逐级登阶拾“题”而上

1、逐级登阶，拾“题”而上-浅谈“题组练习”在分数应用题教学中的有效运用宁波市江东区中心小学 邬俊耿【摘要】小学数学专家邱学华老师倡导，应用题的练习设计应该按照系统论的观点，从整体出发来设计和安排，把每一道练习都纳入到一定的知识体系中，也就是采用“题组练习”的方法，帮助孩子建立起相对完整的一个知识网络。笔者结合自身的教学实践，通过编拟建构型、同质型、异质型、递进型、互逆型、抽象型的题组，优化分数应用题的练习设计，培养学生的解题能力，发展思维水平，提高教学效率，起到1+12的效果。【关键字】题组练习 数学本质 分数应用题【正文】何谓“题组”？它是根据学生的认知规律，将有关数学基本知识与技能、思想与方

2、法融于其中，并且在这些问题的解决过程中，通过若干个问题的前后联系以及解决这些问题的方法变化，形成一种更高层次的思维方法与策略，以达到对问题本质属性的理解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的。这种题组并不是若干个独立数学问题的简单组合，而是注重题目之间的内在联系，通过练习编排的形式、内容、方法等改变，引导学生找联系、辨差异，以整体呈现、整体比较、整体掌握的练习方式促进学生系统地掌握知识结构，全面、灵活地进行数学思考，克服一课一例，一题一练的单调练习模式。它强调把习题放入一个系统中，若干道习题组成题组，形成一个知识的小系统，如果把这些题作为“主块”就形成了流动的信息主块，它们的

3、关系可以用下图来表示：信息组块习题3习题4习题2习题1 迁移作用另外，分数应用题在整个小学数学阶段的教学中既是重点又是难点，由于分数应用题具有较强的抽象性，学生学起来相对比较困难，不易理解和掌握，教师虽然教的很辛苦，但有时效果也并不理想。尤其是分数应用题中的一些概念相互“交织”变化，比如量与率的区别、比较量与标准量的辨别、分数意义的抽象性和概括性等给学生的学习带来了很大的难度。笔者在教学过程中对分数应用题的教学进行了一些改进，采用了“题组练习”的形式，取得了不错的效果，具体的几点做法和思考愿与同行分享。一、构建建构型题组-让概念更清晰建构主义认为：学习是一种学习者能动的建构过程，并且教学应以使

4、学生形成对知识的深刻理解为目标。学习并不是个体积累越来越多的外部信息，而是学到越来越多的有关他们认识事物的程序，即建构了新的认知结构。这种新的认知结构不仅是原有认知结构的延续，而且是原有认知结构的改造和重组。分数应用题的教学，是学生在学习了分数意义的基础上进行的。分数既可以表示具体的数量，也可以表示两个数（量）之间的倍比关系。学生在解答分数应用题时，如果对题中分数辨不清它是“数量”还是“分率”，或者对“分率”的意义不理解，就难以审清题意，理清其中的数量关系，最终难以得到正确的解答。由此可以这么说，贯穿于整个分数应用题的教学，是完全建立在对分数意义理解的基础之上的。因此，在学生学习分数应用题之前

5、，必须要对分数的概念有透彻、深入的理解。比如在学习分数的意义之后，可以设计这样一组练习：1.一根12米长的绳子，平均分成4份，每份是这根绳子的。2.一根4.5米长的绳子，平均分成4份，每份是这根绳子的。3.一根米长的绳子，平均分成4份，每份是这根绳子的。4.一根绳子，平均分成4份，每份是这根绳子的。5. 一根绳子，平均分成a份，每份是这根绳子的，其中的2份就是这根绳子的。只有当学生获得了结构化的知识时，才能对知识形成深刻的、真正的理解。学生在自己原有的认知结构基础上学习和探索新的知识，将新知与旧知进行联系、依照知识间的逻辑关系，以基本原理和概念为核心，形成结构良好的认知结构，而不是只在头脑中建

6、立一个个单独的“储藏室”，这样的建构是灵活而深刻的。显而易见，通过上述题组的练习，学生逐渐明白，把一根绳子平均分成几份，每份就是它的几分之一，几份就是几分之几，这里的几分之一或几分之几都与绳子的长度无关，都表示部分与总量之间的关系，究其原因在于都把绳子的长度看成了单位“1”（不管全长是整数米还是分数米、小数米），只要把单位“1”平均分成若干份，每一份或几分就是它的几分之一（几）。又如：1.一根12米长的绳子，平均分成4份，每份长（ ）米，列式：（ ）；每份是这根绳子的，列式（ ）；2.一根1.2米长的绳子，平均分成4份，每份长（ ）米，列式：（ ）；每份是这根绳子的，列式（ ）；3.一根绳子，

