻负载电阻R RL L=1=1。求。求RLRL上吸收的平均功率上吸收的平均功率P PL L。 图图6.2-6 6.2-6 含有互感的正弦稳态电路含有

27、互感的正弦稳态电路 例例6.2-3 6.2-3 图图6.2-7(a)6.2-7(a)所示正弦稳态电路，已知所示正弦稳态电路，已知L L1 1=7H, =7H, L L2 2=4H, M=2H=4H, M=2H，R=8, uR=8, us s(t)=20 cost V(t)=20 cost V，求电流，求电流i i2 2(t)(t)。 图图 6.2-7 6.2-7 例例6.2-36.2-3用图用图 例例abL 求等效电感求等效电感M=3H6H2H0.5H4HabM=4H6H2H3H5HabM=1H9H2H0.5H7Hab-3HLab=5H4H3H2H1Hab3HLab=6H解解5. 5. 有互感

28、的电路的计算有互感的电路的计算 (1) (1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的 相量分析的方法均适用。相量分析的方法均适用。 (2) (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。电压。 (3) (3) 一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i113132222

29、)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解例例2 2求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 313113123123131311231120MLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUSc 解解1 1作出去耦等效电路，作出去耦等效电路，( (一对一对消一对一对消):):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M23

30、+M13 L3+M12M23 M13 解解2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(313111 MLLjRUIS )2()(3131131231230MLLjRUMMMLjUSc 例例3 3要使要使i=0，问电源的角频率为多少？问电源的角频率为多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R + SUIMZ*L1M L2MC R + SUIZM解解CM 1 当当MC1 0 I6.3 6.3 含互感电路的相量法分析含互感电路的相量法分析 变压器由两

31、个具有互感的线圈构成，一个线圈接向变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1. 1. 空心变压器电路空心变压器电路初级回路初级回路次级回路次级回路2. 2. 分析方法分析方法（1 1） 方程法分析方程法分析 12S11(j )+jR L IM IU 1222j(+j)0LM IRRLI令令 Z11=R1+j L1， Z

32、22=R2+RL+j L2， Z12=Z12=-j M， 回路方程：回路方程： 12S1112Z IZIU 1221220ZIZI )(22211S1 ZMZUI 222111Sin)( ZMZIUZ SS222111122222211-j-j1()()()M UM UIMMZZZZZZ1 I+S UZ11222)(ZM初级等效电路初级等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM次级等效电路次级等效电路（2 2） 等效电路法分析等效电路法分析11222222222222222222222222222221jj j)(fffXRXRXMXRRMXRMZMZZf1= Rf1+j Xf1222222

33、22221XRRMRf22222222221XRXMXf1111in21 , , 0ZZZZIf即次级开路当1 I+S UZ11222)(ZM次级回路对初级回路的反映阻抗。体次级回路对初级回路的反映阻抗。体现次级回路的存在对初级电流的影响。现次级回路的存在对初级电流的影响。反映电阻。反映电阻。恒为正恒为正 , 表示次级回路表示次级回路吸收的功率是靠初级回路供给的。吸收的功率是靠初级回路供给的。反映电抗。反映电抗。负号反映了反映电抗负号反映了反映电抗与次级回路电抗与次级回路电抗X22的性质相反。的性质相反。初级等效电路初级等效电路 12Sin1111221() fUMZZZZZI输入阻抗输入阻抗

34、反映阻抗反映了次级回路对初级回路的影响。从物理意反映阻抗反映了次级回路对初级回路的影响。从物理意义讲，虽然初级回路和次级回路没有电的联系，但由于互感义讲，虽然初级回路和次级回路没有电的联系，但由于互感作用使闭合的次级产生电流，反过来这个电流又影响初级的作用使闭合的次级产生电流，反过来这个电流又影响初级的电流电压。电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 : :电源发出有功电源发出有功 P= I12(R1+Rf1)I12R1 消耗在初级回路；消耗在初级回路；I12Rf1 消耗在次级回路，由互感传输。消耗在次级回路，由互感传输。次级等效电路（一）次级等效电路（一）2212122212ZIMjIIZZ

35、I因为：Z21=jM 应当清楚，该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下才可应用来求电流 , 特别应注意的是，等效源的极性、大小及相位与耦合电感的同名端、初, 次级电流参考方向有关。1I2I图6.3-3 次级等效电路次级等效电路（二）次级等效电路（二）如果直接对含互感的原电路应用戴维宁定理，亦可得到次级另一种等效电路。 我们仍用图6.3-1电路，并限定在正弦稳态情况来讨论。根据戴维宁定理分析电路的3个步骤，首先自cd断开次级电路，设出开路电压Uoc，如图6.3-4所示。由图可求得 .图6.3-4 求开路电压用图 由图可求得10ocjIMU式中 1110j LRUIs是次级开路时的初级电流。 然

