天津市十二区县重点学校2020届高考数学一模试卷(解析版)

1、2020年天津市十二区县重点学校高考数学一模试卷、选择题（共 9小题，每小题5分，满分45分）1.已知全集U = - 2, - 1, 01, 2, 3,集合 A=x|0<x<1, xCZ, B = 1, 2,则？u(AU B)=(A. 1, 2B. 0, 1, 22.C. -2, - 1已知aCR,则3”-1vav0”D. - 2, - 1, 0, 3是 “ ax2+2 ax - 1 v 0 X?x CR 恒成立”的(A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.?-?4.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10,三棱

2、)函数f（X）= 2；?.的图象大致是（ 2|?1T柱ABC - AiBiCi的侧棱垂直于底面，且 AB = BC= v? AB±BC, AAi=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为（）A. 8B. 8V?C. 12D. 12?5.某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下 6 组：第 1 组40, 50),第 2 组50, 60),第 3 组60, 70),第 4 组70, 80),第5组80, 90),第6组90, 100,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第2, 3, 4组中按分层抽样

3、抽取 8人，则第2, 3, 4组抽取的人数依次为()A. 1, 3, 4B. 2, 3, 3C. 2, 2, 4D. 1, 1, 66.若双曲线?:?吊彳=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x-2) 2+y2=4所截得的弦长为2V?则C的离心率为()A. 2B. V?7 .已知函数y=f (x-2)的图象关于直线x = 2对称，在xC(0,+8)时，f (x)单调递增.若a = f (4ln3) , b=f (2一e) , ?= ?(?(其中e为自然对数的底数，兀为圆周率)， 则a, b, c的大小关系为()A. a>c>bB. a>b>cC. c>

4、a>bD. c>b> a8 .关于函数?(?= ?视?命题:f (x)的最小正周期为兀；函数f (x)的图象关于x= 3?寸称; 2?f (x)在区间-2p - 6上单调递增;y = 2sin2x的图象5?.将函数f (x)的图象向左平移 一个单位长度后所得到的图象与函数12重合.其中正确的命题是（A.B.C.D.9.在等腰梯形中,AB / CD, AB = 2, AD = 1, / DAB = ?点 F 是线段 AB 上的一点，M3为直线BC上的动点，若? 3? ?= ?祖?= - 1,则? ?勺最大值为（B.6364C. - 1D.2364二、填空题（本大题共 6小题，每

5、小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10.若复数z满足：z （1 + i） = |1+ v?|,则复数z的虚部是 .11,二项式（?？/?+ ?冲，则其展开式中x的系数是 .?,12 .抛物线C： y2=2px （p>0）的焦点F,其准线过（-2, 2）,过焦点F倾斜角为一的直3线交抛物线于 A, B两点，则P=;弦AB的长为 .13 .为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度，从经济不发

6、达的 A城市和经济发达的 B城市分别随机调查了 20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”.以该样本中 A, B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A,B城市用户对此授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则 P （X=3） =;用Y表示这从A城市随机抽取2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则Y的数学期望为 .14 .若存在a, b, cC (0, +8),使得不等式?。+ 2?。+

7、?2 < 3 ? + ?成立，则实数 m 的?+?2 -取值范围是?+? ?w ?15.已知函数？(?= ，；，-?+ ?-? ? ?>?若函数g (x) = f(x) - k|x+2|有三个零点,则实数k的取值范围是三、解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)16. 4ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知ABC的面积为v? b - c1=2, cos A= - 4(I )求a和sinC的值;(n )求 cos (2C+ ?的值 317.如图，平面 EFBA，平面ABCD , EFBA为矩形，ABCD为等腰梯形，A

8、B / CD, M ,N 分别为 FC, AC 中点，/ ADC = 45° , DC=3AB = 3, AE=2.(I )证明：MN /平面 EFBA ;(n)求二面角 F - AC - D的正弦值；(出)线段ED上是否存在点P,使得PNL面MAC,若存在求出EP的长，若不存在，说明理由.点共线，直线1交椭圆C于两点p, Q,且？?= ?w?)18 .已知椭圆？ ?2+ ?2= ?(?>?的左、右焦点Fl, F2,离心率为:点M是椭圆上的动点， MF1F2的最大面积是J?(I )求椭圆C的方程;A,且 Fi, E, A 三(n)圆e经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一象限的交

