一元微分学的概念性质与计算全程版

1、一元微分学的概念、性质与计算一、考试内容导数和微分的概念函数的可导性、可微性与连续性之间的关系基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数、参数方程所确定的函数、积分变限函数的微分法高阶导数 一阶微分形式的不变性（一）导数与微分的概念与性质，可导是可微的充要条件，其皆为连续的充分条件.（三）基本函数的导数及高阶导数表；，.（四）导数与微分的运算法则；，对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；设二阶可导，且，则，；设二阶可导，若由所确定，则 ，；.二、典型例题题型一 可导性的判定1、设函数在处连续，则是的(A)(A) 充分非必要条件 (B)必要非

2、充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也非必要条件注：2、设（或函数在处连续），则是的(B)(A) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也非必要条件注：是的(A)，但是的(B)提示：取,则，但在处非右连续3、设存在但不相等，则下列命题正确的是(B)(A)在处不连续(B)在处连续但不可导(C)为的跳跃间断点(D)为的跳跃间断点注1：为的跳跃间断点存在但不相等注2：设在处左（右）连续，（）4、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)(1) 若在处可导，则(2) 若在处连续，则(3) 若，则(4)若，则(A)(B)(C)(D)5、函数不可导点的个数为提示：6、求

3、证：若，则.提示：若，且函数在处连续，则在的某邻域内不变号.注1：若，且函数在处连续，则.注2：；在处的连续在处连续.7、设，在连续，但不可导，又存在，求证：是在可导的充要条件提示：若，则；反之，用反证法，假设，则在的某邻域内，用定义（或商的求导法则）可证可导，与假设矛盾，从而题型二求导（微）的计算例1、设，求解：，则注：该题也可用导数定义求解例2、设，求解：，则注：该题也可用对数求导法例3、设，求解：，则注：例4、函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则提示：例5、设是方程所确定的函数，求及解：而 易知 例6、 求解：，则，化简得 注：微分运算法则在隐函数求微中相当重

4、要，同时要注意凑微分法的使用，如：例7、设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为且满足，则提示：例8、设二阶可导，且，求 求解：，则例9、设是由方程组所确定的隐函数，求解（一）因，有而 ，故 解（二）注意到，有例10、设，求解：，则不存在，而，例11、求函数的导数解： 当时，；当时，当时，故当时，；当时，在分段点-1处，不存在在分段点1处，例12、对于函数 ,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数，但在处却不存在二阶导数解：由 又，且而此时，则在处具有一阶连续的导数，从而处处具有一阶连续的导数因，且有，综上所述，当，时，满足题意例13、求注：，其中是连续函数，存在例14、设是连续函数，（1

5、）令，则；（拆）（2）令，则（令，换）例15、是由确定的函数，求 解：对求导得，有在中令时，有，即，代入上式得例16、，求，.解：由（1） 得由（2） 得则，将代入易得例17、设是连续函数，且，则解：将两端同时对求导得，令得，代入上式有题型三高阶导数的计算例1、求下列高阶导数：（1）设，求（2）设，求解： （3）设，求（4）设，求，解：三、课后练习1(A)、若，且,则2(A)、设函数在处连续，下列命题错误的是(D)(A)若存在，则 (B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在3(B)、设，则在=0处可导(C)(A)存在 (B) 存在(C)存在 (D)存在注：设，在=0处具有右导数存

6、在；不存在，因取（充分大）时，4(B)、设在内有定义，且恒有，则必是的(C)(A) 间断点 (B)连续而不可导点 (C) 可导点，且(D)可导点，且提示：，用夹逼定理可求出5(A)、函数不可导点的个数是6(A)、设可导，则是在处可导的(A)(A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件7(B)、在点处不可导的充分条件为(B)(A)(B)(C)(D)8(A)、设函数在区间上连续，则是函数的(B)(A)跳跃间断点(B)可去间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点9(A)、设，其中是有界函数，则在处(D)(A)极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C)

7、连续但不可导 (D) 可导点10(B)、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)(1) 若，则(2) 若，则(3) 若，则(4)若，则(A)(B)(C)(D)11(A)、设函数，其中为正整数，则=(A)(A) (B)(C) (D)12 (B)、若，求证：.13、计算下列导数（微分）：（1）(A)设，则.（2）(A)设，求.（3）(A)若，则.（4）(A)若由确定，则.（5）(B)设，其中具有二阶导数，且，求.（6）(A)设，其中可导，且，则.（7）(A)设由所确定，则.（8）(B)设函数则.（9）(B)设，则.（10）(A)设，则.（11）(B)设函数，则当，.（12）(A)设连续，且，令，则.（13）(B)设连续，则.（14）(A)由（）确定是的函数，则.（