36、后再求等效内阻抗Z0。 将图6.3-1中理想电压源Us短路，在断开端子c、d间外加电源U，如图6.3-5所示。这相当于将原来的次级当做初级， 原来的初级当做次级情况。.图6.3-5求等效内阻抗用图22112221122220fZLjLjRMLjZMZZ式中 11222fZMZ 称为初级回路向次级回路的反映阻抗，它与Zf1具有类似的性质。 图6.3-6 次级等效电路 11Soc jZUMU 112)(ZM初级对次级的反映阻抗。初级对次级的反映阻抗。利用戴维宁定理可以求得利用戴维宁定理可以求得空心变压器次级的等效电路空心变压器次级的等效电路 。 次级开路时，次级开路时， 初级电流在次级产初级电流在

37、次级产 生的互感电压。生的互感电压。2 I+oc UZ22112)(ZM次级等效电路次级等效电路（3 3） 去耦等效法分析去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。路，再进行分析。 例例6.3-1 互感电路如图6.3-7(a)所示，使用在正弦稳态电路中，图中L1、L2和M分别为初级、次级的电感及互感。将互感电路的次级22短路，试证明该电路初级端11间的等效阻抗 211211)1 (LLMkLkjZ其中 图6.3-7 例6.3-1用图 例例6.3-2 图6.3-8(a)所示互感电路，已知R1=7.5, L1=30, =22

38、.5, R2=60, L2=60, M=30, =150V。求电流 R2上消耗的功率P2。 11CsU,21II图6.3-8 例6.3-2用图 例例6.3-3 图6.3-9(a)所示电路，已知 =100V，=106 rad/s，L1=L2=1mH, C1=C2=1 000pF, R1=10 , M=20H。负载电阻RL可任意改变，问RL等于多大时其上可获得最大功率，并求出此时的最大功率PL max及电容C2上的电压有效值UC2。 sU图6.3-9 例6.3-3用图 已知已知 US=20 V , 原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功

39、功率.101010j42222jZZMZXl 8 . 9 j2 . 010200)1010(41010104 jjjjZX此时负载获得的功率：此时负载获得的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：* *j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX+S U10+j10 Zl=10j10 例例1解解L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU. , :21II求求应用原边等效电路应用原边等效电路

40、4 .1130j20j1111 LRZ 85.18+08.42=j+=2222jLRRZL 8188422)1 .24(3 .4621 .2411.46146o2222.-jZXZMl1 I+S UZ11222)(ZM 例例2*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解解1A)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o11S1 jjZZUIl应用副边等效电路应用副边等效电路VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZMAjjZIMj

41、I1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429 .64111. 01462212 解解22 I+oc UZ22112)(ZMAjjUIOC0353. 008.42085.1485.1808.425 .182 例例3全耦合互感电路如图，求电路初级端全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解解1111 jLZ 222 jLZ 22222)(LMjZMZl )1()1( 21212122111kLjLLMLjLMjLjZZZlab 解解2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )(

42、 )/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 例例4L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 问问：R2=？能吸收最大功能吸收最大功率率, 求最大功率。求最大功率。V 010o sU解解1 10)1 j(11111CLRZ 222222)1 j(RCLRZ 2222400)(RZMZl 10 106 6rad/s,* *j L1j L2j M+S UR1C2R2C1 100 21LL 1001121CC 20 M 应用原边等效电路应用原边等效电路+S U10 2400R当当21140010RZZ

43、l R2=40 时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 解解2应用副边等效电路应用副边等效电路4010400)(112 ZMZl +oc UR240)(112 ZM VjjZUMjUSOC2010102011 当当 402RZl时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 例例5图示互感电路已处于稳态，图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开，时开关打开，求求t 0+时开路电压时开路电压u2(t)。* *0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 解解* *0.2H0.4HM=0.1H+10 40Vu2+10 5 10 副边开路

44、，对原边回路无影响，开路电压副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有中只有互感电压。先应用三要素法求电流互感电压。先应用三要素法求电流i(t).iAii1211510/1040)0()0( 10 0 ts01. 0202 . 0 t0)( iAeeiiititt100)()0()()( VeedtddtdiMtutt100100210)(1 . 0)( 解解例例6*uS(t)Z100 CL1L2MttuCMLS cos2100)(,201120 2 ，已已知知问问Z为何值时其上获得最大为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。功率，求出最大功率。（1）判定互感线圈的）判定互感线圈的同