9、点为(i)求直线OA的斜率;(ii)当4APQ的面积取到最大值时，求直线 1的方程.19 .等比数列an的各项均为正数，2a5, a4, 4a6成等差数列，且满足a4=4a32,数列bn的前 n 项和 Sn= (?+1)? nCN*,且 bi= 12(I)求数列an和bn的通项公式;(D)设 cn="？?+5? ?e?J 求证：/?=?广 1；?+1?+33(出)设 Rn = ab+a2b2+ + anbn, Tn = a1b 一 a2b2+ +( 1) n 1anbn, n CN ,求 R2n+3T2n(出)若存在 Xi, X2C (0, +°°),且当 X1W

10、X2 时，f (xi) =f(X2),证明:?& 4?2<?一、选择题(在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9 小题，每小题 5 分，满分 45 分)1.已知全集 U = 2, 1, 0, 1, 2, 3,集合 A=X|0WXW1, XCZ, B = 1, 2,则？u (AUB)=()A. 1 , 2B. 0, 1, 2C. - 2, - 1, 3 D. - 2, T, 0,3【分析】求出集合 A,再求出AUB,得出结论.解：因为全集 U = -2, 1, 0, 1, 2, 3,集合 A = x|0<x<1, xCZ=0, 1, B =1 ， 2 ，

11、AU B = 0, 1, 2;则？u (AUB) = - 2, - 1, 3；故选： C2.已知 aCR,贝U ”一 1vav0” 是 “ax2+2ax1v0X?xCR 恒成立”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】a=0时，不等式化为-1<0,满足条件.av0时，ax2+2ax - 1< 0又?xCR恒 成立，< 0,解得a范围即可判断出结论.解：a=0时，不等式化为-1<0,满足条件.a<0 时，ax2+2ax - K0 X?xCR 恒成立，= 4a2+4av0,解得-1vav0,"- 1va<

12、;0”是“ax2+2axT<0又?x CR恒成立”的充分不必要条件.3.函数f (x)?-?2|?|-1的图象大致是(【分析】先求出函数的定义域，解条件先判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想以 及排除法进行排除即可.解：由2X|- 1 w 0得|x|w 1,即xw±1,即函数的定义域为x|xw 土 22f( x) = ；-?；-? = - ?：?-= - f (x),即函数 f (x)是奇函数，图象关于原点对 2|-?|-12|?|-1称，排除B,当 x一+8, f (x) 一 +OO,排除 A,当 0vxv 2时，2|x|- K0, ex- e x>0,此时 f (x

13、) < 0,排除 D,故选：C.4 .张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10,三棱柱ABC - AiBiCi的侧棱垂直于底面，且 AB = BC=。？ AB ± BC, AAi=2,若该三棱柱 的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为()A. 8B. 8v?C. 12D. 12v?【分析】根据题意，棱柱 ABC-A1B1C1外接球即为以BA, BC, BB1为长宽高的长方体外接球，求出长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积.解：根据题意，棱柱 ABC - AiBiCi外接球即为以 BA, BC , BB 1为长宽高的长

14、方体外接球，该长方体的半径为()2+( )2+2 22所以该球的表面积为S球=4 7tR2=4 7tX (v? 2= 8兀=8储？?5 .某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下 6 组：第 1 组40, 50),第 2 组50, 60),第 3 组60, 70),第 4 组70, 80),第5组80, 90),第6组90, 100,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第2, 3, 4组中按分层抽样抽取 8人，则第2, 3, 4组抽取的人数依次为()A. 1, 3, 4B. 2, 3, 3C. 2, 2, 4D. 1 , 1, 6【分析

