DVD在线租赁问题的分析与解答

1、DVD在线租赁问题的分析与解答摘要：本文是对DVD在线租赁问题进行研究。我们先假设网站的运行方式为：要求每种DVD的张数使其满足题目要求，我们首先假定一种归还模式，即借两次的会员15号前归还一次，月底归还第二次；借一次的会员在月底归还。在此前提下针对各种DVD愿意观看人数，利用lingo进行求解达到最大满意度时的分配方案，并且确定在达到最大满意度时每种DVD的张数。对于问题一，利用所提供的数据建立满足条件的模型求出DVD1至少6250、DVD2至少3125、DVD3至少1563、DVD4至少782、DVD5至少313才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能看到；这五种DVD满足：

2、 DVD1至少3959、DVD2至少1980、DVD3至少990、DVD4至少495、DVD5至少198才能保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD。对于问题二，利用0-1变量对光碟分配进行刻画，分到光碟记为1，否则记为0。再利用运筹学中供过于求的运输问题思想对各个变量满足的条件进行界定。对满意度进行定义，把每个会员对各张DVD的订购需求转化为满意度，再对每位会员满意度求和，和数最大时即为题目所求。对于问题三，因为既要满足一个月内的满意度最大，又要求出满足一个月内95%的会员得到他想看的DVD时网站提供DVD的数目最小，所以属于多目标规划问题，我们在预先规定网站租赁运行模式的基础上利用多

3、目标理论进行求解，得到满足要求的最佳分配方案和100种DVD各自的数目。 关键词：DVD在线租赁 lingo 0-1变量 多目标规划 一、 问题的重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行

4、分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：（1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢。表1 对100

5、0个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510（2）本题列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度。请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。（3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。二、问题的分析对于问题一，要求每种DVD的张数使其满足题目要求，我们首先

6、假定一种归还模式，即借两次的会员15号前归还一次，月底归还第二次；借一次的会员在月底归还。根据所给数据利用五种光碟租赁之间数目的独立性建立满足条件的模型即可解出。对于问题二，要求探求DVD的分配模式使会员获得最大满意度，我们先对满意度进行定义，然后用0-1变量对DVD分配情况进行刻画，若分得DVD记为1，否则记为0，再利用DVD供给和订单要求建立求和优化模型进行求解。对于问题三，因为掌握的数据只有1000张订单，我们首先利用概率论知识分析订单中的数据，在规定网站运行模式的基础上，对两个目标进行分别设定，最后利用运筹学中大M调和关系系数的方法整合成一个目标，利用所给条件进行最优求解。 三、模型假

7、设与符号说明1模型假设（1）网站的运行模式为：借两次的会员在15号前还第一次，第二次归还在月底，借一次的会员在月底还。（2）网站发给客户的所DVD都是自己喜欢的，即客户订单中所要求的DVD，发货时不存在发错现象，若出现缺货现象则不发货。（3）假设网站在每次会员提交的订单中对每种DVD的征订不会有较大差别，即各种DVD征订的比例不会有较大差别，保持恒定。2符号说明符号说 明网站发给客户第张DVD客户对第张DVD的满意度网站在发货时的总体满意度网站拥有第张DVD的总量四、模型建立与求解4.1问题1问题分析对于问题一第一问，根据题意，对五种光碟的借出是相互独立的，因为由假设每位会员借到的都是自己喜欢

8、的，那么DVD1的会员还会借其它的光碟，如若借到DVD2到DVD5则将其认为是剩余50%没有借到的。设为DVD1到DVD5满足要求的最少张数，为DVD1到DVD5愿意观看的人数。在本题中，其值分别为20000、10000、5000、2500、1000，根据一位会员对应一个光碟，则需满足：-（1）其中为借两次的会员所返还的。对于第二问，则由第一问知，应满足：-（2）根据各个DVD数量之间的的独立性，建立模型如下：4.1.2问题求解根据上述不等式（1）利用lingo求解（程序见附录1）得，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：DVD名称

9、DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5满足条件至少需要的张数625031251563782313根据上述不等式（2）利用lingo求解（程序见附录2）得，为保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5满足条件至少需要的张数395919809904951984.2问题24.2.1模型建立（1）满意度定义由题意可知，数字越小偏爱程度越高，而所给数据涉及“0”的问题（即此顾客对该DVD未提交订单），为解决这种情况的干扰，我们定义满意度为： ，其中为第位会员对第种光碟的满意度刻画（此处用数字进行刻画，数字越小代表偏

10、爱程度越大）。满意度最大即最大。（2）0-1变量的定义 。引进0-1变量（3）优化模型根据（1）、（2）分析可知优化模型如下：其中为第种光碟的张数。4.2.2模型求解用lingo求解，具体程序见附录3，结果为：偏爱度之和最大为24746对于前30会员（即C0001C0030）获得的DVD情况如下表所示：会员编号DVD编号C0001DVD8DVD41DVD98C0002DVD6DVD44DVD62C0003DVD32DVD50DVD80C0004DVD7DVD18DVD41C0005DVD66DVD68DVD11C0006DVD19DVD53DVD66C0007DVD26DVD66DVD81C0

11、008DVD31DVD35DVD71C0009DVD53DVD78DVD100C0010DVD41DVD55DVD85C0011DVD59DVD63DVD66C0012DVD31DVD2DVD41C0013DVD21DVD78DVD96C0014DVD52DVD23DVD89C0015DVD13DVD85DVD52C0016DVD84DVD97DVD10C0017DVD67DVD47DVD51C0018DVD41DVD60DVD78C0019DVD84DVD86DVD66C0020DVD45DVD89DVD61C0021DVD53DVD45DVD50C0022DVD57DVD55DVD38C0