45、名端。同名端。（2）作去耦等效电路）作去耦等效电路j100 j20 j20 100 j( L-20) 00100 j100 100 j( L-20) 00100 j100 100 j( L-20) 00100 uocj100 100 j( L-20) uocVjjjUjUSoc045250100100100100)100100100 5050100/100jjZeq 5050*jZZeqWRUPeqoc25504)250(42max 10.410.4 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互理

46、想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（1）全耦合）全耦合（3）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限大。（2）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121, 2, 1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。想变压器对待，可使计算过程简化。

47、以图以图6.4-1(a)示意图来分析理想变压器的主要性能。示意图来分析理想变压器的主要性能。图图 6.4-1 变压器示意图及其模型变压器示意图及其模型 由图由图6.4-1(a)可以看出与线圈可以看出与线圈N1, N2交链的磁链交链的磁链1, 2分别为分别为)()(212222122222121111211111NNNNNN(6.4-1a) (6.4-1b) 2.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能11222122221112112211NN考虑全耦合考虑全耦合(k=1)的理想条件，所以有的理想条件，所以有1 2=2 2, 21=11， 则则 (6.4-2a) (6.4-2b) 将将(6

48、.4-2)式代入式代入(6.4-1)式，式， 得得 (6.4-3a) (6.4-3b) i1122N1N21122,NN （1）变压关系）变压关系1 kdtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121*n:1+_u1+_u2*n:1+_u1+_u2理想变压器模型理想变压器模型若若nNNuu 2121 1.若若u1、u2参考方向的参考方向的“+”极性端都分别设在同名端，则极性端都分别设在同名端，则u1与与u2之比等于之比等于N1与与N2之比。之比。 2.若若u1 , u2参考方向的参考方向的“+”极性端一个设在同名端，极性端一个设在同名端，一个设在异名端，则一个设在异名端

49、，则u1与与u2之比为之比为 在进行变压关系计算时是上述两个哪个式子决定于两电在进行变压关系计算时是上述两个哪个式子决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置，与两线圈中电流参考方压参考方向的极性与同名端的位置，与两线圈中电流参考方向如何假设无关。向如何假设无关。 结论结论nNNuu 2121nNNuu 2121（2）变流关系）变流关系i1*L1L2+_u1+_u2i2MdtdiMdtdiLu2111 )()(1)(210111tiLMduLtit 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件： 121LLMk nLLL 21211NN ,0nLLLM1121 )(1)(21tinti 若若i1、i2一个

50、从同名端流入，一个从同名端流出，则有：一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：)(1)(21tinti n:1理想变压器模型理想变压器模型 1.若初、次级电流若初、次级电流i1、i2分别从同名端同时流入（或同时流分别从同名端同时流入（或同时流出）时，出）时， 如图如图6.4-3所示，则这种情况的所示，则这种情况的i1与与i2之比等于负的之比等于负的N2与与N1之比之比 。 结论结论图图 6.4-3变流关系带负号情况的模型变流关系带负号情况的模型 12211iNiNn 2.若假设若假设i1、i2参考方向中的一个是从同名端流入，参考方向中的一个是从同名端流入， 一个一个是从同名端流出，如图是从同

51、名端流出，如图6.4-4所示，则这种情况的所示，则这种情况的i1与与i2之比之比为为 在进行变流关系计算时是在进行变流关系计算时是上述两个哪个式子决定于两电上述两个哪个式子决定于两电流参考方向的流向与同名端的流参考方向的流向与同名端的位置，与两线圈中电压参考方位置，与两线圈中电压参考方向如何假设无关。向如何假设无关。 12211iNiNn图图 6.4 - 4变流关系不带负号时的模型变流关系不带负号时的模型 （b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(1

52、11112211 niuniuiuiup（a a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。（3）功率性质）功率性质表明：表明：（4）变阻抗关系）变阻抗关系ZnIUnInUnIU22222211)( /1 *1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z 理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。也就是说，负载阻抗大小，不改变阻抗的性质。也就是说，负载阻抗为感性时折合到初级的阻抗也为感性，负载阻抗为感性时折合到初级的阻抗也为感性，负载阻抗为

53、容性时折合到初级的阻抗也为容性。为容性时折合到初级的阻抗也为容性。注注 理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当于初级亦开路。初级亦开路。 (1) 理想变压器的理想变压器的3个理想条件：个理想条件： 全耦合、全耦合、 参数无穷大、参数无穷大、 无损耗。无损耗。 (2) 理想变压器的理想变压器的3个主要性能：变压、变流、变阻抗。个主要性能：变压、变流、变阻抗。 (3) 理想变压器的变压、变流关系适用于一切变动电压、理想变压器的变压、变流关系适用于一切变动电压、 电流情况，即便是直流电压、电流，理想变压器也存在上述变电流情况，即便是直流电压

