相似三角形的性质与判定讲义

1、相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】 一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一有 (2)对称性：若，则 (3)传递性：若，且，则三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1

2、：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角

3、三角形与原三角形相似直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 RtABC中，BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。【例题精讲】： 1、如图DE/BC，AB=5，AC=10，DB=AE，求AE的长。2、已知，如图，在ABC中，G为重心，GE/AB，求的值。3、如图，已知四边形是平行四边形，求的长4、如图ABC中，DE/BC，BE平分ABC，若BC=6cm，AD=3cm，

4、求DE的长。5、如图已知C=900，EDAB，BD=4，BE=5，BC=8，求AC的长。【拓展延伸】： 1、如图，正方形EFGH内接ABC，E、H分别在AB、AC上，F、G在BC上，ADBC交EH于点P，BC=10，AD=6，求正方形EFGH的周长。2、如图，AOB=900，O、B、C、D在同一直线且OB=OA=BC=CD找一下图中有否相似三角形？如有，请加以证明，如没有要说明理由。3、如图，DA/EF/BC，BE=3EA，SADE=1cm2，求（1）SABC；（2）SAEF【知识点类型练习】：一、求线段的长1、如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=10，把此矩形叠，使B点落在AD边上的中点

5、E处，求折痕FG的长。 2、如图，ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE，连结ED并延长交AB于F，交AH于H。 （1）求证：AHCE（2）如果AB=4AF，EH8，求DF的长。3、已知：如图，在ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E， EC与AD相交于点F。（1）求证：ABCFCD；（2）若SFCD=5，BC10，求DE的长。二、测物体的高度：1在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为米的测竿的影长为米，那么影长为30米的旗杆的高是( )20米 18米 16米 15米2(05北京)如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测

6、得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为( )米 米 2米 1.5米3如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是米，要使球恰好能打过网，而且落在里网4米的位置，则球拍击球的高度为_米4(05福建)如图，某学习小组选一名身高为的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长为，另一部分同学测量同一时刻旗杆影长为，那么旗杆的高度是_5小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离当她与镜子的距离时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端

7、已知她的眼睛距地面高度请你帮助小玲计算出教学大楼的高度是多少米(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角) 【课堂练习】：1、如图1,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.2.如图2,ADEFBC,则图的相似三角形共有_对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=3 ,则BM=_.4.ABC的三边长为,2,A'B'C'的两边为1和,若ABCA'B'C',则A'B'C'的笫三边长为_.5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长_.6

8、.如图4,RtABC中,C=900,D为AB的中点,DEAB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_.7.如图5,RtABC中,ACB=900,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_. 8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD中,ADBC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,ADDB=23,则SADESABE=_. 12.如图10,正方形ABCD

9、内接于等腰PQR,P=900,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,DEFGBC,ADDFFB=123,则S四边形DFGES四边形FBCG=_.14.如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,SADE=1,则S四边形BCDE=_.15.已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEFACB.16已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD. 17.已知，如图，在ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F（1）求证：ABCFCD；（2）若SFCD=5，BC=10，求DE的长。【课外练习】1.如图，在ABC中，CD平分ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC=m，AC=n，则DM=（ ）A、 B、 C、 D、 ABCDEF2.如图，在ABCD中，E是BC的中点，且AEC=DCE，下列结论不正确的是( )A、BF=DF B、SFAD=2SFBE C、四边形AECD是等腰梯形 D、AEB=ADC ABFECD3已知，延长BC到D，使取的中点，连结交于点（1）求的值；（2）若，求的长 74、如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段P