苏教版必修五11正弦定理余弦定理的应用学案含答案

1、高中数学正弦定理、余弦定理的应用一、考点突破知识点课标要求题型说明正弦定理、余弦定理的应用1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。填空题解答题高考必考运用正、余弦定理可以实现边角的互化，不同的转化方向考查了思维的灵活性；解三角形问题经常与三角恒等变换结合，体现了考查的综合性；实际问题需要数学化，体现了数学的应用价值。二、重难点提示重点：正弦定理及余弦定理的灵活运用。难点：运用三角函数及正、余弦定理解决生活中的实际问题。1. 正弦定理及三角形面积公式

2、：2. 余弦定理：3. 三角形的边角互化： 4. 三角形中的基本关系式：5. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角。（这种类型也可以用余弦定理求解）6. 应用余弦定理解以下两类三角形问题：已知三边求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角。7. 实际问题的思考策略审题建模（三角形模型）解模（解三角形求符合题意的边或角）答模（检验并写出实际问题的答案）例题1 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45

3、6;，距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mileh的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mileh的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间。思路分析：本题中的自变量是时间x，有了时间就有了距离，求舰艇的航向就是当舰艇与渔船同时到达点B时舰艇的方位角，其大小为。在中，可求，其它三边可表示或已知，用余弦定理列出一个方程即可求出x。求既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，通常用正弦定理运算量稍小些。答案：解：设舰艇在B处靠近渔船所用的时间为舰艇x h，则AB=21x，BC=9x，又AC=10， 在中，由余

4、弦定理得，解得h，（负值已舍）。 由正弦定理得，又为锐角，故方位角约为。答：舰艇应按照方位角的航向前进，靠近渔船所用的时间为。 例题2 （江苏高考）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，则= 。 思路分析：本题已知锐角三角形边角的一个等量关系，求关于三个角的正切的代数式的值。基本思路是化边为角，为此可以先用正弦定理，将已知条件转化为关于三个角A、B、C的等量关系式，然后向所求的目标变形，若本思路受挫，可以考虑化角为边进行类似变形。另一思路是将已知条件与所求目标同时变形，然后求解。第三个思路是小题小做，考虑特殊情况求出答案。答案：方法一：， 方法二：考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，故= 4。技巧点拨：解三角形的正余弦定理可以实现边角的互化，“化边为角”还是“化角为边”要因题而易，有时甚至是在思路碰壁后的重新调整，用特殊值法可以简化思考，但取特殊值或特殊情况应合理简便。【综合拓展】 （新课标高考改编）已知分别为三个内角的对边，且，则角A的大小为_. 答案：解法一：由正弦定理得，故由余弦定理得，因为A为三角形的内角，故。解法二：将a=2代入到已知条件中，得，由正弦定理得，由余弦定理得，故。技巧点拨：当a， b， c在等式两边且次数相同时，可以“化边为角”，同样地，当sinA， sinB， sin