15、】利用分层抽样的性质结合频率分布直方图能求出第2, 3, 4组抽取的人数.解：采用分层抽样的方法，从第 2, 3, 4组中按分层抽样抽取8人,则第2抽取的人数为:8X0,5+0.i5+0.3 =2 人,第3组抽取的人数为:8%.5+0.15+0.3 =2 人,第4组抽取的人数为:8X0.30.15+0.15+0.3故选：C.b>0）的一条渐近线被圆（x-2） 2+y2=4所截得的,一一.， 一 ？3?/6若双曲线 C： 72- ?2 = 1（a>°弦长为2V?则C的离心率为（A. 2B. V?C.D.”3【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲

16、线的离心率即可.?解：双曲线 C: ? ? =1 （a>0, b>0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0,圆（x-2） 2+=4的圆心（2, 0）,半径为:2,双曲线C:?2-?2= 1（a>0, b>0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2,可得圆心到直线的距离为:V?- ("?=|2?| ,力吊+?24?W-4? 2解得：=1, e> 1,即e=T37.已知函数y=f（x-2）的图象关于直线x = 2对称，在xe （0,+8）时，f（x）单调递增.若a = f （4ln3） , b=f （2一e） , ?= ?（?（其中e为自然对数

17、的底数，兀为圆周率）则a, b, c的大小关系为（A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. c>b> a【分析】根据题意，分析可得函数f (x)的图象关于y轴对称，由偶函数的性质可得c=f (ln1) =f (In / ,由对数的性质可得 4ln3>41 = 4> ln兀> lne = 1 >2 e> 0,结合函数 的单调性分析可得答案.解：根据题意，函数 y=f (x-2)的图象关于直线 x=2对称，则函数f(x)的图象关于y轴对称，1即函数f (x)为偶函数，满足 f ( - x) = f (x),则

18、c= f (ln) = f (In兀) ?41n3> 41= 4> in 兀>lne = 1 > 2 e> 0又由xC (0, +8)时，f (x)单调递增，则有a>c>b；8 .关于函数?(?= ?命题:f (x)的最小正周期为兀;函数f (x)的图象关于x= 3对称_.一、2?.、，一.一f (x)在区间-2，-6上单调递增;y = 2sin2x的图象5?.将函数f (x)的图象向左平移 一个单位长度后所得到的图象与函数12重合.其中正确的命题是(A.B.C.D.【分析】根据三角函数辅助角公式化简f(x)求出函数的周期，求出对称轴方程,由x的范围以

19、及正弦函数图象判断单调性,将函数f (x)平移之后与函数 y= 2sin2x作对比.解：函数 f (x) = cos2x 2v?sinxcosx= cos2x- v?sin2x= 2sin (2x- ?, '6对于f (x)的最小正周期为 T= 2?=兀，正确;对于令2x- 6?=皿2?解得xx号嗅“)，则当J。时，对称轴为? x=-, 3，正确;2? 一 ?_3? 一对于当XC-学，- 6时，2x- 6q- 3p - R,则f (x)单调递增，正确;对于函数f (x)的图象向左平移5?3个单位长度后得到v= 2 2sin2 (x+管-?=2sin(2x+等,不与函数y=2sin2x重

20、合，错误;综上，正确的命题为.9 .在等腰梯形中，AB / CD, AB = 2, AD = 1, / DAB = ?点F是线段AB上的一点，M3为直线BC 上的动点，若 ？3? ?= ?祖？= - 1,贝U? ?加最大值为()A.B.6364C. - 1D.2364【分析】以A为原点，AB和垂直AB的线分别为x和y轴建立平面直角坐标系，结合已知条件可依次写出点的坐标A (0, 0) , B (2, 0) , C (2)，D (1 W) , E2 '22 '2(4 ,红3), F (2入，0),通过？?？?2- 1可求得？?=1,于是得F(1,?)再由点33 42B和C的坐标写

21、出直线 BC的方程，从而可设点 M的坐标为(？ - v?(? ?，最后一一. . 一. - . .一 .->-> 一 . . 一. .一一 一 . . . . 利用平面向量数量积的坐标运算将? ?渍不成关于x的函数，米用配方法即可得最大值.解：以A为原点，AB和垂直AB的线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系,以，2贝U A (0, 0) , B (2, 0) , C (32f f4.？： 3?E (一 ,3, ? ? F (2 入,4又？?= -1， .(3，2V33-) ?(? 2，v3- T) =_?,解得？?=F0,?) B (2, 0) , C (3 大)，.直线

