课堂导学12导数的运算

1、课堂导学三点剖析一、求函数的导数【例1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x-1);(2)y=(-2)2;(3)y=x-sin·cos;(4)y=3x2+xcosx;(5)y=tanx;解：(1)方法一:y=(2x2+3)(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.方法二:y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,y=(6x3-2x2+9x-3)=18x2-4x+9.(2)y=(-2)2=x-4+4,y=x-(4)+4=1-4·x=1-2x.(3)y=x-sincos=x-sinx,y=x-

2、(sinx)=1-cosx.(4)y=(3x2+xcosx)=6x+cosx-xsinx.(5)y=()=.二、求直线方程【例2】 求过曲线y=cosx上点P(,)且与过这点的切线垂直的直线方程.解：y=cosx,y=-sinx.曲线在点P(,)处的切线斜率是y|=-sin=.过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所求的直线方程为y-=(x-),即2x-.温馨提示 要求与切线垂直的直线方程,关键是确定切线的斜率,从已知条件分析,求切线的斜率是可行的途径,可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率,再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程.三、利用导数求函数解析式【例3】 已知抛物线y=ax2+bx+c通过

3、点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a、b、c的值.思路分析:解决问题的关键在于理解题意,转化、沟通条件与结论,将二者统一起来.题中涉及三个未知数,题设中有三个独立条件,因此,通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径.解：曲线y=ax2+bx+c过P(1,1)点,a+b+c=1. y=2ax+b,y|=4a+b.4a+b=1. 又曲线过Q(2,-1)点,4a+2b+c=-1. 联立、解得a=3,b=-11,c=9.各个击破类题演练 1求下列函数的导数.(1)y=x6;(2)y=;(3)y=2;(4)y=x.解:(1)y=(x6)=6x6-1=6x5.(2)

4、y=()=(x)=x=x.(3)y=(x-2)=-2x-3.(4)y=()=(x)=x=.变式提示 1求下列函数的导数.(1)y=ex·lnx；(2)y=lgx-2解:(1)y=(2)y=.类题演练 2求f(x)=的导数.解:f(x)=变式提升 2(2019全国高考) 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解:(1)y=2x+1,直线l1的方程为:y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1l2,则有2b+1=-,b=.所以直线l2的方程为y=x-.(2)解方程组得x=所以直线l1和l2的交点坐标为(,).l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(,0).所以所求三角形的面积S=××|=.类题演练3：当x=1与x=2时，函数f(x)=alnx+bx2+x的导数为0.试确定常数a和b的值.解:设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f(x)=3ax2+2bx+c,依题意有:即f(x)=x3+x+4.变式提升3 已知y=f(x)是一个一元三次函数,若f(-3)=2,f(3)=6且f(-3)=f(3)=0,求此函数的解