超市排队系统

1、超市排队系统的优化0 引言关于超市排队的研究，国内外学者已经做了大量工作，但是都是在队列为一个泊松分布的前提下进行的，本文创造性提出了非时间齐次的泊松流来模拟顾客流，使得仿真更加接近现实。在超市营销系统中有一个很重要的直接影响超市销售量的因素是超市内收费排队系统的合理性问题，具体而言就是超市如何设置收银员的数目，这个问题实际上是一个最优化问题可以把顾客的等待费用和超市设置收银员所花费的费用之和作为目标函数把顾客可接受的最长等待队列和最长等待时间以及超市的盈利大于消耗等作为约束函数来实现目标函数的最优化，但在超市收银台数目的实际设置过程中根本没那么复杂，超市的管理部门经理在对超市收银台的数目进行

2、安排时，考虑的仅是由超市方对大量顾客做的调查统计数据的结果，本文通过对某大型超市的数据调查，利用排队论的有关知识对系统提出了优化，所得结果满足超市的上述规定，并且比超市原排队系统更节约成本，更符合顾客的需求，达到了双赢的目的。1 系统模型的建立及分析 大型超市的收银服务系统是一个随机服务系统，当系统运行较长时间达到稳态后，系统的情况按实际情况总结如下：（1） 顾客的到达时间符合非时间齐次泊松过程（Non-homogeneous Poisson Process），到达速率是。顾客在不同时间段的到达速率不同，但在某一时间段内到达速率是固定的，即在某一时间段内顾客的到达时间服从参数为的泊松过程。（2

3、） 系统有c个平行的收银员，每个收银员的服务时间是一随机变量，服从参数为u的负指数分布。（3） 系统中如果顾客数大于收银员数，则不会有空闲的收银员，进入系统的顾客可随时改变其队列。（4） 到达过程和服务过程、各个服务过程之间都是相互独立的。（5） 假设系统的等待位置为服务规则是先来先服务即FCFS。显然在某一时间段内这是一个M/M/C/FCFS排队系统。顾客的到达时间间隔在某一特定的时间段内服从参数为的负指数分布，密度函数为：平均到达间隔时间为，收银员的服务时间服从参数为u的负指数分布，密度函数为：平均服务时间为，经分析和推导，在系统的供给负荷的定义下，系统中有n个顾客的概率是：其中：服务员的

4、利用率为，队列中排队等待收银的顾客数的均值即平均队长为：其中为Erlang延迟公式中的阻塞概率。系统中有c个平行的收银员，进入系统的顾客可随时改变其队列，因此各收银员前的排队顾客数基本上相同，每个收银员前的排队顾客数的平均值即每个收银员前的平均队长为：顾客的平均等待时间为：2 系统具体信息（1） 超市设置有收银台55个，超市开放收银台的基本规则是卖场淡期开放20个收银台，卖场旺期开放40个收银台，其中有15个收银台因位置不佳，容易引起收银混乱而处于弃用状态。（2） 超市规定各收银台排队人数不超过5人，顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7min。（3） 通过超市对收银员的收银速率的大量统

5、计，得知收银员平均收银速率为1.523min/人，在卖场旺期理货员和中层管理人员会作为装袋员进入收银系统，收银员只负责收银，装袋员负责对商品装袋，此时收银员的平均收银速率为1.017min/人。（4） 系统在卖场旺期顾客排队过长的情况下，可通过适当地增加收银台数目和装袋员的方法减少排队人数，缩短顾客的排队时间。（5） 顾客进入服务系统的速率随时间的变化而变化，在不同的时间段内顾客进入服务系统的速率不同。笔者对某大型超市做的调查统计数据表明，在周一周五该超市在不同的时间段进入收银服务系统的顾客的到达速率如表1示。晚上各时间段的平均到达速率和季节有关，给出的顾客平均到达速率是冬季的统计数据平均到达

6、速率的单位是人/min。表 1 各时段顾客到达速率时间段（h）8:30-9：009:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:00平均到达速率10.3125.8927.6820.4912.2313.7618.9128.3530.7422.8621.6727.5328.9813.293 系统优化分析(1)以时段8:309:00为例来研究，在这一时段内顾客到达速率为1

7、0.31人/min，即顾客的到达时间间隔服从均值为0.0970min人的负指数分布，收银员的服务时间服从均值为1.523 min/人的负指数分布，超市收银台前的排队系统要满足2个条件： 各收银台前的平均排队人数不超过5人。 顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7min。求此时满足以上条件的最少收银台的个数。按照MMCFCFS排队系统推导出的公式知，系统中排队等待收银的平均顾客数是，顾客可自由地选择队列，所以每个收银员前的排队顾客数的平均值即每个收银员前的平均队长为：根据已知条件中的各收银台前的平均排队人数不超过5人，可知。同理由M/M/C/FCFS排队系统推导出的公式可知顾客的平均等待时

