最小二乘估计（课堂PPT）

1、18 8 最小二乘估计最小二乘估计21 1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程；2 2、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程、知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程系数公式建立线性回归方程. .3上节课上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据法都缺少数学思想依据. .问题问题1 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？、用什么样的线性

2、关系刻画会更好一些？想法：想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）. .最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法. .4y0iiy,xiibxa,xbxayx问题问题2 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？方法一方法一: :点到直线的距离公式点到直线的距离公式 方法二方法二: :56问题问题3 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？、怎样刻画多个点与直线的接近程度？78先来讨论先来讨论3 3个样本点的情况个样本点的情况9利用配方法可得利用配方法可得22221122333-2

3、-)( -)(-)( -)aa y bxy bxy bxy bx（1011同样使用配方法可以得到，当同样使用配方法可以得到，当从而得到直线从而得到直线y=+bxy=+bx的系数的系数 ，b b，且称直线，且称直线y=+bxy=+bx为这为这3 3个样个样本点的线性回归方程本点的线性回归方程. .12用同样的方法我们可以推导出用同样的方法我们可以推导出n n个点的线性回归方程的系数：个点的线性回归方程的系数：niii 1n22ii 1x ynxy(x )n(x)13思考思考: :如果样本点只有两个，如果样本点只有两个，用用最小二乘法得到的直线最小二乘法得到的直线与两点式求出的与两点式求出的直线直

4、线一致吗？一致吗？解解: :是一致的是一致的. .与两点式相同与两点式相同. .14.下表是某小卖部下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数天卖出热茶的杯数(y)与当天气温与当天气温(x)的对比表：的对比表： (1)试用最小二乘法求出线性回归方程；试用最小二乘法求出线性回归方程；(2)如果某天的气温是如果某天的气温是-3，请预测这天可能会卖出热茶多少杯，请预测这天可能会卖出热茶多少杯 (1)作散点图如图所示作散点图如图所示 解解由散点图知两个变量是线由散点图知两个变量是线性相关的，计算各种数据性相关的，计算各种数据如下表如下表 气温（气温（x xi i） 26261818131310104 4-1-1

5、杯数（杯数（y yi i）杯）杯20202424343438385050646415于是：于是：则：则：分步计算分步计算减少出错减少出错16于是，线性回归方程为于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x 2)由回归方程知，当某天的气温是由回归方程知，当某天的气温是-3时，卖出的热茶杯数为时，卖出的热茶杯数为 57.557-1.648(-3)63(杯）杯） 171.利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用最小二乘估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系利用散点图观察数据是否具有线性关系2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘公式求出方程散点图呈现线性关系

6、时，利用最小二乘公式求出方程3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合求线性回归方程的步骤求线性回归方程的步骤: :1.1.列表、计算列表、计算. . 2.2.代入公式求代入公式求a,b.a,b.3.3.写出直线方程写出直线方程. .18x x0 01 12 23 3y y1 13 35 57 71 1、 已知已知x x，y y之间的一组数据如下表，则之间的一组数据如下表，则y y与与x x的线性回归方的线性回归方程程y=a+bxy=a+bx必经过点必经过点 ( )

7、( )（A A）（）（2 2，2 2） （B B）（）（1.51.5，0 0）（C C）（）（1 1，2 2） （D D）（）（1.51.5，4 4）D D19商店名称商店名称A AB BC CD DE E销售额（销售额（x x）/ /千万元千万元3 35 56 67 79 9利润额（利润额（y y）/ /百万元百万元2 23 33 34 45 52 2、某连锁经营公司所属、某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和利润额个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：资料如下表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图；）画出销售额和利润额的散点图；（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额

8、）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y y对销对销售额售额x x的线性回归方程的线性回归方程. .20i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 4494928285 59 95 581814545合计合计30301717200200112112xy0161412108642-2-30-25-20-15-10-551015202530解：解：（1 1）（2 2）数据如下表：可）数据如下表：可以求得以求得b=0.5b=0.5，a=0.4a=0.4线性

9、回归方程为：线性回归方程为：161412108642/百万元百万元/千万元千万元21 利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果利用试验数据进行拟合时，所用数据越多，拟合效果越好越好. .但即使但即使选取相同的样本数，得到的直线方程也可能选取相同的样本数，得到的直线方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成的是不相同的，这是由样本的随机性造成的, ,样本量越大，样本量越大，所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系. .223.3.下面是两个变量的一组数据：下面是两个变量的一组数据：x x1 12 23 34 45 56 67 78 8y y

10、1 14 49 916162525363647476464请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程1111244839927416166452525125636362167494934386464512合计36204204129623思考：哪一个对呢？思考：哪一个对呢？你认为问题出在哪你认为问题出在哪里呢？里呢？y=-15+9x.y=-15+9x.24所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图. .如如果散点图呈现一定的规律性果散点图呈现一定的规律性, ,我们再根据这个规律性进行拟我们再根据这个规律性进行拟合合. .如果散点图呈现出线性关系如果散点图呈现出线性关系, ,我们可以用最小二乘法估我们可以用最小二乘