函数与导数专题练习

1、 专题一：函数与导数一主要数学思想：分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，等等。构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质（如最值）来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等手段构建成某一整块的函数，如。函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。二主要解题思路：定义域求导导数的正负？列表判断三主要题型再现：（一）选择、填空：1若集合，则下列对应中，不是从P到Q的映射是( )A B C D2对任意的函数，在公共定义域内，规定，若，则的最大值

2、为 。3函数的定义域为且,已知为奇函数，当时，,那么当时的递减区间是( )A.B. C. D.4如果一个函数满足：（1）定义域为；（2）任意，若，则；（3）任意，若，则，则可以是（ ）AB C D5已知是上的奇函数，当时，那么的值是（ ）A B CD 6对于函数作代换，则不改变函数的值域的代换是( )A B C D 7已知映射其中，对应法则对于实数，在集合A中不存在原象，则的取值范围是（ ）A B C D以上都不对8函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）A B C2 D4 9设函数为奇函数，则A B1 C D510已知是周期为的周期函数，那么是（ ）A周期为的周期函数 B周期为的周期函

3、数C周期为的周期函数 D不是周期函数11.设函数是上以3为周期的奇函数，若，则（ ）A B且 C且 D12设函数在上单调递增，则与的大小关系是A. B. C. D不能确定13若在内内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B C D14已知函数满足：，则 。15若函数是增函数，则的取值范围是（ ）A B C D （二）综合大题： 1（分式函数型）已知函数（）当时求函数的最小值；（）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。2（三次函数型）（14分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.3（对数函数+一次函数型

4、）（本小题满分14分）设函数 （）求函数的极值点； （）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围； （）证明：.4（14分）已知（）（）讨论的单调性；（）证明：（，其中无理数）5设,函数.(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2) 若无零点,求实数的取值范围；(3) 若有两个相异零点,求证: .6（对数+二次函数型）(本题满分14分) 设函数，其中为常数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。7（14分）已知函数，（）求证：；（）若恒成立，求实数的值；（）设（）有两个极值点、 （），求实数的取值范围，并证明：8（对数+分式型）（本题满分14分）已知函数（1）若

5、函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值9已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值。10（对数+对勾型）（本题14分）已知函数R, . (1) 求函数的单调区间； (2) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.11（乘积型）（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.12（三次函数+对数函数型）设命题：函数在区间上单调递减；命题：函数的值域是如果命题为

6、真命题，为假命题，求的取值范围13已知函数，直线与的图象相切（1）求实数a的值；（2）若方程上有且仅有两个解；求实数b的取值范围； 比较的大小14（抽象函数型）（14分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有。（1）解不等式；（2）若对所有、恒成立。求实数的取值范围。参答（一）（二）综合大题： 1（分式型）已知函数（）当时求函数的最小值；（）若对任意恒成立，试求实数的取值范围。解：（）当a=时,f(x)=x+,x1,+) f(x)在1,+)上单调递增, 当x=1时f(x)的最小值为. （）当任意x1,+)时，函数f(x)=0恒成立不等式x2+2x+a0对 x1,+)恒成立。 由x2+2x+

7、a0，得 ax22x，令g(x)= x22x=(x+1)2+1 ，则g(x)在 1,+)上递减，当x=1是g(x)最大=3，因此 ，a3 2（三次型）（14分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：；对一切实数，不等式恒成立.（）求函数的表达式；（）求证：.（）解：由已知得：. 1分由为偶函数，得为偶函数， 显然有. 2分 又，所以，即.3分 又因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立. 4分 显然，当时，不符合题意. 5分 当时，应满足 注意到 ，解得. 7分 所以. 8分（）证明：因为，所以.9分要证不等式成立,即证. 10分因为, 12分 所以.所

8、以成立. 14分3（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数 （）求函数的极值点； （）当p0时，若对任意的x0，恒有，求p的取值范围； （）证明：.解：（1）， 2分当 上无极值点 3分当p>0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0极大值从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点 7分（）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需， p的取值范围为1，+ 10分（）令p=1，由（）知， 11分 12分 结论成立 14分（含参单调性讨论）14分）已知（）（）讨论的单调性；（）证明：（，其中无理数）21、【解】（）当时，由得在单调递增，在单调递减

9、。当且的判别式，即时，对恒成立。在上单调递减。当时，由得：解得： 由可得：或在上单调递增，在上单调递减。综上所述：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减。（）由（）当时，在上单调递减。当时，即设,函数.(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2) 若无零点,求实数的取值范围；(3) 若有两个相异零点,求证: .20（本题满分14分）解：方法一在区间上,. 1分（1）当时，则切线方程为，即 3分（2）若,则,是区间上的增函数, ,函数在区间有唯一零点. 6分若,有唯一零点. 7分若,令得: .在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间

