股票有、无卖空限制下有效前沿的计算

1、有、无卖空限制下有效前沿的计算基于股票案例的研究摘要在丰富的金融投资理论中， 投资组合理论占有非常重要的地位，金融产品本质上市各种金融工具的组合。现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过风险之间的基本权衡 关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证 预订收益的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。在中国股市上运用马 科维茨模型研究投资有限前沿组合，探索风险变动规律，从而知道各股票投资组合在达到最佳时 所占的比例。关键词马科维茨模型投资组合有效前沿投资者很早就认识到了分散的将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。但在第一

2、个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马科维茨。1952年马科维茨发表了证券投资组合选择，标志着证券组合理论的正式诞生。马科维茨根据每一张证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资 组合。马科维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时非常精确。本文通过对在上交所 上市的六只股票运用马科维茨模型进行分析，找到给定风险下的最佳投资组合。一、模型理论经典马科维茨均值-方差模型为：mi n 2= X 丁 E X« max E ( r p ) = X T RnS .t .送 X i = 1I丄1其中R=Ri,R2,R

3、nT ； Ri二Eri是第i种资产的预期收益率；X =Xi,X2,XnT是投资组合的权重向量；為=% n n是n中资产间的协方差矩阵；E rp和二p分别是投资组合的期望回报率和方差。马科维茨模型以期望收益率期望度量收益，以收益率方差度量风险。在本文中以股票的历史 收益率的句子作为期望收益率，可能会造成“追涨的效果”，在实际中这些收益率可能会不一样；在计算组合风险值时协方差对结果影响较大，在本文中以股票的历史收益率的协方差度量资产风 险与相关性，可能会与实际协方差矩阵存在一定的偏差。1. 前沿的计算马科维茨均值-方差模型为典型的带约束的二次规划问题，在给定的期望收益时， 方差最小解唯一，函数如下

4、：min s .t给定ei计算相应风险最小的组合，即得到有效前沿上一点(有效组合)，给定一系列e可以有效描绘出有效前沿。有效边界是组合证券资产选择的重要基础。根据Markwitz创立的现代证券投资组合理论,理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”两个特征,即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最小化。在马科维茨的均值-方差模型中，对于每一个给定的收益率水平，得到的对应投资组合的方差(或标准差)比在同样收益水平的任何组合的方差(或标准差)要小，称为有效前沿。在标准差-均值坐标系中,则是一条双曲线。收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合,位于组合前沿的上半部分，被称为有效前沿，它是

5、前沿投资组合和有效投资组合的交集部分。前沿投资组合(Envelope Portfolio )是指对于任意给定的期望收益水平，所具有最小方差的投资组合构成的集合，即在图-1中位于包络线线上的投资组合。有效投资组合(Efficient Portfolio )是指对于任意给定的方差或标准差水平，具有最大收益率的投资组合。可行投资组合：满足投资比例之和为1，即a xi =1的组合，如上图中的 A、B、C组合。i吕可行集：由所有可行投资组合构成的集合，为上图曲线内部以阴影表示的区域。前沿投资组合：对于任意给定的期望收益水平，所有具有最小方差的投资组合构成的集合，即为途中包络线上的投资组合。以组合D为例，

6、在所有期望收益为 5.7%的组合中，组合 D具有最小方差30.24%。有效投资组合：对于任意给定的方差或标准差水平，具有最大收益率的投资组合。有效前沿：有所有有效投资组合构成的集合。任何一个位于该曲线下方的投资组合，其期望收益都小于对应在有效边界上的组合，为标准差却相等。2. 条件下计算有效前沿记列向量R-c-c,E(r2)-c,E(rn)-cT,如果向量z为线性方程组R - c = SZ的解(S是方差协方差矩阵)，则Z二S，(R-c),那么 (x1lx2/ ,xn)T为前沿投资组合，其nn中Xi =Zi /V Zj，即x是z的规范化，满足 7 Xi =1 ;反之，任何前沿投资组合都满足以上条

