专题圆锥曲线定值问题

1、高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题概念与用法圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值.具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值.基本解题数学思想与方法在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关.2、把

2、相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关.题型示例一.证明某一代数式为定值：1、如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;解：设M （y0心），直线ME的斜率为k（l>0）,直线 MF的斜率为k,直线ME方程为yy。k（x y2）.，由y° k（xyo）y0（iky。） 0解得yFi ky。xf2（1 ky。）k2'同理1 ky1 ky 2ky。 1 ky。yEyFxexf2（1 ky。）2（1 ky。）k2所以直线EF的斜率为定值k22k4ky。丁2y0（定彳町利用消

3、元法42、已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且AF=入FBB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.证明FM-AB为定值解：由已知条件，得F（。，1）,X>0.设A（x1，巾），B（x2,y2）,由AF=入FB,即得（一x1，1y）=?（x2,y21）,所以-x1=入21y1=近21）1c1,将式两边平方并把y1=4x12,y2=4x22代入得y1=;2y2区1斛、式信Vl=NV2=r且有X1X2=入22=4入3=4,11抛物线万程为y=4x2,求导得y=2x,所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是I,、，1112.112y=2x1(xx1)+y1,y=2x2(x

4、x2)+y2,即y=2x1x4x1,y2x2x4x2.解出两条切线的交点M的坐标为（x1 + x2 xx2x1+x2二.一 ,x1 + x2 一，所以 FM AB = (2, 2) (x2x1,y2-y1)=-4万2)=0所以FM AB为定值，其值为0.利用不变因素22xy3、已知椭圆 1 a b 0的离心率为e直线lab:y ex a与x轴、y轴 分别交于点A、B, M是直线l与该椭圆的一个公共点求证:AM为定值。AB解：设AMAB,由题意得Aa,。 e,B 0,a oy2xaex2 y b2a，得1,c b2b2 c, aAMAB,b2a,a，即 eeb22,2a b ,1 e2 且 1八

5、为AM0,故AB2一 e为定值。利用辅助元解析几何中的定值问题是数学中的重要问题，求解这类问题需要综合应用解析几何和代数的相关知识与方法。以上几种思维策率是高中数学中常用到的。要注意体会。.证明动直线过定点或动点在定直线上问题224、如图，椭圆xy41的两焦点F1,F2与短轴两端点B1，B2构成B2F1B1为120°,面ab积为2J3的菱形。（1）求椭圆的方程；（2）若直线l:ykxm与椭圆相交于M、N两点（M、N不是左右顶点，且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.22解：易得椭圆的方程为匕143ykxm由x2y2，消去y得到4334k2x28km

6、x4m2120,直线l与椭圆有两个交点，0,即_2_22_8km 4 3 4k 4m 12_2_2_22_48k12m36124km30设 M x1，y1 ,N x2,y2 ,则有 x x28km2,xx23 4k4m2 123 4k2因为以MN为直径的圆过椭圆右顶点A,所以AM AN 0,即x12, y x22,y20,而ykxm,V2kx?m代入并整得221 kxxx2km2m402 /CC,/,24m128km21 k2-2km2m4,化简整理得到34k234k22 227m16km4k0,m2k7m2k0,m2k或mk72m2k,mk均满足判别式大于0,所以7当m2k时，l:ykx2k

7、kx2,此时，直线过定点2,0当m2k时，l：ykx-kkx2，此时，直线过定点2,07777三.探索曲线在某条件下某一代数式是否取定值5、已知一动圆M,恒过点F(1,0),且总与直线l:x1相切，(I)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(n)探究在曲线C上，是否存在异于原点的A(x1,y1),B(x2,y2)两点，当y1y216时,直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由.解：(1)因为动圆M,过点F(1,0)且与直线l：x1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离。所以，点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线，且E1,p22所以所求的轨迹方程为y24x(2)假设存在A,B

8、在y24x上，所以，直线AB的方程：yy1y2y1(xx1)，X2Xi22即yyiy2y12(x幺)即AB的方程为：yyi(x4),"幺4yiy247T即(yiy2)y (i6 4x) 0,.22ly2)yyiyiy24xyi即：(yi令y0,得x4,所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点(4,0)练兵场22i、点P是椭圆三4i(ab0)上任一点，A、B是该椭圆上关于原点对称的两点,ab那么kpAkpB是否为定值?思考：把椭圆改成双曲线，结论是否仍然成立?2ii口一，一2、过抛物线y2Px的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,判断是否为定|AB|CD|值，若是定值，求出该定值。，一，i2,一3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y-x的焦点,4离心率等于25。5(1) 求椭圆C的标准方程(2) 过椭圆的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若uuiruuuruuiruurMA1AF,MB2BF,求证12为定值。224、已知椭圆xy七1(ab0)的两个焦点分别为Fi(1,0),F2(1,0