54、、电流，理想变压器也存在上述变换关系。换关系。 (4) 理想变压器在任意时刻吸收的功率为零，理想变压器在任意时刻吸收的功率为零， 这说明它是这说明它是不耗能、不贮能、只起能量传输作用的电路元件。不耗能、不贮能、只起能量传输作用的电路元件。 关于理想变压器概念，可概括下列几点：关于理想变压器概念，可概括下列几点：图图6.4-6 例例6.4-1用图用图 例例6.4-1 图6.4-6(a)所示正弦稳态电路，已知 (1) 若变比n=2, 求电流 以及RL上消耗的平均功率PL; (2) 若匝比n可调整，问n=? 时可使RL上获最大功率，并求出该最大功率P L max。Vcos82)(ttus1I 例例6

55、.4-2 图图6.4-7(a)所示电路，理想变压器匝比为所示电路，理想变压器匝比为2，开关，开关S闭合前电容上无贮能，闭合前电容上无贮能，t=0时开关时开关S闭合，求闭合，求t0+时的电压时的电压u2(t)。 图图 6.4-7 例例6.4-2用图用图 例例6.4-3图图6.4-8电路，求电路，求ab端等效电阻端等效电阻Rab。图图 6.4-8 例例6.4-3用图用图 例例1已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻负载电阻RL=10 。为使为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。n2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=10

56、00 n2=100， n=10 .* *n : 1RL+uSRS应用变阻应用变阻抗性质抗性质例例21 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：列方程：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U方法方法2：阻抗变换：阻抗变换V0100 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 101o112 UUnU方法方法3：戴维南等效：戴维南等效1 I2 I* *+oc U+1 U1 :

57、10+V010o 1 :ocU求求求求Req：Req=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100 50 V033.3350501000100oo2 UReq* *1 : 101 例例3已知图示电路的等效阻抗已知图示电路的等效阻抗Zab=0.25 ，求理想变求理想变压器的变比压器的变比n。解解102 n+1 U1.5 2 3 U I+U应用阻抗变换应用阻抗变换外加电源得：外加电源得： 10)3(221nUIU )105 . 1()3(22nUIU 21UnU 130102 nInU 130105 . 125. 02 nnIUZabn=0.5 or n=0.

58、25Zab* *n : 11.5 10 + 32U 2U例例4求电阻求电阻R 吸收的功率吸收的功率解解应用回路法应用回路法 21UnU 211InI 11 UUIS2322UII 解得解得1 I2 I* *+2 U+1 U1 : 10+SU1 1 1 R=1 123SUII 322nnnnUIS23)121(3 23RIP 一个实际变压器可以用理性变压器模型串、并（联）一个实际变压器可以用理性变压器模型串、并（联）上适当的理想元件模型构成它的模型。上适当的理想元件模型构成它的模型。6.5 6.5 实际变压器模型实际变压器模型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，实际变压器是有损耗的，也不可能全

59、耦合， k 1。且且 L1，M，L2 。除了用具有互感的电路来分析计算。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。6.5.1 空芯变压器空芯变压器 空芯变压器是空芯变压器是高频高频、甚高频甚高频电路里经常使用的一种电路里经常使用的一种变压器，如电视机、发射机中使用的绕在非铁磁性物质变压器，如电视机、发射机中使用的绕在非铁磁性物质芯上的耦合线圈，有的就以空气为芯。芯上的耦合线圈，有的就以空气为芯。 这种变压器在电路中所起的作用就是完成信号（变这种变压器在电路中所起的作用就是完成信号（变化的电压或电流）的变换与传输。化的电

60、压或电流）的变换与传输。事实上，空芯变压器就是一个耦合线圈，它属于非理事实上，空芯变压器就是一个耦合线圈，它属于非理想变压器。想变压器。如何用理性变压器模型表示这样的一个互感线圈？如何用理性变压器模型表示这样的一个互感线圈？1.1.理想变压器理想变压器( (全耦合，无损，全耦合，无损， = 线性变压器线性变压器) ) 21UnU 211InI 21nuu 211ini i1*+_u1+_u2i2n:1理想变压器模型理想变压器模型2.2.全耦合空芯变压器全耦合空芯变压器(k=1，无损无损 ， ， 线性线性) )由图由图6.5-16.5-1中所标示的同名端位置及所设出的电压、中所标示的同名端位置及