苏教版必修四 平面向量向量的应用学案含答案

1、高中数学向量的应用一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的应用1. 会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题；2. 会用向量方法解决某些简单的几何问题。填空通过本节的学习，学习研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想。二、重难点提示重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题。难点：用向量方法解决实际问题的基本方法。一、向量在物理学中的应用向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量，如力、速度等都是向量。用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个模型的研究解释相关的物理现象。【要点诠释】1. 用向量的知识

2、可以解决许多力学问题，如速度与力的分解、合成，这时要用到平行四边形法则、三角形法则，以及相关的力的夹角、大小的求法。2. 用向量的方法也可以解决力做功问题，这时要用到向量的数量积。二、向量在几何学中的应用1. 向量在平面几何中的应用把平面几何中的线段规定方向转化为向量。这样有关线段的长度即转化为求向量的长度（模），射线的夹角即转化为向量的夹角，于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代，这给许多问题的解决带来了方便，就是说向量为研究平面几何问题提供了一种新的思想，新的工具。【核心突破】平面几何证明中辅助线往往是学习的难点，而引入向量后，就减少或不作辅助线，但应注意选用基底向量表示有关向量

3、，选用的基底向量不同，解法也会有一些差别，因此选用合适的基底向量显得尤为重要。【规律总结】（1）平面向量在几何表示下的应用通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系。（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2. 向量在解析几何中的应用解析几何就是用坐标的方法研究图形，而向量也引入了坐标运算，因此可以用向量的坐标运算解决解析几何中的证明与计算等问题。【核心突破】解析几何中的点共线，线线平行、垂直、夹角、距离都有各自的方法及公式，而这些问题在向量中也有相应的公式，而

4、且有许多比解析几何中的公式更加简单，更具有一般性。例如用解析几何中直线斜率公式求夹角或证垂直时，必须对直线斜率有无进行讨论，而用向量的方法就可以不讨论了。但应该注意，解析几何中的公式及向量中的公式都有各自的特点，同一个问题选用不同的方法，其运算的复杂程度往往有很大差别，因此要注意选用这两种不同的方法。例题1 （向量在物理中的应用）如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为F1，求：（1）|F1|，|F2|随角的变化而变化的情况；（2）当|F1|2|G|时，角的取值范围。思路分析：由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且GF2

5、，F1与G的夹角为，解三角形求得力的大小与的关系，再回答相关问题。答案：（1）由力的平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F2，G，则，四边形OACB为平行四边形，如图，由已知AOC，BOC，tan ，即|F1|，|F2|G|tan ，0，），由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大；（2）当|F1|2|G|时，有2|G|，cos ，又0，），0，。技巧点拨：1. 解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成。2. 解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型。例题2 （向

6、量在平面几何中的应用）如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF。思路分析：以点D为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP，求出向量与的坐标，分别求出它们的长度判断即可。答案：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP（0），则A（0,1），P（，），E（1，），F（，0），（，1），（1，），PAEF。技巧点拨：用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路：（1）向量的线性运算法（2）向量的坐标运算法应用问题的题意理解不清致误【满分训练】在水流速度为4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向。【错解】如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以，为邻边作ABDC，则就是船的航行速度，由12，得12，又4，8（km/h）， tanDAB，DAB60°，船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流方向的夹角为60°。【错因分析】错解中错在没有正确理解题意，导致船的航行方向求解错误。【防范措施】准确理解题意，抽象出物理问题中的向量，建立以向量为主体的数学模型，是解决此类问题的关键所在。【正解】如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