数列的通项公式与求和的常用方法(已打)

1、题目数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列Sn 的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性S 1, n =12 数列an 前n 项和S n 与通项a n 的关系式a n =S -S ,

2、n 2n -1n3 求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列 累差叠加法最基本形式是a n =(an a n 1+(an 1+an 2+(a2a 1+a1 归纳、猜想法4 数列前n 项和常用求法 重要公式1n(n+1 2112+22+n2=n(n+1(2n+16113+23+n3=(1+2+n2=n 2(n+124等差数列中S m+n=Sm +Sn +mnd，等比数列中S m+n=Sn +qn S m =Sm +qm S n裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1f(n，然后累加时抵消中间的许多项应掌握以下常见的裂项1+2+n=1111=-, n n ! =(n

3、+1! -n ! , =ctg -ctg2,n (n +1 n n +1sin 2111-1r +1rC n =C n -C n , =-等n(n +1! n ! (n +1!错项相消法并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解例1已知数列an 是公差为d 的等差数列，数列bn 是公比为q 的(qR 且q 1 的等比数列，若函数f(x=(x1 2，且a 1=f(d1 ，a 3=f(d+1，b 1=f(q+1，b 3=f(q1 ，(1求数列an 和bn 的通项公式；(2设数列cn 的前n 项和为S n ，对一切n N *，都有c c 1c 1+ +n =an

4、+1成立，求limn 2n b 1b 2c n命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力知识依托本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列an 的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n错解分析本题两问环环相扣，(1问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2问中对条件的正确认识和转化是关键本题(1问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2问“借鸡生蛋”构造新数列dn 运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣

5、解(1a 1=f(d1=(d2 2，a 3=f(d+1=d2， a 3a 1=d2(d2 2=2d，d=2，a n =a1+(n1d=2(n1 ； 又b 1=f(q+1=q2，b 3=f(q1=(q2 2，b 3(q -2 22=q，由q R ，且q 1，得q=2， =2b 1qb n =b·q n 1=4·(2 n 1(2令c n=dn ，则d 1+d2+dn =an+1,(nN *, b nd n =an+1a n =2, c n 8=2,即c n =2·b n =8·(2 n 1；S n =1(2 n b n 3S 2n +11-(-2=S 2n

6、1-(-2 2n2n +11(- 2n +2S=, lim 2n +1=-21n S 2n (- 2n -12例2设A n 为数列an 的前n 项和，A n =3(an 1 ，数列bn 的通项公式为b n =4n+3; 2(1求数列an 的通项公式；(2把数列an 与bn 数列dn 的通项公式为d n =32n+1;(3设数列dn 的第n 项是数列bn 中的第r 项，B r 为数列bn 的前r 项的和；D n 为数列dn 的前n 项和，T n =Br D n ，求limn n 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力知识依托利用项

7、与和的关系求a n 是本题的先决；(2问中探寻an 与bn 的相通之处，须借助于二项式定理；而(3问中利用求和公式求和则是最基本的知识点错解分析待证通项d n =32n+1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清技巧与方法(1问中项与和的关系为常规方法，(2问中把3拆解为41，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解解(1由A n =33(an 1 ，可知A n+1=(an+11 ， 22a n+1a n =a 33(an+1a n

8、 ，即n +1=3，而a 1=A1= (a11 ，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数a n 22列，数列an 的通项公式a n =3n(232n+1=3·32n =3·(41 2n2n 12n n -1=3·42n +C1(1+C22n ·4·(1+(1 =4n+3， 2n ·432n +1bn 而数32n =(41 2n2n 12n n -1=42n +C1·(1+C22n ·4·(1+(1 =(4k+1，2n ·432n bn ，而数列an =a2n+1a2n ，d n =

9、32n+132n +1-3(3由3=4·r+3，可知r=，4r (7+4r +3 32n +1-332n +1+72727B r =r (2r +5 =, D n =(1-9n =(9n -1 ，2421-9892n +1+432n +1-2127nT n =B r -D n =-(9-1889113=34n -32n +, (a n 4=34n ,884T 9lim n 4=n (a n 82n+1例3 设an 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项(1写出数列an 的前3项(2求数列an 的通项公式(写