10、上, 的极大值为.由即,解得:.故所求实数a的取值范围是. 9分方法二、函数无零点方程即在上无实数解 4分令，则由即得： 6分在区间上, ,函数是增函数;在区间上, ,函数是减函数;故在区间上, 的极大值为. 7分注意到时，；时；时，故方程在上无实数解.即所求实数a的取值范围是. 9分注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.(3) 设,原不等式令,则,于是. 12分设函数,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立. 14分4（对数+二次函数型）(本题满分14分) 设函数，其中为常数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。解：（1）

11、当时，函数，此时有惟一极小值点， 3分则当时，所以在上为减函数，当时，所以在上为增函数。 5分（2）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，且时，所以在上为减函数。因为当时，所以恒有，8分即恒有。所以当时恒有成立。 10分令函数，则，所以当时，又在处连续，所以时为增函数。 12分因为当时，所以，即，所以，综上可知，当时不等式都成立 14分。（本小题满分14分）(理)设函数，其中()当判断在上的单调性()讨论 的极值点解：(理)由题设函数定义域是，1分函数分()当时，式的的，又分在上的单调递增 分()(1) 当时，由()知，在上的单调递增，故无极值点分(2) 当时，由解得，此时当或时，当时，分 当时

12、，时，在上单减，在上单增，为极小值点，无极大值点分 当时，当或时，时，在上单减，在和上单增，为极大值点，为极小值点分综上，时，为极小值点，无极大值点；时，为极大值点，为极小值点；时，无极值点分5（对数+分式型）（本题满分14分）已知函数（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值（本题满分14分）解：（1），在上是增函数，0在上恒成立，即在上恒成立令，则在上是增函数，1所以实数的取值范围为（2）由（1）得，若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数所以，解得（舍去）若，令，得当时，所以在上是减函数，当时，所以在上是增函数所以，解得（舍去）若，则，即在上恒成立

13、，此时在上是减函数所以，所以综上所述，已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3求实数的值；若，且对任意恒成立，求的最大值。21.（1）解：因为，所以因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以（2）解：由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立令， 则，令，则，所以函数在上单调递增因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以故整数的最大值是36（14分）已知函数，（）求证：；（）若恒成立，求实数的值；（）设（）有两个极值点、 （），求实数的取值范围，并证明：（14分）解：（）G(x) , 在上递减，在上递增 3分（） 所以

14、的必要条件是，得5分当时，由(1)知恒成立。 所以 6分（），有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根 得 9分（方法1）由得， （） 设，得，所以 14分（方法2）由得，又所以得所以所以 w w14分7（对数+对勾型）（本小题满分14分） 已知函数R, . (1) 求函数的单调区间； (2) 若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.(1)解: 函数的定义域为. . 当, 即时, 得,则. 函数在上单调递增. 2分 当, 即时, 令 得,解得. () 若, 则. , ,函数在上单调递增. 4分 ()若,则时, ; 时, ,函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增.综上所述,

15、 当时, 函数的单调递增区间为; 6分当时, 的减区间为, 增区间为. 8分(2) 解: 由, 得, 化为.令, 则.令, 得.当时, ; 当时, .函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.当时, 函数取得最大值, 其值为. 10分而函数,当时, 函数取得最小值, 其值为. 12分 当, 即时, 方程只有一个根. 14分(本题满分14分) 设函数，其中为常数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：对任意不小于的正整数，不等式都成立。解：（1）当时，函数，此时有惟一极小值点， 3分则当时，所以在上为减函数，当时，所以在上为增函数。 5分（2）由（1）知时，函数，有惟一极小值点，且时，所以在

16、上为减函数。因为当时，所以恒有，8分即恒有。所以当时恒有成立。 10分令函数，则，所以当时，又在处连续，所以时为增函数。 12分因为当时，所以，即，所以，综上可知，当时不等式都成立 14分。（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.（本小题满分14分）解：（1）依题意有1分；3分故实数4分（2）， 的定义域为；5分 6分8分增函数减函数10分（3）由(2)知11分对一切恒成立13分故实数的取值范围.14分8（本小题满分14分）已知函数，在点处的切线方程是

17、（e为自然对数的底）。（1）求实数的值及的解析式；（2）若是正数，设，求的最小值；（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.（本小题满分14分）解：（1）依题意有1分；3分故实数4分（2）， 的定义域为；5分 6分8分增函数减函数10分（3）由(2)知11分对一切恒成立13分故实数的取值范围.14分（三次函数+对数函数）设命题：函数在区间上单调递减；命题：函数的值域是如果命题为真命题，为假命题，求的取值范围16、解： 由题意P和q有且只有一个是真命题综上所述：（三次函数+对数函数）已知函数，直线与的图象相切（1）求实数a的值；（2）若方程上有且仅有两个解；求实数b的取值范围； 比较的大小20、解：（1）设切点， （2）令 则有 已知，上递增.依题意有： 解得依题意有 （抽象函数）（14分）已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有。（