苏教版必修5 一元二次不等式学案含答案

1、高中数学一元二次不等式一、考点突破知识点课标要求题型说明一元二次不等式1. 掌握简单的一元二次不等式的解法。2. 掌握一元二次不等式与相应的函数、方程的关系。选择题填空题一元二次不等式是解不等式的基础，要认真掌握。并注意体会不等式、函数、方程间的相互转化思想。二、重难点提示重点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；理解一元二次不等式的恒成立问题；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。难点：理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系。考点一：一元二次不等式及其解集（1）概念形如或（其中）的不等式叫做一元二次不等式。（2）与二次方程、二次函数的关系b24ac00

2、0yax2bxc（a0）的图象ax2bxc0（a0）的根有两个不相等的实数根x1，x2且x1x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2bxc0（a0）的解集x|xx2或xx1x|xRax2bxc0 （a0）的解集x|x1xx2考点二：一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；（2）计算相应的判别式；（3）当时，求出相应的一元二次方程的根；（4）根据一元二次不等式解的结构，写出其解。【核心归纳】其中对的解的结构可记为“”的解为“大于大根或小于小根”，“”的解为“大于小根且小于大根”，总结为“大于0取两边，小于0去中间”。【随堂练习】

3、若不等式ax2bxc0的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0的解集。思路分析：由不等式的解集方程的解利用韦达定理求a、b、c关系解所求不等式答案：ax2bxc0的解集为x|3x4，a0且3和4是方程ax2bxc0的两根。由韦达定理，得即不等式bx22axc3b0，ax22ax15a0，即x22x 150。故所求的不等式的解集为x|3x5。技巧点拨：1. 一元二次不等式解集的区间端点值就是相应方程的实根，也是相应二次函数的零点，三者之间的相互转化是本题求解的关键。2. 由一元二次不等式解集的情况，还可判断出二次项系数的正负，解题时也要注意到。例题1 （一元二次不等式的基本解法）解下列不

4、等式：（1）2x23x20；（2） 2x24x70；（3）6x2x20；（4）4x214x。思路分析：化一边为0二次项系数化为正求对应方程的根二次函数图象与解集答案：（1）（3）24×2×（2）250，方程2x23x20的两根是，2，原不等式的解集为；（2）（4）24×2×70，不等式2x24x70的解集为；（3）原不等式可化为6x2x20，124×6×（2）0，方程6x2x20的两根是，原不等式的解集为；（4）原不等式可化为4x24x10，即（2x1）20，原不等式的解集是；技巧点拨：1. 本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，

5、要认真体会。2. 一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，尤其要注意“>”与“”，“<”与“”符号的区分。例题2 （含参数的一元二次不等式的解法）解关于x的不等式：ax2（a1）x10（aR）。思路分析：当a0时，不等式的解集a0时，不等式的解集a0时不等式的解集答案：若a0，原不等式可化为x10，即x1；若a0，原不等式可化为（x）（x1）0，即x或x1；若a0，原不等式可化为（x）（x1）0。（*）其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a1时，由（*）式可得x；（2）当a1时，由（*）式可得x1；（3）当0a1时，由（*）式可得1x。综上所述：当a0时，解集为x|

6、x或x1；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为x|1x；当a1时，解集为；当a1时，解集为x|x1。技巧点拨：1. 含参数的一元二次不等式中，若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式。2. 其次对方程的根比较大小，由根的大小确定参数的范围，然后根据范围对参数分类讨论。例题3 （恒成立问题）若（m1）x2（m1）x3（m1）0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路分析：对任何实数x恒成立不等式解集为实数集R讨论m1的取值情况答案：由题意可知当m10，即m1时，原不等式可化为2x60，解得x3，不符合题意，应舍去；当m1

7、0时，由（m1）x2（m1）x3（m1）0对任何实数x恒成立，则有解得m。综上所述，实数m的取值范围是（，）。技巧点拨：1. 不等式ax2bxc>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a0时，b0，c>0；当a0时，2. 不等式ax2bxc<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a0时，b0，c<0；当a0时， 类似地，还有f（x）a恒成立f（x）maxa；f（x）a恒成立f（x）mina。【综合拓展】综合型不等式的解法（1）解不等式（x1）（2x）（x3）0。（2）设a1，解关于x的不等式。思路分析：（1）两边都乘以，再利用根轴法求解。（2）解含参数的不等式时，一

8、般要利用转化思想和分类讨论思想，在转化时一定要注意等价性原则。答案：（1）原不等式可化为（x1）（x2）（x3）0，且方程（x1）（x2）（x3）0的根为x11，x22，x33，则由穿针引线法（如图）可得原不等式的解集为x|x1或2x3。（2）原不等式可化为当a0时，化为0，2x0；当0a1时，化为0，此时2a，2xa或x。当a0时，化为0；当a时，有x2或xa；当a时，有x且x2；当a0时，有x或2xa。综上所述，当a0时，不等式的解集为x|2x0；当0a1时，不等式的解集为x|2xa或x；当a时，不等式的解集为x|x2或xa；当a时，不等式的解集为x|x且x2；当a0时，不等式的解集为x|x或2xa。技巧点拨：解一元高次不等式关键是掌握根轴法的规则。解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为0，利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式（组）求解，本题第二步含有参数的分式不等式，解含参数的不等式要注意以下基本策略：1. 分清主变量