7、J =±il件。任何两个前沿投资组合的线性组合仍为前沿投资组合；反之，所有前沿投资组合均可由任意 两个不同的前沿组合产生。3. 限制下的有效前沿计算在卖空限制下求解投资组合类似于求大化问题，只是对投资组合增加了一个投资比例非负性约束条件：nXi =1 其中 Xi _ 0, i =1, Ni 4在有卖空限制下，前沿投资组合的求解可用规划问题表示:Max E rx -C-xnSubject_to 瓦 Xi =1, Xi HOi =1、有效前沿的计算基于六只股票从大智慧证券分析软件提取工商银行、三一重工、中国石化、上海汽车、上海机场、中国移动六只股票的收盘价（向前除权后提取月K线数据）20

8、10年5月31日至2011年5月31日收盘价数据如下：日期收盘价三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-315.6213.328.434.2173.714.462010-6-3015.7211.847.74 :4.0178.212.75 :2010-7-307.2113.238.824.2578.5512.272010-8-318.6413.268.154.0379.1515.332010-9-309.2112.58.2 :3.9979.4516.412010-10-2914.0714.18.914.378.9516.85 :2010-11-3014.3912

9、.168.134.277.4520.022010-12-31114.3812.398.06 :4.2477.217.122011-1-3114.8414.0494.2576.614.682011-2-2816.7614.558.524.2673.0517.382011-3-3118.5713.568.534.4771.6518.452011-4-2918.3414.198.644.5671.418.222011-5-3116.813.368.064.5671.0516.551.收益率的计算本文中提取的股票收盘价为除权以后的数据，故不需考虑股利分红等因素。股票A在第t月的收益率为在第t月末与第（

10、t-1 ）月月末价格之比的自然对数，计算公式为：日期收益率三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-312010-6-301.76%-11.78%-8.54%-4.87%5.93%-12.59%r Atln（）P A ,t -1六只股票的月收益率2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%0.45%-3.84%2010-8-3118.09%0.23%-7.90%-5.32%0.76%22.27%2010-9-306.39%-5.90%0.61%-1.00%0.38%6.81%2010-10-2942.38%12.04%8.30%7.48%-0

11、.63%2.65%2010-11-302.25% 1-14.80%-9.16%-2.35%r-1.92%17.24% 12010-12-31-0.07%1.87%-0.86%0.95%-0.32%-15.65%2011-1-313.15%12.50%11.03%0.24%-0.78%-15.38%2011-2-2812.17% 13.57%-5.48%0.24%-4.75%16.88%2011-3-3110.26%-7.05%0.12%4.81%-1.94%5.97%2011-4-29-1.25% :4.54%1.28%1.99%P -0.35%-1.25% :2011-5-31-8.77%-

12、6.03%-6.95%0.00%-0.49%-9.61%月期望收益9.13%0.02%-0.37%0.67%-0.31%1.12%年期望收益109.50% 10.30%-4.49%7.99%:-3.66%13.50%方差（月）1.71%0.78%0.55%0.14%0.06%1.58%标准差（月）13.07%8.85%7.42%3.78%2.35%12.58%方差（年）20.50% :9.40%6.60%1.71%P 0.66%19.00%标准差（年）45.28%30.66%25.69%13.08%8.15%43.59%2.运用超额收益矩阵计算方差-协方差矩阵 六只股票的超额收益计算日期超额收

13、益率三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车2010-5-312010-6-30-7.36%-11.80%-8.17%-5.53%P 6.23%-13.71%2010-7-3014.02%11.08%13.44%5.15%0.75%-4.96%2010-8-318.97%0.20%-7.53%-5.98%1.07%21.14%2010-9-30-2.74% :-5.93%0.99%-1.66%0.68%5.68%2010-10-2933.25% :12.02%8.68%6.82%b-0.33%1.52% :2010-11-30-6.88%-14.83%-8.79%-3.02

