三重积分的计算法—球面坐标（课堂PPT）

1、.17.3.4 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分一、球面坐标一、球面坐标 ( , , ), ,M x y zMr 设设为为空空间间内内一一点点 则则点点也也可可用用这这样样三三个个有有次次序序的的数数来来确确定定。M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r, , )xyzo.2M(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r, , )xyzorM为为原原点点到到间间的的距距离离。OMz 为为有有向向线线段段与与 轴轴正正向向所所夹夹的的角角。, ,rM 这这样样三三个个数数叫叫做做点点的的球球面面坐坐标标。,zxOPPMxoy 为为从从正正 轴轴来来看看自自 轴轴按按逆逆

2、时时针针方方向向转转到到有有向向线线段段这这里里 是是点点在在平平面面上上的的投投影影点点。.3球球面面坐坐标标的的变变化化范范围围0,0,02r r =常数，即以原点为心的球面。常数，即以原点为心的球面。 =常数，即以原点为顶点、常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。轴为轴的圆锥面。 =常数，即过常数，即过z轴的半平面。轴的半平面。 zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r, , )xyo三三组组坐坐标标面面.4M点点的的直直角角坐坐标标与与球球面面坐坐标标的的关关系系为为 cossinsincossinrzryrxzM(x,y,z)P(x,y,0)xyzr M(r, , )xy

3、o球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 ddrdrdvsin2 .5 为了把三重积分为了把三重积分中的变量从直角坐中的变量从直角坐标变换为球面坐标，标变换为球面坐标，用三组坐标平面用三组坐标平面r = 常数，常数， =常数，常数， =常数把积分区域常数把积分区域 分成许多小闭区域。分成许多小闭区域。 考虑由考虑由r, , 各取得微小增量各取得微小增量dr,d ,d 所成的所成的六面体的体积六面体的体积(如图如图)。不计高阶无穷小，可把。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。这个六面体看作长方形。xyzo d drd dr sinr r drsind .6xyzo d drd sinr

4、r drsind 经线方向的长为经线方向的长为 rd , ddrdrdvsin2 这就是球面坐标系中的体积元素这就是球面坐标系中的体积元素。 纬线方向的宽为纬线方向的宽为 rsin d ,于是，小六面体的体积为于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为向径方向的高为 dr。.7二、二、 三重积分的球面坐标形式三重积分的球面坐标形式 ddrdrrFdxdydzzyxfsin),(),(2( , , )( sincos , sinsin , cos )F rf rrr 其其中中。, 当当原原点点在在内内时时 有有 ),(02020sin),(),( rdrrrFdddVzyxf 计算三重积分，一般是

5、化为先计算三重积分，一般是化为先r，再，再 ，最后，最后 的的三次积分三次积分。,20 ,0),(0 rr.8例如，半径为例如，半径为R的球体的体积的球体的体积 dVV3223R Rdrrdd02020sin 343R。.9,先先将将积积分分化化为为球球面面坐坐标标的的累累次次积积分分再再例例1 1求求其其积积分分值值。xyzo 2222222022)()1(yxRxRxRRRdzyxdydxI(1),Rxoy 是是以以原原点点为为球球心心 以以为为半半径径的的上上半半球球面面与与面面所所围围解解成成的的空空间间区区域域。 20 ,20 ,0: Rr Rdrrd04203sin2 Rdrrrd

6、dI02222020sinsin 。4154R .10dvzyx 222cos222000sinddr rdr 2044cossin2 dzzyxdvzyx 222222:,)2( :0cos ,0,022r 解解10。xyz1o .11例2例2xyzo2 2222,:2z dvxyzz 求求用用球球解解法法一一面面坐坐标标系系22cos2222000cossinIddrrdr 522cos2002cossin 5rd 2088cos564 :02cos ,0,022r 。 58 .12用用柱柱解解法法二二面面坐坐标标系系2 z dv22131111023 rrzrdr122 32041()

7、3 1(1) (1)32 rrdr03141() 332uu du 122 3026 12 (1) 3 rrrdr。 58 22111220011 rrdrdrz dzxyzo2.13zD解解法法三三 截截面面法法 dvz22340(2)zzdz zDddzz 202 2022)2(dzzzz 2054)5142(zz 。 58 )2(:222zzyxDz xyzo2zyxozD.14小结三重积分的计算方法：小结三重积分的计算方法：基本方法基本方法：化三重积分为三次积分计算。化三重积分为三次积分计算。关键步骤：关键步骤：(1)坐标系的选取坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限定出积分限 .15柱形体域柱形体域锥形体域锥形体域抛物体域抛物体域柱面坐标柱面坐标长方体长方体四面体四面体任意形体任意形体球面坐标球面坐标球形体域球形体