22、BC2 '2的方程为?=(?- ?)=-3?(?？ ？?).M为直线BC上的动点，不妨设点M的坐标为(? - /?(? ?,? ?= (1 - ? /?(? ?)?(?- 1, ,/ /-V?(? ?)-:=-(? - 1)?- ?(? ?)(? 3) 22'=-?+ 23? 37= -?(?- 23)?63 64'.当？?= 26时，？?？ ？?看最小值,为-64二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上)z的虚部是 一110 .若复数z满足：z (1 + i) =|1+v?|,则复数【分析】先求等式右边的模，再把等式变形，然后

23、利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解：由 z (1 + i) =|1 + v?H= v?+ (S?产=?得z=2 _1+?=2(1-?)_ ?(1+?)(1-?) = ? r，复数z的虚部是-1 .故答案为：-1.11,二项式(?？/?+ ?中，则其展开式中x的系数是 405 .【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x的哥指数等于1,求出r的值，即可求得展 开式中x的系数.解：二项式(?v?+ ?中，则其展开式的通项公式为Tr+1= ?:? 35？祥，r=0, 1,“ 5-3?“令2 = 1,求得r=1,可得展开式中x的系数为5X 34=405,故答案为：405.C ?.12 .抛物线C：

24、 y2=2px (p>0)的焦点F,其准线过(-2, 2),过焦点F倾斜角为一的直332线交抛物线于 A, B两点，则p=4 ；弦AB的长为 一一 3【分析】根据准线过点(- 2, 2),可得？?=2,进而解得p,联立直线与抛物线方程,2利用根与系数关系，弦长公式即可求得弦AB的值.?c解：由条件可得傕线万程为 -=2,则p= 4,则抛物线方程为 y2=8x所以F (2, 0),直线方程为y= v?(x-2),代入抛物线方程可得3x2-20x+12=0,20.贝U有 xa+xb= , xaxb = 4, 3所以 AB= V?+ (v?。，(20)?- ?x ?=2x16= 32,故答案为

25、：4, 32313 .为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，坚决防范疫情向校园蔓延，切实保障广大师生身体健康和生命的安全，教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度,从经济不发达的 A城市和经济发达的 B城市分别随机调查了 20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图:若评分不低于80分，则认为该用户对此授课方式“认可”，否则认为该用户对此授课方式“不认可”.以该样本中 A, B城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A,B城市用户对此授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中

26、分别随机抽取2个用户，用X表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则P (X=3)=1-用Y表木这从A城市随机抽取28 一个用户中对此授课方式“认可”的用户个数，则1Y的数学期望为 一一2 一【分析】根据认可频数计算认可概率，再根据相互独立事件和二项分布的概率公式计算51-一 ,204P (X=3)和 E (Y).解：从城市A中随机抽取1个用户，则该用户对网络授课认可的概率为 . 一、 一 、一、 10从城市B中随机抽取1个用户，则该用户对网络授课认可的概率为一20设选出A城市的2个用户中对授课方式满意的人数为a,选出B城市的2个用户中对授课方式满意白勺人数为 b4?】？?令?则 aB

27、 (2, ：) , bB (2,；),.P (X=3) =P (a=1) ? P (b=2) +P (a=2) P (b=l) = ?)?(1) 2? ?？L= 1,42 2811E (Y) = E (a) = 2?4=故答案为:14.若存在ace (0, +8),使得不等式?' +产?2?+?V 3 ? +2?成立，则实数m的取值范围是一 1(- H - ?)U(2, + 8【分析】根据？?+(1 ?>?(2?)?+ ?> ?可得？吊+ 5?吊+?日/成立，从而求解 ?+?3-?+ ?">?可得 m的氾围2解：由?+ 2?+ ?= ?+ (2?+ ?+ (