14、%-1.61%16.11%2010-12-31-9.19%1.85%-0.49%0.28%-0.02%-16.77%2011-1-31-5.98% 112.48%11.41%-0.43%-0.48%-16.50%2011-2-283.04%3.54%-5.11%-0.43%-4.44%15.76%2011-3-311.13%-7.07%0.49%4.15%-1.63%4.85%2011-4-29-10.37% 14.52%1.66%1.33%P-0.04%-2.38% 12011-5-31-17.90%-6.05%-6.57%-0.67%-0.19%-10.74%以上六只股票的差额收益矩阵 A

15、计算公式为:11 - E1 in - Em|21 - E（1 ）'2n - E（m）-ml E（A ）mn E rm L3.计算方差-协方差矩阵协方差定义为:4 MC0V（rA，rBHM：. h-EWANk-EWB）】根据协方差公式计算六只股票的方差协方差矩阵为:方差-协方差矩阵三一重工上海机场中国石化工商银行中国移动上海汽车三一重工1. S :%0. 67%0. 50%0. 28%-0. 03%0. 61%上梅机场0. 6了0. 85%0. 50%0-0. 05%-0. 28%口国石化0. 50%0. 58%CL 60%6 23%-0. 02%7. 39%工南银行a 28%0. 21

16、%0. 23%0.16%T. 04%7 09%中国移动-0, 03%-0,05%-0.02%-0. 04%0. 06%-0.14%上海汽车0. 61%-0. 28%-0. 39%-0, 09%-0.14%1. 73%根据上证指数求得rf上证指数日期收盘2010-6-302398.372010-7-302637.52010-8-312638.82010-9-302655.662010-10-292978.842010-11-302820.182010-12-312808.082011-1-312790.692011-2-282905.052011-3-312928.112011-4-292911

17、.512011-5-312743.47rf0.143889一.无卖空限制下有效前沿的计算c,通过计算前沿组合。根据无卖空限制计算有效前沿性质一，需要假设两个不同的常数 R-c=Sz求解乙然后根据性质二就可以求得前沿组合。两个前沿组合的计算前沿组合市场组合CZXrfRpf0. 00000.091323. 5167-0.16620.1439-0- 0526MS. 8826-0.10336 0002-18.04420.1275-0.1436-333. 87470.1099-0. 0037-1.91060.0135-0.1476179.3054Hl 05900. 0067-42, 89650. 303

18、2-0.1372-1090. 24290. 3588-0. 0031-82. 05960, 5801-0,1469-1770, 31920. 58270.0112-20, 06540.14181326?337.04?30.1109两个相关指标的计算期望收益(x)-0.013344596期望收益(M-0.00732115方差(X)9.43283E-05方差(M4.97682E-05标准差(x)0.009712277协方差(M0.007054655协方差5.17507E-05计算有效前沿。根据无卖空限制有效前沿计算的性质二，通过上一步计算得到的两个前沿组合x和y的线性组合，可以求出整个可行域的包络

19、线，当然有效边界也包含在内。假设对组合x的投资比例为 a对组合y的比例为(1-a)的组合为 p,通过下面的公式，可以得到组合p的期望收益和标准差：E(Rp)=aE(Rx)+(1-a)E(R y)2 2 2 2 2(rp=a (rx+(1-a) by+2a(1-a)Cov(x,y)令a=0.3,可以得到组合p的期望收益和标准差。此外，使用Excel的模拟运算表功能，计算对组合x和y不同投资比例下的期望收益和标准差，即可得到无卖空限制下有效前沿曲线组合x的投资比例30%组合p的期望收益-0.9128%组合p的标准差5.65733E-05不同组合比例下组合的期望收益和标准差组合x的投资比例a标准差期

20、望收益0.0057%-0.9128%-40.0000%0.0012%-0.4912%-30.0000%0.0024%-0.5514%-20.0000%0.0035%-0.6116%-10.0000%0.0043%-0.6719%0.0000%0.0050%-0.7321%10.0000%0.0054%-0.7923%20.0000%0.0056%-0.8526%30.0000%0.0057%-0.9128%40.0000%0.0055%-0.9731%50.0000%P0.0051%-1.0333%彳60.0000%0.0045%-1.0935%70.0000%0.0037%-1.1538%8

