知识讲解集合的基本关系及运算基础

1、中心 集合的基本及运算【学习目标】1.理含义合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一：集合之间的1.集合与集合之间的“包含”集合 A 是集合 B 的部分元素的集合，我们说集合 B 包含集合 A；子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含，称集合 A 是集合 B 的子集(subset).记作：A Í B(或B Ê A) ，当集合 A

2、不包含于集合 B 时，记作 A B，用 Venn 图表示两个集合间的“包含”： A Í B(或B Ê A)要点诠释：A 是 B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x Î A ，能推出 x Î B （1）“（2）当 A 不是 B 的子集时，我们记作“ A Í B (或 B Ê A )”，读作：“ A 不包含于 B ”（或“ B 不包含A ”）真子集：若集合A Í B ， 记作：A B(或B A)元素 xÎB 且x Ï A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper s

3、ubset).规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”A Í B且B Í A ，则 A 与B 中的元素是一样的，因此 A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作 A Í A 要点二：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：AB 读作：“A 并B”，即：AB=x|xÎA，或 xÎBVenn 图表示：中心 要点诠释：（1） “xÎA，或 xÎB”包含三种情况：“ x 

4、06; A,但x Ï B ”；“ x Î B,但x Ï A”；“ x Î A,且x Î B ”（2） 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：AB，读作：“A 交 B”，即 AB=x|xÎA，且 xÎB；交集的 Venn 图表示：要点诠释：（1） 并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集， 而是 AB =Æ

5、; （2） 概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素”，同时“A与 B 的公共元素都属于 AB”（3） 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究通常记作 U.中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集，记作：痧U A；即 U A=x|x Î U且x Ï A补集

6、的 Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集ðU A 是对给定的集合 A 和U ( A Í U ) 相对而言的一个概念，一个确定的集合 A ，对于不同的集合 U，补集不同而言的，如我们只在整数范围内研究，则 Z 为全集；而当（2）全集是相对于研究的扩展到实数集时，则 R 为全集，这时 Z 就不是全集（3） ðU A 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合（如 R ）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即ðR A ）中心 4.集合基本运算的一些结论：A Ç B Í

7、A，A Ç B Í B，A Ç A=A，A Ç Æ=Æ，A Ç B=B Ç AA Í A È B，B Í A È B，A È A=A，A È Æ=A，A È B=B È A(痧U A) È A=U，( U A) Ç A=Æ若 AB=A，则A Í B ，反之也成立若 AB=B，则A Í B ，反之也成立若 xÎ(AB)，则 xÎA 且 xÎB若 x&

8、#206;(AB)，则 xÎA，或 xÎB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的或数轴进而用集合语言表达，增强【典型例题】类型一：集合间的时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图结合的思想.R ÎR ； ÆÎÆ ；Æ ； Æ= 0 ； 0 ÎÆ； ÆÎ0；Æ例 1. 请0 0 ； Æ0 ，正确的有哪些？【】错误，因为 0 是集合0 中的元素，0

9、6;0；中都是元素与集合的【，正确；正确，因为Æ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而中的Æ 为非空集合；错误， Æ 是没有任何元素的集合【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易，其在于这些符号与具体意义之间没有直接的举一反三：【变式 1】用适当的符号填空：(1) x|x|1x|x21； (2)y|y=2x2y|y=3x2-1； (3)x|x|>1x|x>1；，是熟练地掌握这些符号的具体含义.(4)(x，y)|-2x2(x，y)|-1<x2【】 (1)=(2)(3)(4)【总结升华】区分元素与集合间的，集

10、合与集合间的.例 2.（2015 秋 确山县期中）已知 A=xx24=0，B=xax6=0，且 B 是 A 的子集（1） 求 a 的取值集合 M；（2） 写出集合 M 的所有非空真子集【思路点拨】对（1）根据 A 集合中的元素， B Í A ，分类讨论 B 的可能情况，再注解 a，写出集合M根据含有 n 个元素的集合的真子集个数是 2n1，求解（2）】（1）M=0，3，3；（2）0，3，3，0，3，0，3，3，3】（1）A=2，2【B 是 A 的子集，B= Æ ，2，2，B= Æ 时，方程 ax6=0 无B=2时，方程 ax6=0 的a=0；x=2，得 2a6=0

