苏科版八年级下册构造平行四边形 巧解几何问题2 讲义

1、 例1 如图所示在ABCD中，AEBC，CFAD，DN=BM求证：EF与MN互相平分【分析】由于平行四边形的对角线互相平分，所以只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手证明 ABCD ADBC，ABCD，B=D又AEBC，CFAD，矩形AECF，AE=CFRtABERtCDF(HL，或AAS)，BE=DF又由已知BM=DN，BEMDFN(SAS)，ME=NFAF=CE，AM=CN，MAF=NCE，MAFNCE(SAS)， MF=NF四边形ENFM是平行四边形.从而对角线EF与MN互相平分例2在ABC中，AE、BD、CF为中线，FMBD，DMAB。求证：M

2、CAEBECMAFD证明：连结AM、FD。FMBD，DMAB，四边形FBDM为平行四边形BFDM AFBF AFDM四边形AFDM为平行四边形AMFD又F、D、E分别为AB、AC、BC边中点FDECAMEC，四边形AECM为平行四边形MCAE。例3 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD延长线于S、T，求证：ATF=BSF.ACEDSTGFBH【分析】由于ATF和BSF不在同一个三角形内，又不可能在两个全等的三角形内，所以需要把两个角转移，由此想到会通过某些点做平行线，再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目的.证明 过点F做GHCD，

3、且FG=FH，连接DG、CH、AG、BH.则四边形DGHC和四边形AGBH是平行四边形.AG=BH，DG=CH，DG/SF/CH. ADG=ATF，BCH=BSF.又AD=BC，ADGBCH（SSS），ADG=BCH，ATF=BSF.BHCMDANLFEO例4 求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点.【分析】 如图，即证EF、MN和HL三线共点，易猜想这三线两两互相平分，结合平行四边形对角线性质，可想到构造平行四边形.证明 如图，设N、H、M、L、F、E分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点，只需证明EF、LH和ML三线共点. 连接LE，EH，HF，LF，NE，EM，

4、MF，FN.则LE、HF分别为ABD和ABC的中位线，所以LEAB，HFAB，所以LEHF，故四边形EHFL是平行四边形，设EF，LH相交于O，则O平分EF.同理可证：四边形NFME是平行四边形，所以MN平分EF，即MN经过点O.故EF，LH，MN三线共点.例5 如图4，在ABC的边AB上截取AEBF，过E作EDBC交AC于D，过F作FGBC交AC于G。求证：证明：过G作GHAB交BC于H，则四边形FBHG为平行四边形AEDGFBCH例6如图5，分别以ABC的边AB、BC为边向外作正方形ABDE和BCFG，BM为AC边上的中线。求证：DG2BMNCFGDBAME证明：延长BM到N，使MNBM，

5、连结AN、CN。则四边形ANCB为平行四边形ANBC又BGBC，ANBG又DBG180°ABCBAN180°ABCDBGBANDBBADBGBANDGBN，而BN2BMDG2BM例4 如图，在等腰ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求BAC的度数.DECABF【分析】 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.证明 过点C做CF/AD，过点D做DF/BC，CF与DF相交于F，连结EF.则四边形DBFC是平行四边形，所以DF=BC，FC=D

6、B. ADE中，AD=ED，其底角EAD必为锐角，则BAC必为钝角，必为ABC的顶角，所以AB=AC，又EC=AD，AE=DB，AE=FC. AD/FC，EAD=ECF，ADECEF（SAS），EF=DE，从而DE=DF=EF，故EDF是等边三角形. 设BAC=，则ADF=ABC=，DAE=，ADE=1800-2DAE=.因为ADF+ADE=EDF=，所以：+，解之得，即BAC=.ADGCBFE例5 四边形ABCD中，已知AB=，BC=，CD=，ABC=，BCD=，求AD的长.【分析】 所给的条件与要求的AD无法直接建立关系，因此需要将AD转移到某个特殊三角形内，注意到ABC和BCD的补角的度数分别是和，不难做出辅助线了.解 过点A作AFCB于F，过点D作DEBC于E，则AF/DE，再过点F作FG/AD交DE于G，那么四边形AFGD为平行四边形. ABC=，