存在与唯性定理证明

1、Picard存在与唯一性定理的证明定义：设函数f(x, y)在闭区域D上有定义，如果存在常数 L 0，使对任何(x,yj,(x,y2) D均满足不等式f (x,yj -f(x, y2)_L %_丫2 ,则称f (x, y)在D上关于y满足Lipschitz条件，称L为Lipschitz 常数Picard定理：设f (x,y)在闭矩形域D : x 乞a, y-y° mb上连续，且关于y满足Lipschitz条件，则初值问题= f(x,y)y(xOh = min( a, ), MM“axf(x,y)在区间| - lx0 -h,xo亠h I上有且只有一个解，其中证明：整个证明过程分成如下五

2、个部分xI，首先证明求初值的解等价于求积分方程y =y° + f f(X, y)dX,X毛I 的连续解事实上，若y=F(x)(xI)是初值问题的解，则有dx ' (x, (x),x ICp(xc)=y。由此，f(x, (x)在I上连续，从而可积，于是对恒等式d( (x)三f(x, “x),xI积分并利用初始条件, dxx得到申(x) =y0 + f (x,毋(x)dx,I即，y=®(x)(xI)是积分方程的解x0x反之，设y=®(x)(x|)是方程的连续解，即有恒等式申(x) =y° +f (x,®(x)dx,x W Ix0x因为f(x

3、,叭X)在I上连续，故 致X) =y0 + Jf (x,致x)dx,x I右端是积分上限x|的可微函数，从而x0(X)在I可微X于是将(x) =y f (X,(x)dx,xI两边对x求导，得恒等式X0d(X)三 f (x, (x),x I，并令 X =x°得 y(x°) =y°，因此dxy =(x)(x三I)是初值问题的解因此，我们只需证明积分方程存在唯一定义在区间I - h -h,Xj亠h J上的连续解。我们采用Picard的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造岀一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程的唯一解用逐次迭代法在区间I上构造逐次

4、近似的连续函数序列y 1(X)=yof(x,yn(x)dx彳x0,xul Iy°(x) =y。当n =0时，注意到f (x,y0(x)是I上的连续函数，所以由知xyi(x) =yo亠| f (x, yo(x),( x三I)在I上是连续可微的，而且满足不等式xoyi(x)y° W jf(x, yo(x)dx <M x冷于是在区间I上 (x) -yo -Mh _bx0因此，f(x, yi(x)在I上是连续的，所以由式知xy2(x)二yo 亠 i f (x, yi (x),( x 三 I)在区间 I 上是连续可微的而且满x0y2(x)y。片 J|f(x,y(x)dx 兰M于

5、是在区间I上 y2 (x) - yo _ Mh _ bxo以此类推，应用数学归纳法易证:而且满足不等由式给出的所谓Picard序列:yn(xp是区间I上的连续函数序列，yn(x)-y° -M xXo _Mh _b, n =o,1，.山，证明Picard序列！yn(x) f在区间I上一致收敛考虑级数y°+y (x) y° 】+ +yn(x) yn丄(x) +. 它的部 分和为nyo、yk(x) -yk 4(x) I - yn(x)，于是，要证明序列：yn(x)f在区间I上一致收敛，只需证明级数在Ik壬上一致收敛。为此我们归纳证明不等式：yn t(x) - yn(x)

6、乞MLn xx。=o,1,.)在I上成立事实上，当n = o时由(n +1)!xy1 ( x)- y兰f( x oy( x ) dx M o知式成立，假设当n = k时式成立，即有xoI _ lk+yk i(x) yk(x)空MLk2x°y (k =o,1,.)在 I 上成立x则由式知 yk 七(x) -yk+(x)| = / f (x, yk+(x) -f (x, yk(x)dx 根据 Lipschitz 条件和归纳假设得yy(x) yk+(x)| 兰 JL yy(x) yk(x) dxxo<MLk 1k 1dxxo (k -1)-x -xoX -Xo k 2"(k

7、 2)即当n =k -1时式也成立，因此有数学归纳法知式得证因当x三I时,x-人 _h，故由式知 yni(x)yn(x) _MLnhn 1(n -1)'(n = 0,1,)因正项级数MLn丄 收敛，故由函数项级数一致收敛的Weierstrass (魏尔斯特拉斯)判别法知级数託(n +1)!在区间|上一致收敛从而 Picard序列ly.Cx)?在区间I上一致收敛设其极限函数为'(x)，即当x.= l时一致的有lim yn(x) = (x)则y =，(x)在I上是连续的且由yn (x)y0 _b推知:(x)y0 _b, xlW，证明y = (x),(xl)是积分方程的解x在式两端令

8、 nr，得到：(x) =y0亠im_ f(s,yn(s)ds比)因此问题归结为证明xim_ f (s, yn(s)dsx二 f (s, ;:(s)dsx0因Picard序列 仏(幻在I上一致收敛，则任给 ；0,存在自然数 N =N()，当n _N时，对I中所有x有加”石故当x三I时，由Lipschitz条件知xxJf(s, yn(s)ds- J f (x/p(x)dsX0xx兰f(s, yn(s) f (s,®(x) dsX0x兰 JL yn(s) -s) dsX0XJL -dsx -X0h =；hhXX因此式 lim . f (s, yn (s)ds = f (s, :(s) ds

9、 成立 因而当x I时有申(x)三y° + f f (s®(s)ds ,所以y =W(x),( x I)是积分方程的一个连续解xoV,证明积分方程的连续解的唯一性x设y =屮&)也是方程的定义在区间|上的连续解，则屮(x) =y0 + f (x,屮(x) dx,x壬I于是与步骤山类X0hn +似，可归纳证明得 yn(x) _'-：(x)岂MLn 一 (n = 0,1,.)在I上成立一 (n +1)!从而Picard序列:yn(x) ?在区间I上也一致收敛与'-'(x)，因此我们推出(x)出'(x), xf I所以，积分方程的连续解是唯

10、一的。至此，定理得证。【注】定理中数h =m in a, b的几何意义M因为在闭矩形域 D上有f(x,y)乞M，所以方程= f(x,y)的积分曲线上任一点的切线斜率介于_Mdx与 M 之间。过点p(x。, y。)分别引斜率为 -M 与 M 的直线 EC和BC1 :y =y° M (x _x。)，y =y° M(x x。)，当M _b时，如图所示；当 M 丄时，如图所示aa显然方程 3二f(x,y)过点p(Xo,y。)的积分曲线y二(x)(如果存在的话)不可能进入图或所示的两dx个阴影区域内。若 M_b(即a )由图可见解 y= (x)在整个区间lx-a,xa 上有定义；若aM'M -b (即a )由可见，不能保证解y =F(x)在la-a,x a 1上有定义。它可能在aMx =(冷：:x : x。- a)或 x xJx。_a : x : x0)外到达 D 的上边界 y 二 y0 b 或下边界 y =y0 b，于是，当x xi或X：X2时，y二(x