12、023DVD95DVD29DVD81C0024DVD76DVD41DVD37C0025DVD9DVD69DVD94C0026DVD22DVD68DVD95C0027DVD58DVD78DVD80C0028DVD8DVD34DVD37C0029DVD55DVD30DVD26C0030DVD62DVD37DVD984.3问题34.3.1模型建立 对于问题3，首先假设网站所需要的100种DVD的总量分别为，依然满足所给表中的满意度条件和DVD供需总量之间的关系，即：假设每次想借第i张DVD的人数为，还要满足一个月内95%的会员得到他想看的DVD要求，假设对于每种DVD每次都能借出，在这1000张订单

13、中还要租赁第二次的占总数的比例为（也就代表会有人归还）即：根据问题三中的两个目标，利用多目标规划理论，建立模型如下：4.3.2模型求解借助第一题的条件，即借两次的客户占的比例为，由表中数据得出，利用lingo求解，得出100种DVD的总量如下表所示，DVD号DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9张数505552594752526056DVD号DVD10DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18张数545758516150566155DVD号DVD19DVD20DVD21DVD22DVD23DVD24DVD25DVD26DV

14、D27张数606957606556536052DVD号DVD28DVD29DVD30DVD31DVD32DVD33DVD34DVD35DVD36张数505858605255496558DVD号DVD37DVD38DVD39DVD40DVD41DVD42DVD43DVD44DVD45张数555652527162565463DVD号DVD46DVD47DVD48DVD49DVD50DVD51DVD52DVD53DVD54张数565653555664555955DVD号DVD55DVD56DVD57DVD58DVD59DVD60DVD61DVD62DVD63张数585965465162566263D

15、VD号DVD64DVD65DVD66DVD67DVD68DVD69DVD70DVD71DVD72张数655963545763605763DVD号DVD73DVD74DVD75DVD76DVD77DVD78DVD79DVD80DVD81张数514954525359495959DVD号DVD82DVD83DVD84DVD85DVD86DVD87DVD88DVD89DVD90张数464350544757445659DVD号DVD91DVD92DVD93DVD94DVD95DVD96DVD97DVD98DVD99张数645656546147576048DVD号DVD100张数52取得满意度最大的分配方

16、案如下表所示（以前30个会员为例）：会员编号DVD编号C0001DVD8DVD41DVD98C0002DVD6DVD44DVD62C0003DVD32DVD50DVD80C0004DVD7DVD18DVD41C0005DVD66DVD68DVD11C0006DVD19DVD53DVD66C0007DVD26DVD66DVD81C0008DVD31DVD35DVD71C0009DVD53DVD78DVD100C0010DVD41DVD55DVD85C0011DVD59DVD63DVD66C0012DVD31DVD2DVD41C0013DVD21DVD78DVD96C0014DVD52DVD23D

17、VD89C0015DVD13DVD85DVD52C0016DVD84DVD97DVD10C0017DVD67DVD47DVD51C0018DVD41DVD60DVD78C0019DVD84DVD86DVD66C0020DVD45DVD89DVD61C0021DVD53DVD45DVD50C0022DVD57DVD55DVD38C0023DVD95DVD29DVD81C0024DVD76DVD41DVD37C0025DVD9DVD69DVD94C0026DVD22DVD68DVD95C0027DVD58DVD78DVD80C0028DVD8DVD34DVD37C0029DVD55DVD30DVD

18、26C0030DVD62DVD37DVD98五、模型评价与推广5.1优点本模型在假定网站运行模式的基础上解决了网站中DVD在线租赁问题，利用文件操作的方式处理大量数据，得出满足要求的方案。方法简单易行，为解决实际中存在的具体问题提供思路，对现实中存在的类似问题具有较强的指导意义。 5.2不足之处由于题目中未明确指出网站具体的运行模式，所建模型是在假定一定运行模式的基础上进行的，在实际解决问题中还存在其他不同于假设的运行模式，可能带来问题的多解和异解情况，而且假定模型与实际情况可能存在一定偏差。5.3推广本模型在一定程度上的解决了网站中DVD在线租赁问题，稍加改进即可用于现实网络中其它商品在线销

19、售问题，对商店进货和具体运营方案有一定参考和应用价值。附录：1针对问题1第一问的模型求解sets:aaa/1.5/:f,x,c,t;endsetsdata:c=0.2 0.1 0.05 0.025 0.01;enddatamin=sum(aaa(i):x(i);for(aaa(i):t(i)=100000*c(i);for(aaa(i):gin(x(i);for(aaa(i):(x(i)+0.6*x(i)>=0.5*t(i);for(aaa(i):x(i)<=(t(i)-x(i);2针对问题1问题二的模型求解sets:aaa/1.5/:f,x;endsetsmin=sum(aaa(

20、i):x(i);for(aaa(i):gin(x(i);for(aaa(i):(4.8*x(i)>=0.95*100000);3针对问题2的模型求解sets:aaa/1.100/:g;bbb/1.1000/:c;links(aaa,bbb):x,v;endsetsdata:v=file('DVD处理数据1.txt');g=file('DVD处理数据2.txt');text('DVD处理数据3.txt')=x;enddatamax=sum(aaa(i):(sum(bbb(j):v(i,j)*x(i,j);for(bbb(j):for(aaa(i):bin(x(i,j);for(bbb(j):sum(aaa(i):x(i,j)=3);for(aaa(i):(sum(bbb(j):x(i,j)<=g(i);用Matlab将上述处理后的数据导入Excel进行读取，程序代码如下：clearclcfid=fopen('DVD处理数据3.txt','r');P=fscanf