补充一元二次方程根的判别式

1、一元二次方程根的判别式一、教学目标1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2. 通过根的判别式学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；3通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.二、重点·难点及解决办法1教学重点：会用判别式判定根的情况。2教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导. 3解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a、b、c。（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共四种）；方程有两个实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根。三、教学步骤（一）教学过程1复习提问（1

2、）平方根、配方法（2）解下列方程： ； ； 。问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。2任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ，因此对于被开方数 来说，只需研究 为如下几种情况的方程的根。进一步观察发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）当b24ac 0时，_（2）当b24ac 0时,_（3）当b24ac 0时,_（1）当 时，方程有两个不相等的实数根。即 （2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。（3）当 时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情

3、况？答： 。3定义：把 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。一元二次方程 。（1）比较分析学生的讨论分析结果。（2）由学生总结。（3）教师根据学生总结情况补充完整。把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。（1）当b24ac 0时，_（2）当b24ac 0时,_（3）当b24ac 0时,_即：当 时，有两个不相等的实数根； 当 时，有两个相等的实数根； 当 时，没有实数根。反之亦然注意以下几个问题：（1） 这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，

4、所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。（2）当 ，说“方程 没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。4例题讲解例1  不解方程，判别下列方程的根的情况：（1） ；（2） ；（3） 。解：（1） 原方程有两个不相等的实数根。 （2）原方程可变形为 。 ，原方程有两个相等的实数根。例2：当m取什么值时，关于x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有两个相等的实数根？并求出方程的根。（1）读题分析：A、二次项系数是什么？      &#

5、160;              a=_B、一次项系数是什么？                     b=_C、常数项是什么？             c=

6、_(2)建立等式，根据有个常数根   b24ac=0（3）由学生完成解题过程后教师评价例3：说明不论m取什么值时，关于x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2,不论m取代的值都有几个不相等的实根。5 学生练习1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。（1）x2-x-6=0        b24ac=_          x1=_     x2=_（2）x2-2x=1 

7、;       b24ac=_           x1=_     x2=_（3）x2-2x+2=0       b24ac=_              x1=_   

8、0; x2=_2、根据根的情况，求字母系数的取值范围。ax2-2x+2=0 有两个不相等的实数根 则a x2-2x+a=0有两个相等的实数根 则a x2-2ax+2 =0没有实数根 则a 3、已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9，求m的值及方程的根。6 小结：把_叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，并会用它们解决一些实际问题。7、 作业  一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与

9、系数关系解题.难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.教学设计过程(一)复习1.已知一元二次方程                           ax2+bx+c=0 (a0).(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用表示)(2) 叙述

10、一元二次方程根的判别式的性质.(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)当0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当0时，没有实数根.反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，0，有两个相等的实数根时，=0；没有实数根时，0)2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=?(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.(二)综合举例例1 当m分别满

11、足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.解：=（4m+1）2-4×2×（2m2-1）=8m+9（1）当=8m+9=0，即m= - 时，方程有两个相等的实根；（2）当=8m+90，即m- 时，方程有两个不等的实根；（3）当=8m+90，即m -时，方程没有实根.例2 求证：关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零.(2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“

12、 一个完全平方式+正数”；或变为“ -（ ）2 正数”.解答过程略例3 （1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1 ，x2，求的值. 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2） 已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求 m的值；求x12+x22的值.例4  P为何值是，方程             x2+3x+3+P(x2+x)=0(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这

13、些值是这个方程的根.分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根的性质，可使解题过程简单些.解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应等于零.即=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0.由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程.例5若，是方程x2+x-1=0的两根，求证：(1)2=+2,2=+2;  分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论.证明：由,是方程x2+x-1=0的两根，得  &

14、#160;                    2+-1=0,                       2+-1=0.      &#

15、160;  由根与系数关系，得                       +=-1,                        

16、60;      =-1.            由，得            =-1,           式平方，得         2=2+2+1. &#

17、160;    由2=2+1=2+-1+2,把代入，得2=0+2,所以2=+2.   由                =-1,       式平方，得         2=2+2+1,   由  2=2+1=2+-1+2,把代入，得2=0

18、+2,所以2=+2;  例6 m取什么值时，方程. (1) 有两个实根；  (2)有一个根为零； (3)两根异号；  (4)有两个正数根.解：(1)=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).令0,即4(-m+1)0，所以m1.     又由m可知，必须m0 ，把，结合在一起，当0m1时，原方程有两个实根；注意  此问的解答中，容易忽略条件.(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，原方程有一个根为零；    (3) 由已知，两根之积为负值，即2m

19、-10,所以m时，原方程两根异号；(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x10,x20，所以x1+x20及x1x20,即         但是仅凭条件，还不足以说明两根都是正数，还必须有条件0,     即                     =4(

20、-m+1)0.               由，得不等式组         答：当m1时，原方程有两个正数根.注意：如果忽略了条件，即答m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.=(-4)2-4×7=-80，即方程x2-4x+7=0没有实根，也就没有正根了.(三)课堂练习取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+

21、2a2-1=0的两根中至少有一个是正根.    (提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2)一个正根，一个负根；(3)一个正根，一个根为零.    由(1)，列出条件组      (四)小结1.在用根的判别式及根与系数关系解题时，不要忽略隐含条件，像例3第(4)问中的条件0.2.在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第(1)中隐含的条件m0.(五)作业1.求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.3.已知u=16x2+12x+39,=9x2-2x+11,求：对于二次式u+k是一个完全平方式的常数k的值.4.c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求方程x2-3x+c=0的根.5.k是什么值时，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整数根.作业的答案或提示2.由于原方程两根之比为2：3，所以可设两根为2k，3k，于是4.设a是x2-3x