21、0.0000%:0.0027%-1.2140%丁90.0000%0.0014%-1.2742%100.0000%0.0000%-1.3345%110.0000%-0.0006%-1.3947%120.0000%-0.0015%-1.4549%130.0000%-0.0025%-1.5152%140.0000%-0.0038%-1.5754%150.0000%-0.0053%-1.6356%160.0000%-0.0069%-1.6959%无卖空限制的有效前沿曲线无卖空限制下有效前沿组合标准差益收望期合组有效前沿曲线呈现出这样的趋势主要是因为六只股票的收益率都低于大盘的平均收益率。二、有卖空限制

22、下有效前沿计算在实际构建投资组合时要考虑到合规、合法或者分先管理等限制条件，这样会给组合构建带来约束，例如基金“双百分之十规则”；基金投资于某一证券的市值不能超过基金资产的10%，如要求六只股票的最大配置分别为：三一重工最大配置50%,上海机场最大配置 60%，中国石化最大配置80%，工商银行最大配置 55%，中国移动最大配置 79%，上海汽车最大配置 30% ； 三一重工、上海机场、中国石化组成资产集合A ;工商银行、中国移动、上海汽车组成资产计划集合B ;其中集合 A的最大配置为50%，集合B的最大配置为80%，集合A的配置不能超过集 合B的配置的1.5备，并且有卖空限制的条件下如何配置？

23、六只股票的收益率均值、收益率标准差及超额收益率协方差矩阵.nredeLGCDx0.060.050.040.030.020.01Mean-Variance-Efficient Frontier0.1组合风 险组合期望收 益六只股票投资比例三一重 工上海机 场中国石 化工商银 行中国移 动上海汽 车00.010.020.030.040.050.060.070.080.09Risk (Standard Dev iation)收益率均 值收益率标 准差（超额收益）方差协方差矩阵三一重0.09130.13070.0180.0060.0050.002-0.000.006工670 18031 1上海机0.0

24、0020.08850.0060.0080.0050.002-0.00-0.00场758 110528 1中国石-0.00370.07420.0050.0050.0060.002-0.00-0.00化080 130239 1工商银0.00670.03780.00280.00210.00230.0016-0.0004-0.0009行中国移-0.00310.0235-0.00-0.00-0.00-0.000.000-0.00动03050204614 1上海汽0.01120.12580.0061-0.0028-0.0039-0.0009-0.00140.0173车应用二次规划问题求解得到: 有效前沿组

25、合1.24%0.08%0.00%1.04%0.00%28.27%63.06%7.63%1.42%0.29%1.85%0.00%0.00%31.89%58.63%P 7.64% :1.65%0.49%4.31%0.00%0.00%30.07%58.58%7.03%1.89%0.70%6.78%0.00%0.00%28.26%58.53%6.43%2.14%0.91%9.25%0.00%0.00%26.45%58.48%5.83%2.40%1.11%11.71%0.00%0.00%24.64%58.43%5.22%2.66%1.32%14.18%0.00%0.00%22.83%58.37%4.62

26、%2.93%1.52%16.65%0.00%0.00%21.01%58.32%4.01%3.20%1.73%19.11%0.00%0.00%19.20%58.27%3.41%3.47%1.94%21.58%0.00%0.00%17.39%58.22%2.81%3.74%2.14%24.05%0.00%0.00%15.58%58.17%2.20%4.02%2.35%26.51%0.00%0.00%13.77%58.12%1.60%4.29%2.56%28.98%0.00%0.00%11.96%58.07%1.00%4.57%2.76%31.45%0.00%0.00%10.14%58.02%0.39% 14.85%2.97%33.89%0.00%0.00%8.30%57.81%r 0.00% 15.13%3.18%36.2