函数项级数的

1、2022-3-11级数函数项级数的一致收敛性2022-3-12内容提要 函数列的一致收敛 函数项级数的一致收敛 一致收敛的充要条件(等价叙述) 一致收敛判别法2022-3-13函数列函数项级数的有关术语 函数列：设 其中非空,一般是区域,特别n=1时,为区间; 集合0=x: n(x)收敛称为函数列n的收敛域, 若0=, 称n在上收敛； 函数项级数: 设集合0=x: un(x) 收敛称为函数项级数un的收敛域, 若0=, 称un在上收敛,2, 1 , :nRRfdn, 2 , 1 , :nRRudn2022-3-14一致收敛定义 函数列: 设 如果就说函数列 在上一致收敛到; 函数项级数: 设如

2、果就说函数项级数un在上一致收敛0 : )()( sup limxxfxfnnnf, 2 , 1 , : ,nRRffdn, 2 , 1 , :nRRudn0 : )( sup limxxunkkn2022-3-15函数列一致收敛的充要条件 (A)古典说法: , N0,当nN时 (B) , N0,当nN时 (C) )()(,0 ,xfxfxmnmn 0,:)()( supmxxfxfnmn0 0,:)()( suplimmxxfxfnmnn2022-3-16函数项级数一致收敛的充要条件 (A)古典说法: , N0,当nN时 (B) , N0,当nN时 (C) )(,0 ,xuxmkmnnk 0

3、,:)( supmxxukmnnk0 0,:)( suplimmxxukmnnkn2022-3-17函数列极限定理 设Rd非空, a是的一个极限点. 如果函数列n在上一致收敛,且存在数列hn, 满足那么, 数列hn收敛, 且(*)nnaxhxfn)( lim, 0nnaxnaxhxfxfnnnlim)( limlim)(lim lim2022-3-18函数列极限定理证明 (1) 先证明数列hn收敛只要证明 N0, 当nN时, m0,(*)由n在上一致收敛,N0,当nN时,m0及 x令xa就得到(*). 记nmnhh )()( xfxfnmnnnhxffn0nlimh ),(lim (x)202

4、2-3-19函数列极限定理证明(续1) 下面来证明由前面的证明： N0,当nN时, m0及 x: 令m, 就得到: 当nN时, x:因此 0h)(limxfax)()( xfxfnmn)()( xfxfn00)( )(hxfhxfn2022-3-110函数列极限定理证明(续2) 因此令n, 就得到:在令, 就得到所以00 )(suplim,hhhxfNnnax0)(suplimhxfax0)(suplim0hxfax0h)(limxfax2022-3-111函数项级数极限定理 设Rd非空, a是的一个极限点. 如果函数项级数un在上一致收敛,且存在数列bn, 满足那么, 级数bn收敛, 且(*

5、)nnaxbxun)( lim, 0nnaxbxu1n1n)( lim2022-3-112函数项级数极限定理证明 (1) 先证明级数bn收敛. 只要证明 N0, 当nN时, m0,(*)由un在上一致收敛,N0,当nN时,m0及 x令xa就得到(*). kb nmnk)( nmnkxuk2022-3-113函数项级数极限定理证明(续1) 下面来证明(*): 由前面的证明:N0, 当nN时, m0及 x: 令m, 就得到: 当nN时, x:nkkkxuxu1nm1k)( )(nkkkxuxu11k)( )(2022-3-114函数项级数极限定理证明(续2) 因此令n, 就得到:在令, 就得到11

6、1 )(suplim,nkkkkkkaxbbxuNn11)(suplimkkkkaxbxunnaxbxu1n1n)( lim2022-3-115函数项级数极限定理的情形 设=(a,). 如果函数项级数un在上一致收敛,且存在数列bn, 满足那么, 级数bn收敛, 且(*)nnxbxun)( lim, 0nnxbxu1n1n)( lim2022-3-116函数项级数一致收敛准则 Weierstrass判别法(优级数判别法,控制收敛判别法) Dirichlet判别法 Abel判别法 Dini判别法2022-3-117Weierstrass判别法 如果存在收敛级数 满足则 在上一致收敛.证明：利用一

7、致收敛条件(A). #1nnannauxnx)( , , 01)(nnxu2022-3-118函数项级数例1 证明级数 , 0, 在,)上一致收敛，但在(0,)上不一致收敛. 证明证明：任取0, 则对于x,),由优级数判别法， 在,)上一致收敛.1cos2nxnnxe1cos2nxnnxe2 2cosnxnenxe2022-3-119函数项级数例1(续)注意: 由极限定理，如果 在(0,)上一致收敛， 则级数 (这是不对的)#1coslim20nxexnx1cos2nxnnxe11n2022-3-120Dirichlet判别法 设u n, v n: R,满足 (1)对于x , u n(x)关于

8、n递减; (2) (3) 则 在上一致收敛.1)()(nnnxvxu0: )(sup limxxunnMnxxvnkk0,:)( sup12022-3-121Dirichlet判别法证明 使用一致收敛的充要条件(A)来证明. 任取, 由条件(2), N0, 当nN时，则当nN, m0时,x, 因此13)(,Mxuxn)()()()()()()()()(111111xvxuxvxuxvxuxuxvxunmllnmnllnkllnmnkkknmnkkk2022-3-122Dirichlet判别法证明(续) 这就得到133)()()()()()()()()(111111MMxvxuxvxuxvxux

9、uxvxunmllnmnllnkllnmnkkknmnkkk2022-3-123函数项级数例2 证明: ,级数 在()上一致收敛.但在(0)上不一致收敛. 证明证明：1. 取u n (x)=1/n, v n (x)=sin nx, 由可应用Dirichlet判别法得到在()上一致收敛.1sinnnnx2sin12sin2sin21sinsin1xxnxnkxnk2022-3-124函数项级数例2(续)2. 在(0)上不一致收敛. 取, 对于任何N, 取nmaxN, 1/, x=1/(2n), 则由此得到在(0)上的不一致收敛性.#nkkknkkkxnnknnknnk12122sinsin212

10、1212022-3-125Abel判别法 设u n, v n: R,满足 (1)对于x , u n(x)关于n单调; (2) (3) 在上一致收敛;则 在上一致收敛.1)()(nnnxvxuMnxxun 0,:)( sup1)(kkxv2022-3-126Abel判别法证明 使用一致收敛的充要条件(A)来证明. 任取, 由条件(3), N0, 当nN时，则当nN, m0时,x, 因此13)(, 0,Mxvmxmnnkk)()()()()()()()()(111111xvxuxvxuxvxuxuxvxunmllnmnllnkllnmnkkknmnkkk2022-3-127Abel判别法证明(续) 这就得到133)()()()()()()()()(111111MMxvxuxvxuxvxuxuxvxunmllnm