10、出推证过程a 1a(3令b n =(n +1+n (nN * ，求lim (b1+b2+b3+bn nn 2a n a n +1a 1+2=2S 1，S 1=a1， 2a +2a +21=2a 1，解得a 1=2当n=2时，有2=2S 2，S 2=a1+a2，将a 1=2代入，整理得(a22 2=16，由a 20，22解得a 2=6a +2当n=3时，有3=2S 3，S 3=a1+a2+a3，2将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a32 2=64，由a 30，解得a 3=10 故该数列的前3项为2，6，10(2）解法一 由(1）猜想数列an 有通项公式a n =4n2 下面用数学归纳法证明a

11、n 的通项公式是a n =4n2，(nN *） 当n=1时，因为4×12=2，又在(1中已求出a 1=2，所以上述结论成立a +2假设当n=k时，结论成立，即有a k =4k2，由题意，有k =2S k ，将a k =4k2 代入上式，解得2k=2S k ，2得S k =2k2，a +2由题意，有k +1=2S k +1，S k+1=Sk +ak+1，2a +22将S k =2k2代入得(k +1 =2(ak+1+2k2 ，22整理得a k+14a k+1+416k 2=0，由a k+10，解得a k+1=2+4k， 所以a k+1=2+4k=4(k+12，即当n=k+1根据，上述结

12、论对所有的自然数n N *成立a +21由题意知n =2S n ，(nN * 整理得，S n =(an +22,2811由此得S n+1=(an+1+22，a n+1=Sn+1S n =(an+1+22(an +2288整理得(an+1+an ）(an+1a n 4=0， 由题意知a n+1+an 0，a n+1a n =4，即数列an 为等差数列，其中a 1=2，公差d=4a n =a1+(n1d=2+4(n1 ，即通项公式为a n =4n2a +2由已知得n =2S n ,(nN * ，2解析(1由题意，当n=1时，有a n +1+2=2S n +1 ， 2S -S n +2由式得n +1

13、=S n +1，2所以有整理得S n+122·S n +1+2S n =0， 解得S n +1=2±S n ，由于数列an 为正项数列，而S 1=2, S n +1+S n >2， 因而S n +1=2+S n ，即Sn 是以S 1=2为首项，以2所以S n = 2+(n1 2=2n,S n =2n2，2, (n =1 故a n =即a n =4n2(nN *S n -S n -1=4n -2, (n 2a 1a(3令c n =bn 1，则c n =(n +1+n -22a n a n +112n +12n -111=(-1 +(-1=-, 22n -12n +12n

14、 -12n +1b 1+b 2+ +b n -n =c 1+c 2+ +c n111111=(1- +(- + +(- =1-,3352n -12n +12n +11lim (b 1+b 2+ +b n -n =lim (1- =1. n n 2n +11-i n，(nN * ，记S n =z 2z 1+z 3z 2+z n+1z n ，则lim S n =_n 22作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_3数列an 满足a 1=2，对于任意的n N *都有a n 0, 且(n+1an 2+a

15、n ·a n+1na n+12=0，又知数列bn 的通项为b n =2n 1+1 (1求数列an 的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2求数列bn 的前n 项和T n ；(3猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由4 数列an 中，a 1=8,a4=2且满足a n+2=2an+1a n ,(nN * (1求数列an 的通项公式；(2设S n =a 1+a 2+a n , 求S n ;1 设z n =(3设b n =1m(nN *,T n =b1+b2+bn (nN *, 是否存在最大的整数m ，使得对任意n N *均有T n 成n (12-a n 32立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由5设数列an 的前n 项和为S n ，且S n =(m+1ma n 对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m 1 (1求证an 是等比数列；(2设数列an 的公比q=f(m，数列bn 满足 b 1=1a 1,b n =f(bn 1(n2,n N * 试问当m 为何值时，3n lim (b n lg a n =lim 3(b 1b 2+b 2b 3+ +b n -1b n 成立？n 6 已知数列bn 是等差数列，b 1=1,b1+b2+b10 (1求数列bn 的通项b n ；(2设数列an 的通项a n =loga