28、1 ?根据根据？?+(2? ?当且仅当2a=b时取等号;(1 ?+ ?> ?当且仅当2c= b时取等号;?厘+1?名+?22力成立,?+?+? ?w ?15.已知函数？?(?= 一二，若函数g (x) =f (x) - k|x+2|有三个零点,-?+ ?-? ? ?> ?则实数k的取值范围是?吊(0, 7-4y? U ( 1 , _【分析】分离参数可得k=h (x) = -?(?)判断h (x)的单调性，计算极值，作出h (x) 1 一 2|的函数图象，根据直线丫=卜与丫= h (x)有3个交点得出k的范围.解：当x= - 2时，g(x) = e 1 丰 0,(x)(x) = 0可

29、得:(x)= 2M?)=()|?+2| =xv 2 时，h'>0,?(?) k |?+2|，?+1-?-2?+1 ?+2,-?七？?w ?则 h' (x)=-?2+3?-2?> ?+2，”一(x)>0,当2vxv 1 时，h' (x)当 1 vxv 2v?2 2 时，h'(x) >0,当 x>2b? 2 时，h' -y= h (x)在(8,2)上单调递增，在(-2, - 1)?+1(-?-1)2- (-?-2) 2?+1(?+1)(?+2)-?2-4?+8(?+2)2<0,当-(x) V 0,?之-?箕？?w ?>

30、; ? , 1<x<1 时，h'上单调递减，在(-1,1)+ OO)上单调递减,上单调递增，在(1, 2v?2 2)上单调递增，在(2V?- 2,当x= - 1时，y= h (x)取得极小值 h ( - 1) = 1,当x= 2衣？ 2时，y= h (x)取得极大值 h (2?. 2) =7-4*?又当 xv 2 时，h (x) = ?； >0,当 x>1 时，令 h (x) = 0 可得 x= 1 (舍)或 x =2.做出y=h (x)的大致函数图象如图所示:,函数g (x) = f (x) - k|x+2|有三个零点，直线 y=k与y=h (x)的图象有三个

31、交与八、51- 0 v kv 7 - 4精减 1 v k< ”. 3,.,一、,一？3故答案为：(0, 7-4v? U (1,.三、解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16. ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知 ABC的面积为v?觉?b- c1=2, cos A= - 4.(I )求a和sinC的值；(n )求 cos (2C+ ?的值 3【分析】(I)根据 ABC的面积公式和余弦定理，即可求得a的值，再利用正弦定理求出sinC的值；(n)根据同角的三角函数关系和三角恒等变换，计算即可.解：(I ) ABC 中，面积

32、为 Sa abc= 2bcsinA= v?又cos A= - 1, A为钝角, 4所以 sinA= , ?-? v?-(- 1)?=苧;所以bc= 8;所以b= 4, c= 2;所以所以a= 2 v?由正弦定理得?所以 sinC= ?<2y = E; ?2 V68(n)由题意知，C为锐角,所以COSC=，？-? v?2 10 =643,6.T，所以?.cos (2C+ 3) = cos2Ccos- - sin2Csin-(1-2sin2C) - ><2sinCcosC1, 八 10、v3vio3V6=2 x(/2X才 - Y x2x T x_8-17.如图，平面 EFBA，平

33、面ABCD , EFBA为矩形，ABCD为等腰梯形，AB / CD, M ,N 分别为 FC, AC 中点，/ ADC = 45° , DC=3AB = 3, AE=2.(I )证明：MN /平面 EFBA ;(n )求二面角 F - AC - D的正弦值;a2=b2+c22bccosA=16+4-2X4X2X (- 1) =24;4(出)线段ED上是否存在点P,使得PN，面MAC,若存在求出EP的长，若不存在, 说明理由.【分析】(I)连接AF ,推导出MN / AF ,由此能证明 MN /平面EFBA .(II)过点A做AH XCD,垂足为H ,以A为坐标原点，分别以AH , A

34、B , AE为x,v, z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F - AC - D的正弦值. . 、一 . .(III )假设存在这小¥一个点 P,设P (x, y, z) , ?= ?泮出P ( % -入，2- 2入)，?= (1- ? 1+A 2 入-2),平面 MAC 的法向量？?= (-4, 2, T),由 PNL平面 2MAC ,推导出不存在点 P,使得PNL面MAC .解：(I)证明：连接 AF , M , N 为 FC , AC 中点/. MN / AF ,. MN?平面 EFBA , AF?平面 EFBA ,. MN / 平面 EFBA .(n)解：过点 A做