7、平均分成4份，每份长（ ）米，列式：（ ）；每份是这根绳子的，列式（ ）。数学模型的建立不能离开丰富的经验积累。为避免总结规律中的“以偏概全”，教师又及时提供三道有类似特点的习题，让学生先比较它们的共同点，从而将初步得到的结论迁移到新的题组中来。通过题组的对比练习，让学生明白：如果是求数量的每份，应该用总量去除以平均分的份数；如果是求分率，则是用单位“1”作为总量除以平均分的份数。显而易见，求这类题目的数量关系是相同的，即“每份数=总量÷总份数”，同时也让学生体验到题组中的练习区别在于“总量”表示的意义有所差异，既可以是数量上的总量，又可以把总量看做单位“1”。在这里教师并没有停留在

8、“结论移植”的简单化操作层面，而是让学生在题组的反复操练中思考“量”与“率”的区别所在，从而让学生对分数的意义以及与除法的关系有更深入的理解。二、构建同质型题组-沟通知识间的内在联系同质，也就是本质或规律相同的分数应用题，把它们设计成题组的形式，但同时构成题组的若干道练习的非本质属性（描述、情节、呈现方式、数字等）各不相同。通过这样的题组练习，既可以拓宽学生解决某一类题目的思路和方法，又触类旁通、举一反三；既揭示数学知识之间的内在联系，凸显知识的本质，又提高学生的思辨能力。（一） 描述不同：1. 冬季长跑锻炼时，李华每天跑步1800米，沈明每天跑的路程是李华的，沈明每天跑多少米？2. 冬季长跑

9、锻炼时，李华每天跑步1800米，沈明每天跑的路程比李华少，沈明每天跑多少米？从表达的内容上看，第一题是：“沈明每天跑的路程是李华的9/10”，第二题是“沈明每天跑的路程比李华少1/10”是完全不同的，但仔细一想，“沈明每天跑的路程比李华少1/10“实际上就是“沈明每天跑的路程是李华的9/10”，这样一对比，让学生明白，两题的实质都是在求一个数的几分之几是多少？进而引发思考：我们通常可以把“比一个数多（少）几分之几”可以转化成“是一个数的几分之几”来解决，顺利地沟通了知识间的相互联系，凸显了数学的本质。（二） 情节不同：1. 小红看一本故事书，第一天看了全书的，如果再看40页就恰好看到全书的一半

10、，问全书共几页？2. 一辆汽车从甲地开往乙地，已经行了全程的，超过中点40千米，甲乙两地全长是多少千米？第一题讲的是“看书”的事情，第二题是“行程问题”，教学时，先让学生画一画线段图，从图中不难发现，这两题的本质都是运用“量率对应”的思想，即找出“40页（千米）”的对应分率，用对应的“量”去除以对应的“分率”，就能求出单位“1”，即所求问题。（三） 呈现的类型不同：1.张大爷养了200只鹅，鹅的只数是鸭的，养了多少只鸭？-（分数）2.张大爷养了200只鹅，鹅、鸭的只数之比是2:5，养了多少只鸭？-（比）此题组的练习，旨在让学生在练习的过程中，沟通分数与比之间的内在联系。鹅的只数是鸭的2/5，实

11、际上就是鹅、鸭的只数之比是2:5，反之亦之。而在具体的解答中，可以把分数转化成比，按比例分配的方法进行解答；也可以把比转化为分数，用量率对应的思想来解决。很多时候，分数（比）应用题的解法并不是唯一的,教师要善于引导学生从不同角度思考解题方法, 拓宽学生解题思路。（四） 数字不同：1. 一箱水果重吨，第一次运走了吨，第二次运走总共的，最后还剩下多少吨？2. 一箱水果重吨，第一次运走了0.2吨，第二次运走总共的，最后还剩下多少吨？分数，对六年级的孩子来说还是比较抽象的，在遇到问题的时候，有时分不清哪个是“量”，哪个是“率”。上述的第一小题是笔者所在学校单元考试中的一道习题，学生做下来不尽人意。订正

12、时，笔者先出了第二小题，正确率达90%以上，随后问“那么这道题你现在会订正了吗？”小小的一个改动，就大大激发了学生自我反思的欲望，结果有很多学生都能正确解答了。接着又追问：后面的“1/5”能转化成0.2吗？为什么？通过这样的对比让学生明白了，分数加了单位名称后它就是数量了，不表示倍数关系，而不加单位名称则表示倍数关系，而非具体的量，学生通过该题组的对比与反思，对分数的本质有了更全面的理解。（五） 呈现方式不同：2.看一本书，第一天看了全书的，第二天又看了全书的，最后还有60页没看，全书共几页？ 上面的题组中，（1）以线段图的方式呈现，（2）是以文字描述的形式呈现，它建构的数学模型其实就是（1）

