全微分及其应用太原理工大学

1、第三节第三节 全微分全微分一一 全微分的定义全微分的定义二二 可微的条件可微的条件 全增量的概念 如果函数如果函数在点在点的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差),(yxfz ),(yx),(yyxxP即即),(),(yxfyyxxfz为函数在点为函数在点对应于自变量增量对应于自变量增量的全增的全增量，记为量，记为zPyx ,),(),(yxfyyxxf一、全微分的定义函数若在某区域函数若在某区域内各点处处可微分，内各点处处可微分，则称这函数在则称这函数在内可微分内可微分.DD 如果函数如果函数在点在

2、点的全增量的全增量可以表示为可以表示为，其中其中BA,不依赖于不依赖于而仅与而仅与有关，有关，则称函数则称函数在点在点可微分，可微分，称为函数称为函数在点在点的的全微分全微分，记为记为，即即 . .),(yxfz ),(yx),(),(yxfyyxxfz)( oyBxAzyx ,yx,22)()(yx ),(yxfz ),(yxyBxA),(yxfz ),(yxdzyBxAdz),(lim00yyxxfyx),(lim0zyxf ),(yxf二 、可微的条件如果函数在点可微分, 则函数在该点连续.定理1),(yxfz ),(yx事实上事实上)( oyBxAz故函数故函数在点在点处连续处连续.)

3、,(yxfz ),(yx 定理定理 2 2（必要条件）如果函数必要条件）如果函数在点在点可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点的偏导数的偏导数、必存在，且函数必存在，且函数在点在点的全微分的全微分为为 xzyzyyzxxzdz),(yxfz ),(yxfz ),(yx),(yx),(yx证证如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP可微分可微分,属于属于 ),(yyxxPP的某个邻域的某个邻域)( oyBxAz 总成立总成立, ,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立， 此时此时|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,x

4、z 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿着直线沿着直线xy 趋近于趋近于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着说明它不能随着0趋于趋于 而趋于而趋于0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0(

5、 oyfxfzyx函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证),(),(yxfyyxxfz),(),(yyxfyyxxf),(),(yxfyyxf定理3 （充分条件）如果函数),(yxfz 的偏导数、在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分xz yz ),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1 ) 10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）其中其中1 为为yx ,的函数

6、的函数,且当且当0, 0 yx时，时，01 .xxyxfx1),( yyyxfy2),( z2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf,),(2yyyxfy 当当时，时，,0y02 习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上

7、函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz,xyxeyz,2)1 , 2(exz,22)1 , 2(eyz.222dyedxedz所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4p p x，p p y，4p p dx，p p dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4(p pp pp pp pp pp p).74(82p pp p例例 3 3 计算函数计算函数yzey

8、xu 2sin的全微分的全微分.解解, 1xu,2cos21yzzeyyu,yzyezu所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz例例 4 4 试证函数试证函数在点在点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论. )0 , 0(),(0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf证证令令,cos x,sin y则则

9、22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当点当点),(yxP沿直线沿直线xy 趋于趋于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.当当)0 , 0(),(yx时时， 所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(y