35、AHLCD,垂足为 H以A为坐标原点，分别以 AH, AB, AE为x, y, z轴建立空间直角坐标系，A (0, 0,0), C (1, 2,0), F (0,1, 2), D (1, 1, 0),?= (1,2,0) , ?=(0,1 , 2),设平面FAC的一个方向量为？?= (x, y, z),?= ?+ ?= ?则;二?，令 y=2,得？?= (- 4, 2, - 1),?= ?+ ? ?平面ACD的一个方向量为 ？=（? ? ?） f ?-1. ?>? ?> = 二2V10521y, z),|? ?|?|?21?, ?> = v?- ?泣?> = v21，二

36、面角F - AC - D的正弦值为210521（III ）解：假设存在这样一个点 P,设P（X,设？? ? ?即（x，y，Z-2）=入（1, - 1x = Z, y= - X, z= 2 - 2 Z, P (入，- 2-2 入),?= (1- ? 1+入，2 入-2),平面 MAC 的法向量？?= (-4, 2, - 1), 2 ,一一 _ 7>. PN,平面 MAC ,，？1c. .2? = 1+? = 2?-2 , .,.?= - 5且？?= 3,即不存在这样的入，-4 - 2 - -125故不存在点 P,使得PNL面MAC .18.已知椭圆？ ?-+ ?2= ?（?>?的左、

37、右焦点F1, F2,离心率为L点M是椭圆上?2的动点， MF 1F 2的最大面积是V?(I )求椭圆C的方程；(n)圆E经过椭圆的左右焦点，且与椭圆C在第一象限的交点为 A,且Fl, E, A三 ， 、，_._. _ 、 一 . - . _ 一 点共线，直线l父椭圆C于两点P, Q,且？?= ?(?w ?)求直线OA的斜率；(ii)当4APQ的面积取到最大值时，求直线 l的方程.【分析】(I)由椭圆的离心率及三角形的周长可得a, c的值，再由a, b, c之间的关系可得b的值，进而求出椭圆的方程；(n) ( i)由题意可得圆E的圆心在y轴上，设E的坐标，由Fi, E, A三点共线可得A的坐标，

38、进而求出直线 OA的斜率；(ii)因为？?？?所以直线PQ的斜率也为3,设直线PQ的方程，与椭圆联立求出 两根之和及两根之积，进而求出弦长|PQ|的值，再求A到弦PQ的距离求出三角形 APQ的面积，由二次函数的单调性求出面积的最大值或者有均值不等式求出面积的最大值.解：(I )由题意 e= ?= g, a= 2c, b= 3?1 MF 1F2 的最大面积为：一? 2c? b=c? V? V?所以 c=1,2一， ，、一？椎 ？椎所以椭圆的方程为： 1+?=1；(n)(i)因为圆E经过椭圆的左右焦点，所以圆心E在y轴上，设点E (0, y。)，因为圆E与椭圆C在第一象限的交点为 A,所以yo&g

39、t;0,因为Fi, E, A三点共线，所以 A (1, 2y。)，将点A的坐标代入椭圆的方程可得?即八口，；)，所以直线OA的斜率为3,2(ii)因为？?所以直线PQ的斜率也为-,设直线 pQ 的方程为：y= 2x+m,设 P (xi, yi) , Q (X2, y2),? _联立直线PQ与椭圆的方程7+9一 .整理可得3x2+3mx+m2-3=0, ?= 3?+ ?2 = 9m2- 12 (m2- 3) =3(12- m2) >0,0V m2< 12 , ?+ ?= -?= ?-3 ,3.,一3f V3Q 2|PQ|= V? ?V (?+ ?)?- ?T?= "6-，？