13、。这样的题组编排，不仅能让学生感到实际问题可以转化为数学问题，数学是我们解决实际问题的有效工具，而且还体会到数形结合思想的魅力。三、构建异质型题组-理清知识混淆点所谓异质，是指构成题组的若干道习题在数学本质或解题方法、思路上是不同的，但在情节、内容、数字等方面相同或相近，这样的题组，能使学生更好地厘清那些容易混淆的知识点和掌握解题方法策略上的差异点。（一）量和率的对比题组学生初学分数应用题, 往往不能很好地区分量、率, 或者单位“1” 的量找不准, 导致分析不当, 解题失误。这也说明学生的知识点没有得到分化, 感知还很笼统、模糊。因此可以设计下列题组, 帮助学生分化知识。1. 一堆货物重4吨，

14、运走了它的，还剩下它的几分之几？2. 一堆货物重4吨，运走了它的，还剩下多少吨？3. 一堆货物重4吨，运走了吨，还剩下多少吨？4. 一堆货物重4吨，运走了吨，还剩下它的几分之几？通过这样的题组练习，让学生明白区分“量”和“率”最直接有效的方法便是看它的后面是不是跟有单位名称，同时也能正确把握问题实质是在求“量”或“率”，在这样的对比练习中，也让学生体会到：当分数表示量时，其实就是以前学的“总量运走=余下”数量关系；当分数表示分率时，其实质是在求“一个数的几分之几是多少”。（二）分数乘除法对比题组人教版实验教材六年级上册中的分数应用题包含了乘除法六种，这六种题型非常容易混淆，尤其是对单位“1”和

15、问题的判断。在出示下列题组后，可以先让学生来判断每题的单位“1”是谁？求的是什么？学生会发现：求单位“1”的量，用比较量除以对应分率；求比较量，用标准量乘分率；比单位“1”多用加法；比单位“1”少用减法。这样，混淆的地方便得到了澄清。1.果园里有梨树120棵，苹果树是梨树的，苹果树有多少棵？2.果园里有梨树120棵，是苹果树的，苹果树有多少棵？3.果园里有梨树120棵，苹果树比梨树多，苹果树有多少棵？4.果园里有梨树120棵，比苹果树多，苹果树有多少棵？5.果园里有梨树120棵，苹果树比梨树少，苹果树有多少棵？新课标要求我们“要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践”。在分数应用题的新

16、课教学和单元复习中，可将那些似同非同，似是非是的问题，编为一组，引起强烈的对比，让学生比较、研究，以达到既掌握它们的共同点，又弄清它们的差异点，防止混淆的目的。四、构建递进型题组-促进思维的深刻性1.一件衣服，原价300元，现在卖240元，问打了几折？2.一件衣服，原价300元，现八折出售，现在卖多少元？3.一件衣服，原价300元，现八折出售，便宜多少元？4.一件衣服，打八折后比原价便宜了60元，原价是多少？所谓递进，是指构成题组的若干道习题在表示的意义上有更进一层的关系，前一道练习是解决后一道练习的基础。设计递进型题组，可以使学生更好地认知此类应用题的结构框架。以上三题联系紧密，学生通过练习

17、可以较好地认识到有关“折扣”应用题的由来及特征。题组由浅入深、由表及里、步步紧逼，层层深入，学生通过观察、分析、总结出此类问题的框架结构。同时从另一个侧面经历了数量之间关系的发生、发展的探索过程，使学生在思维上有所突破、创新。在教学时，我们通常会由一个问题引出一类题型，而每一类题型又都有着某种共同的特征及解法。在解完题后，若能及时引导学生加以分析、综合，然后抽象出它们共同特征及一般解法，这样定能使学生清晰的感知这一知识点，并渗透到新问题的解决中。五、构建互逆型题组-揭示解题的规律所谓互逆，是指构成题组的两道练习的解题思路正好相反，组成一对矛盾体，让学生在强烈的矛盾冲突中深刻地掌握解题规律。1.

18、 修一条全长是240米的公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修多少米？2. 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修140米，这条公路全长是多少米？ 3. 修一条全长是240米的公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修多少米？4. 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，其中第一天比第二天少修20米，这条公路全长是多少米？上面的题组中，（1）、（2）互逆，（3）、（4）互逆。其中（1）和（3）都是直接叙述，属于顺向的结构，其实质是求一个数的几分之几是多少，用乘法解决。（2）和（4）则间接叙述，属于逆向的结构，其实质是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解决。把顺向结构和逆向结构的题目编成题组，进行对比性练习，让学生弄清结构差异，有利于克服选择运算方法的盲目性，培养思维的灵活性，提高解