行程问题之比例行程

1、第3讲 行程问题之比例行程例1一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的比依次是1 : 2 : 3，小明走各段路所用的时间的比依次为4 : 5 : 6，已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，问小明走完全程用 小时。解：已知他上坡时的速度为每小时3千米，路程全长为10千米，上坡的路程是千米， t=， 上坡的时间是小时。所以平路的路程是千米，下坡的路程是千米，时间的比依次为4 : 5 : 6，上坡的时间是小时， 所以走完全程的时间是=（小时）。例2甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返

2、回，已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？解：设AB两地的距离是7x千米，则AC=4x，BC=3x，CD=30，从C点相遇后到第二次相遇于点D，甲走了2BC+CD，乙走了2ACCD，所以(23x+30) : (24x30)=4 : 3，解得x=15，所以AB之间的距离是157=105（千米）。例3小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路，并且小芳上学走这两条路所用时间一样多，已知下坡速度为平路的1.6倍，那么上坡速度为平路的 倍。解：设路长为2S，且小芳在平路上的速度为v，则所用的时间是，下坡的速度为1.6v，路程为S

3、，所用的时间是，于是上坡的时间是=，上坡的速度为，上坡速度是平路的倍。例4甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以4千米/时的速度走了路程的一半，又以6千米/时的速度走完了另一半；乙班的比赛过程中，一半时间以4千米/时的速度行进，另一半时间以6千米/时的速度行进，问甲、乙两班哪个班将获胜？解：设行军的路程为2S，则甲班用的时间是=，设乙班的平均速度为5千米/时，所用乙班用的时间是， ，所以乙班用的时间少，乙班将获胜。例5王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶了280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分钟到达北京。北京、上

4、海两市间的距离是 千米。解：设北京到上海的距离为S千米，原计划用的速度是v，原计划所用的时间是（小时），=1.5， =15（小时），返程时先走了280千米，后来车速提高了，车速为，+=，所以15+=，解得v=84，所以S=1260（千米）。例6有甲、乙、丙三辆车，各以一定的速度从某地出发同向而行，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，请问：甲出发多少分钟才能追上乙？解：乙和丙比较，乙走40分钟时，丙走了50分钟，他们的速度比是5 : 4， 乙的速度是丙的速度的，甲和丙比较，甲走了100分钟，丙走了130分钟，他们的速度比是13 : 10，

5、甲的速度是丙的速度的，所以甲和乙的速度比是26 : 25，时间比为25 : 26，即甲用25分钟的时间走的路等于乙用26分钟时间走的路。甲比乙晚出发20分钟，所以甲追上乙时用的时间是2520=500（分钟）=8小时20分钟。 例7甲从A地出发前往B地，乙、丙两人从B地出发前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B地出发，结果甲和乙相遇在C地，甲和丙相遇在D地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D两地之间的距离是12千米，那么A、B两地之间的距离是 千米。解：设甲走了50千米之后到达E地，已知甲的速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，所以ED=3DB，DB=EB；EC=1.

6、5CB，BC=EB，EBEB=12，所以EB=12，EB=80（千米）。所以AB=50+80=130（千米）。例8甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，两车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变，已知两车两次相遇处的距离是50千米，则A、B两地的距离是 千米。解：设AB两地之间的距离为a，两车第一次相遇的地点是C， 甲、乙的速度比是2 : 3，所以AC=a，BC=a，甲到达B点之时，乙已经又从A点出发到了D点，此时甲走了a千米，所以乙走了a千米，所以D点是AB的中点，甲的速度增加二分之一，提高到每小时60

7、千米，与乙一样快，而他们现在一个人在B点，另一个人在D点，第二次相遇的地点是DB的中点E，EB=a，所以CE=a，a=50，a=（千米）。随 堂 测 试1一条小船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度是每小时9千米，平时顺行与逆行所用时间的比是1 : 2，一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用10小时，甲、乙两港之间相距 千米。解：设水流速度为v，顺水速度为9+v，逆水速度为9v，9+v=2(9v)，解得v=3，下暴雨后水速为每小时6千米，此时顺水速度为9+6=15，逆水速度为96=3，顺水速度 : 逆水速度=5 : 1，所以顺水用的时间为逆水用的时间之比为1 : 5，往返共