8、间。根据已知条件中顾客的平均等待时间不超过7min的条件可知。其中，在系统达到统计平衡状态时。在排队系统中服务员利用率。所以c应该满足条件：编程计算可得出c=16。因此在8:309:00这一时段不必开20个收银台，只需要开16个收银台就可达到超市规定的各收银台排队人数不超过5人，顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7min。(2)再以时段9:0010:00为例来分析，在这一时段内顾客到达速率为25.89人/min，即顾客的到达时间间隔服从均值为0.0386 min/人的负指数分布，收银员的服务时间服从均值为1.523 min/人的负指数分布，超市收银台前的排队系统要满足2个条件:各收银台

9、前的平均排队人数不超过5人； 顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7 min，求此时满足以上条件的最少收银台的个数。依照时段8:309:00的分析结果知道：其中,，解上式的值为c=47。超市客观服务条件限制收银台数目不能超过40个，即在16:0017:00这一时间段内的收银台数目最多是40个，时，服务员利用率超过了1，显然若不采取其他措施，将产生排队过长的现象，造成大规模的拥塞。超市规定在卖场旺期理货员和中层管理人员可作为装袋员进入收银系统，收银员只负责收银，装袋员负责对商品装袋，此时收银员的平均收银速率为1.017min/人，计算得到c=32。即可以在超市内的收银员数目未达到40时，多

10、增加装袋员的数目，达到超市所规定的各收银台排队人数不超过5人，顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7 min。也可以在超市内的收银台数目达到40后，适当增加装袋员的数量，不必在每一个收银台都增加一个装袋员，只要满足超市的上述规定即可。把超市各时间段内所需开放的收银台数目计算如表2所示。表 2 仿真结果表时间段（h）8:30-9：009:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:0016:00-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0

11、021:00-22:00开放收银台数164029*3219212929*32353428*30*21其中不带“*”的数字是在各收银台没有配置装袋员的情况下,计算出的超市内所需要的收银台的数目；带“*”的数字是在超市顾客到达速率很高时，40个收银台在没有装袋员的情况下满足不了系统的需要时，即会造成排队过长，排队系统不满足超市的规定时，各收银台在分别配置装袋员的情况下计算出的收银台数目。经过以上计算知道在超市规定的各收银台排队人数不超过5人，顾客在收银台排队系统中的平均等待时间不超过7 min的规则之下，各时段内应该开放的收银台数目和超市平时各时间段内开放的收银台数目是不相符的，因此超市应改变不合

12、理的收银台数目设置，避免造成排队收银系统中排队人数过长或无顾客的现象，同时也可合理利用人力资源，节省开销，避免过多的资金支出。另外，在各收银台分别配置装袋员的情况下系统还可以满足顾客到达速率为39.33人/min的收费服务，该超市还具有容纳比高峰期到达的顾客更多的顾客的能力和资质，超市的服务系统还没有达到满负荷运转，因此超市还应在开发客源上下功夫，以达到更大的经济效益。4 超市收银系统优化的总结和应用本文详细统计了超市顾客的到达速率和顾客能接受的最大排队队长及最长等待时间，并了解了超市针对市场竞争采取的排队规定和措施，利用排队论的有关知识分析了超市收银系统的特点，建立了超市收银系统的数学模型，

13、通过求解数学模型，得到模型的最优解决方案，最后针对超市收银系统的不足之处对超市收银系统进行改进。该模型在满足顾客要求和超市规定的情况下对系统进行了优化，减少了人力资源和财力资源的浪费，实现了系统的最优化。在双休日和节假日期间，服务系统中的顾客到达速率会和平时有所不同，超市可根据历史数据或统计数据具体分析，寻求服务系统的最优解决方案。该模型具有一定的普遍性，大型的商场、大型的银行服务系统和医院等有收费系统的行业中的收银系统可借鉴此模型的实际意义，实现自身系统的优化。参考文献1 苏兆龙排队论基础M成都：成都科技大学出版社，19982 彭志捌，张风超市服务台与人员配备模型设计J长沙大学学报. 2004(4)：65673 胡运权，郭耀煌运筹学教程M第2版北京：清华大学出版社. 2003：3183524 徐玖平，胡知能，李军运筹学