11、，所以 a=3；中心 B=2时，方程 ax6=0 的x=2，得2a6=0，所以 a=3所以 a 的取值集合 M=0，3，3（2）M=0，3，3的非空真子集为0，3，3，0，3，0，3，3，3【总结升华】本题考查集合的子集，含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n，真子集个数是 2n1； 非空真子集个数是 2n2举一反三：【变式 1】已知a,b Í Aa,b, c, d, e ，则这样的集合 A 有个.【】7 个【变式 2】同时满足： M Í 1, 2,3, 4,5 ； a Î M ，则6 - a Î M 的非空集合 M

12、有（）A. 16 个B. 15 个C.7 个D. 6 个【】C】a = 3时，6 - a = 3 ；a = 1时，6 - a = 5 ；a = 2 时，6 - a = 4 ；a = 4 时，6 - a = 2 ；a = 5可能是： 3,1,5,2, 4,1,3,5,2,3, 4,1, 2, 4,5， 1, 2,3, 4,5 共时， 6 - a = 1；非空集合 M个.故选 C.7【变式 3】已知集合 A=1，3，a， B=a2，并且 B 是A 的真子集，求实数 a 的取值.】 a=-1， a= ±3 或 a=0【， a2ÎA，【】则有：（1）a2=1 Þa=

13、77;1，当 a=1 时与元素的互异性不符，a=-1；（2）a2=3 Þa= ±3（3）a2=a Þ a=0， a=1，舍去 a=1，则 a=0综上：a=-1， a= ±3 或 a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.【课堂：集合的概念、表示及377430 例 2】例 3. 设 M=x|x=a2+1，aÎ N ，N=x|x=b2-4b+5，bÎ N ，则 M 与N 满足()+D. MN= ÆA.M=NB. M NC. N M【】B】当a Î N+ 时，元素bÎ N+ 时，元素x=a2+1，表示正整

14、数的平方加 1 对应的整数，而当x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 M N，故选 B.知M = x, xy,x - y, N = 0, x , y,例4已若M=N，则(x + y) + (x 2 + y 2 ) +L+ (x100 + y100 ) =A200B200C100D0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性中心 【】D【】由 M=N，知 M，N 所含

15、元素相同.由 0Î0，|x|，y可知0 Îx,xy, x-y若 x=0，则 xy=0，即 x 与xy 是相同元素，破坏了 M 中元素互异性，所以 x0.若 x·y=0，则 x=0 或 y=0，其中 x=0 以上讨论不成立，所以 y=0，即 N 中元素 0，y 是相同元素，破坏了 N 中元素的互异性，故 xy0若 x-y=0 ，则 x=y，M，N 可写为M=x，x2，0，N=0，|x|，x由 M=N 可知必有 x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0 或|x|=1若|x|=0 即 x=0，以上讨论知不成立若|x|=1 即 x=±1当 x=1 时，M 中元素

16、|x|与 x 相同，破坏了 M 中元素互异性，故 x1当 x=-1 时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1 (x + y) + (x 2 + y 2 ) +L+ (x100 + y100 ) =-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合举一反三：的切入点b【变式 1】设 a，bÎ R，集合1,a+b,a=0,b，则 b-a=(a)【】2】由元素的三要素及两集合相等的特征：1Î0, b ,b,0 Î1,a+b,a，又a ¹ 0，

17、a + b=0ab当 b=1 时，a=-1，0， ,b=0,-1,1a当 =1时，b=a 且 a+b=0，a=b=0(舍)a综上：a=-1，b=1，b-a=2.类型二：集合的运算b期中）已知 A = yy = x2 - 2； B = yy = -x2 + 2 ，则 AB（例 5.（1）（2014）A (-2 ,0) ,( 2 ,0)B é-2 ù2 ,ëD-û2, 2C2，2（2）设集合 M=3，a，N=x|x22x0，xÎZ，MN=1，则 MN 为（）A 1，2，aB 1，2，3，aC 1，2，3D 1，3【思路点拨】（1）先把集合 A、B