40、?点一，3)至附线pQ：k19的距离d=w,法一:所以 SaAPQ= 1? |PQ|? d= '?，-?+ ?= ,，-(?- ?+ ?当m2= 6,及m= ±v?寸面积S最大,所以面积最大时直线 PQ的方程为：y= |x ±6?法二：S=1?|PQ|?d=亘？|m|，-?+?/?(?2+(-?2+12) 2=6v?2662当且仅当|m|=，-?+ ?即m=± v?寸等号成立；所以当m2=6,即m= ±7?寸 APQ的面积最大，此时直线 l的方程为：y= 2x± 6?19.等比数列an的各项均为正数，2a5, a4, 4a6成等差数列，

41、且满足a4=4a32,数列bn的前n项和Sn= (?+J? n 6一、选择题*,且b= 1(I)求数列an和bn的通项公式;山设 “ ?% ?，求证：迎?/ 1；(出)设 Rn= a1b1+a2b2+anbn, Tn= a1b1 a2b2+ ( 1) n 1anbn, n CN*,求 R2n+3T2n【分析】（I）设等比数列an的公比为q,由题设条件列出 q的方程，再结合 a4 = 4a32求出公比与首项，写出数列an的通项公式.禾I用？?= ?- ?-? =(?+1)? ?-1 整理得奈言（?»?）得出数列?是各项均为之=?勺常数列，从而求出bn；（II）由得寸？?磊紊？?=1?Z

42、1(2?+1)?2 ? 11?"小。？?利用裂项相消法求出 汇?（2?+3）?2?=?证明结论;（III ）先利用错位相减法分别求出Rn、T n ,再求R2n+3 T2n 1.解：（I）解：设等比数列an的公比为q,依题意，有2a4=2a5+4a6,所以a4=a ?+ ?解?？ 因为 an>0,所以 4>0,且242+4- 1 = 0,解得？?= 2或 q=- 1（舍），因为？?= ?= ?铲?, 所以？?= 1所以?= 1 ?4?2所以数列an的通项公式为？?= （2）?1?6?）.当 n)2 时，？?= ?- ?=(?+1)?-1整理得 2(n T)bn = nbn

43、1 ,即*?.1万了 （? > ?所以数列"?是各项均为j =?的常数列.?0?所以一,=?即bn= n所以数列bn的通项公式为 bn=n；(II )证明：由(I)得 Cn= J2?：5? =?2?+1?2?+32?+5(2?+1)(2?+3)芍?=2(2?+12?+3)?2?1一 ？-1 - (2?+1)?21 Z?(2?+3)?2 ?所以汇?=?=（击+ ? +点?-1 (2?+1)?2? 1(2?+3)?21 _ - ?= 31_(2?+)?2?-1 - (2?+3)?2?一?< g； (2?+3)?2 ?3(III )解：Rn=1?(2)?+?(2) ?+ ? +

44、 ?(1)?Z?D.？?= (-) 2+2? (-) 3+.2?22+n?(5)n+1 ，-可得111 ?1 ?2?廿2+(2)+(2) +(2)?- ?1)11 ?+?+?_ 2-( 2)-1-12?+?_一 一 一1 ?+?- (?+ ?)0, ?= ? (?+ ?)g)?,，?= ?(? ?)(4)?.又？?=(-?)(- 2)+ (-?)(-1)?+ ? + (-?)(-2)?卷，-1?= (-?)(-1)?+ (-?)(- 1)?+ ? + (-? + ?)(- 2)?+ (-?)(-!?+?©，由-可得：-?= - - (- -)?- (- -)? 2?2221 ?+?1

45、21 ?+?(- 2)= 3 + (?+ 3)(- 2)1 /1、？?+1(- 1)?+ (?)(- ；)?+?=；- 42221+2 ?= 9 + 3(?+ 3)(- 2)?+?-?= 3+?(?；)( 4)?，？?)?+ ?-?= 3+ 答点?-?1120.(16 分)已知函数f (x) = x-2sin x+mlnx+1 , g(x)= f(x)+2sinx.(I)求函数g (x)的单调区间和极值;(n)当x>1时，若不等式g (x) - x - ex-1 w 0恒成立，求实数 m的取值范围;(山)若存在x1x2C(0,+8) 且当xwx2时，f(x1)=f(x2),证明： 2 <?4?2【分析】(I)先求得 g (x) = x+mlnx+1, x>0,再