8、用了10小时，所以顺水用的时间是小时，逆水用的时间是小时，所以甲、乙两港之间相距15=25（千米）。2上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲乙两人同时到达各自的目的地，那么乙从B地出发时是8点 分。解：设甲、乙相遇于点C，则甲用了20分钟走AC的路程，而乙用10分钟走完AC路程，所以乙的速度是甲的速度的2倍，甲走BC用的时间是10分钟，速度是原来的3倍，即如果是原来的速度需要30分钟，所以BC : AC=3 : 2，乙走AC用10分钟，所以乙走BC需要1023=15分钟，所以乙从B地出发的时间是

9、8点5分。3每天小明上学都要经过一段平路AB，一段上坡路BC和一段下坡路CD。已知AB : BC : CD=1 : 2 : 1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3 : 2 : 4，如果小明上学与放学所用的时间比是n : m（其中m与n是互质的自然数），那么m+n的值是 。解：上学时平路为a，上坡路为2a，下坡路为a，所用的时间是=，放学时平路为a，下坡路为2a，上坡路为a，所用的时间是=，所以n : m=19 : 16，所以m+n=35.4李明和王亮从同一条跑道的起点同时同向出发，李明说：“我以8米/秒的速度跑全程的，再以6米/秒的速度跑完余下的路程”。王亮说：“前的时间，我的速度是

10、8米/秒，余下的时间，我的速度是6米/秒”。结果李明比王亮晚到终点0.5秒，则跑道长 米。解：设跑道的长为S，则李明用的时间是，若王亮用的时间为t，则，t=，所以， S=208（米）。5从上海开车去南京，原计划中午11 : 30到达，但出发后车速提高了，11点就到了，第二天返回时，同一时间从南京出发，按原速行驶了120千米后，再将车速提高，到达上海时恰好是11 : 10，上海、南京两市间的路程是 千米。解：设上海、南京的距离是S，原计划的车速是v，车速提高到原来的，所用的时间就成了原来的，即，t=4，所以，解得v=72，所以S=288（千米）。解2：从上海开车去南京，原计划中午11 : 30到

11、达，设原计划的速度为V，出发后车速提高了，实际车速为V，V : V=8 : 7，时间比是t : t=7 : 8，结果11点就到了，提前了30分钟，这30分钟是时间8份中的一份。所以原计划用时为308=240分钟。也就是7点30出发。第二天返回时，按原速行驶了120千米后，再将车速提高，实际车速为V，V : V=7 : 6，时间比是t : t=6 : 7，提前了20分钟，这20分钟是后半段行程中，所用时间的一份，即后半程用时207=140分钟，前面的120千米，用时为240分钟140分钟=100分钟，所以原速度为120100=1.2（千米/分钟）。全程路长为2401.2=288（千米）。6甲、乙

12、两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，那么AB两地相距 。解：甲、乙的速度之比是5 : 4，设甲、乙在C地相遇，车速分别是5v，4v，则AC : BC=5 : 4，AC=5S，BC=4S，解得，所以S=50，AB=9S=450.7A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上，甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发，甲、乙向东，丙向西，乙、丙在距离B地18千米处相遇，甲、丙在B地相遇，而当甲在C地追上乙时，丙已经走过B地32千米，那么A、C间的路程是 。解：设乙、丙在D地相遇，乙、丙相遇时，乙行18千米，丙行CD，到甲追上乙时，观察乙、丙所走过的路程。乙行CD，丙行18+32=50千米，则18：CD=CD：50，CDCD=1850=3030，因此CD的长度是30千米；丙行50+30=80千米，甲行AC，丙行32千米，甲行BC，长30+18=48，则32 : 48=80 : AC，因此AC的长度是80=120千米故答案为：1208如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发