18、进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算（2）先把集合 N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题【】（1）C（2）D】（1）集合 A、B 均表示相关函数的因变量取值范围，故可知：A=y|y2，B=y|y2，所以 AB=y|2y2，选 C中心 （2）由 N=x|x22x0，xÎZ可得：N=x|0x2，xÎZ=1，又由 MN=1，可知 1Î M，即 a=1， 故选 D举一反三：122【变式 1】设 A、B 分别是一元二次方程 2x +px+q=0 与 6x +(2-p)x+5+q=0 的，且 AB= ，求 A2B.11【】 ，-423

19、】AB= ，21【12 是方程 2x +px+q=0 的解，则有：22(1)2 + 1 p + q = 0 (1)，同理有：6( 1 )2+(2-p)· 1 +5+q=0(2)2222ìp = 7,联立方程(1)(2)得到： íîq = -4.方程(1)为 2x2+7x-4=0，121 A = ,-4，2方程的：x1=，x2=-4，12132由方程(2)6x -5x+1=0，：x3=，x4=，1111B= ，则 AB= ，-4.2323【课堂：集合的运算 377474 例 5】【变式 2】设集合 A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若 AB

20、=2，3，求 AB.【】 2，3，6，18】由 AB=2，3，知元素 2，3 是A，B 两个集合中所有的公共元素，所以 3Î2，a2-2a，6，则必有 a2-2a=3，解方程 a2-2a-3=0 得 a=3 或 a=-1当 a=3 时，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18 当 a=-1 时，A=2，3，6，B=2，2，-9这既不满足条件 AB=2，3，也不满足 B 中元素具有互异性，故 a=-1 不合题意，应舍去.综上 AB=2，3，6，18【 例 6.A，B.【课堂：集合的运算 377474 例 6】设全集 U=xÎ N+|x8，

21、若 A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合】A=1，3，5，8，B=2，3，5，6】全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8由 A(CuB)=1，8知，在 A 中且不在 B 中的元素有 1，8；由6，知不在A 中且在B 中的元素有 2，6；由(CuA)(CuB)=4，7， 不在 B 中的元素有 4，7，则元素 3，5 必在AB 中.由集合的图示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.类型三：集合运算综合应用(CuA)B=2，知不在 A 中且中心 例 7（2014 北京西城学探诊）已知集合 A=x|4x2， B=x|

22、1x3，C=x|xa，aR（1） 若（AB）C= Æ ，求实数 a 的取值范围；（2） 若（AB） Ü C，求实数 a 的取值范围【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点】（1）a3 （2）a4】【（1）A=x|4x2， B=x|1x3，又（AB）C= Æ ，如图，a3；（2）画数轴同理可得：a4【总结升华】此从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的思路是，使动区间沿定区间滑动，结合解决举一反三：【变式 1】已知集合 P=xx21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是（ ）A(-, -1 C-1，1【】C【】 P = x -1 &

23、#163; x £ 1又故选 CB1, +）D（-，-1 1，+）M = P ， M Í P ， -1 £ a £ 1P例 8. 设集合 A| x2 + 4x = 0, B = x | x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0, a Î R.（1） 若 AB = B ，求 a 的值；（2） 若 AB = B ，求 a 的值.【思路点拨】明确 AB 、 AB 的含义，根据的需要，将其转化为等价的式 B Í A 和 A Í B ， 是解决本题的关键.同时，在包含式 B Í A 中，不要漏掉 B =Æ

24、 的情况.】（1） a = 1或 a £ -1 ；（2） a = 1】 首先化简集合 A ，得 A = -4, 0 .【（1）由 AB = B ，则有 B Í A ，可知集合 B 为Æ ，或为0 、-4 ，或为0, -4 .若 B =Æ 时， D = 4(a +1)2 - 4(a2 -1) < 0 ，a < -1 .若0 Î B ,代入得a2 -1 = 0 Þ a = 1或a = -1.当 a = 1时， B| x2 + 4x = 0 = 0, -4 = A, 符合题意； 当 a = -1时， B = x | x2 = 0 = 0 Í A, 也符合题意.若-4 Î B ，代入得 a2 - 8a + 7 = 0 ，当 a = 1时，已讨论，符合题意；a =