一维抛物线偏微分方程数值解法(2)

1、 一维抛物线偏微分方程数值解法（2）上一篇文章请参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（1）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0, 0<x<1,0<t<=1（Ut-aUxx=f(x,t),a>0) U(x,0)=ex, 0<=x<=1,U(0,t)=et,U(1,t)=e(1+t), 0<t<=1精确解为：U(x,t)=e(x+t);Matlab程序： （此为向后差分法）function u p e x t=pwxywxh(h1,h2,m,n)%欧拉向后差分法解一维抛物线型偏微分方程%此程序用的是追赶

2、法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m,n分别为空间，时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差x=(0:m)*h1+0;t=(0:n)*h2+0;for(i=1:n+1)for(j=1:m+1) f(i,j)=0;endendfor(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);endfor(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endr=h2/(h1*h1);for(i=2:n+1) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% a(1)=0;b(1)=1+2*r;c(1)=-r;d(1)=u(i-1,2)

3、+h2*f(i,2)+r*u(i,1);for(k=2:m-2) a(k)=-r;b(k)=1+2*r;c(k)=-r;d(k)=u(i-1,k+1)+h2*f(i,k+1);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%end a(m-1)=-r;b(m-1)=1+2*r;d(m-1)=u(i-1,m)+h2*f(i,m)+r*u(i,m+1);for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程 a(k+1)=-a(k+1)/b(k); b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k); d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);end u(i,m)=d(m-1)/b(m-1);

4、 %回代过程% for(k=m-2:-1:1) u(i,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i,k+2)/b(k);endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); %p为精确解 e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j);%e为误差endendu p e x t=pwxywxh(0.1,0.005,10,200);surf(x,t,e); xlabel('x');ylabel('t');zlabel('e');>> title('误差曲面'); plot(t,e)误差较之前的欧拉向前差分格式 增长了两倍u p e x t=pwxywxh(0.1,0.05,10,20);plot(t,e)u p e x t=pwxywxh(0.01,0.05,100,20);plot(t,e)u p e x t=pwxywxh(0.01,0.01,100,100);plot(t,e)u p e x t=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(x,e)u p e x t=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(t,e)u p e x t=pwxywxh(0.005,0.0