重积分及其计算和多重积分

1、重积分和多重积分方法n 维空间中去 . 同样可以给出一列类似的结论在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的类似于第三节 ,我们先定义一个 R3 中集合的可求体积性 读者自己推广 . 这里将不再赘述 .引例设一个物体在空间 R3 中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为x,y,z ，现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域 V 分割为若干个可求体积的小区域 V1,V2,.,Vn，其体积分别是y, V2,，Vn，直径分别是d1,d2,.,dn , 即 di sup|WQ|W,Q Vi , （i=1,2,，n ） , |WQ| 表示 W, Q 两点的距离.设m

2、ax dd2,dn，则当 很小时，f x, y, z在V上的变化也很小.可以用这个小 区域上的任意一点 xi,yi,zi 的密度 f xi,yi,zi 来近似整个小区域上的密度，这样我们可 以求得这个小的立体的质量近似为 f Xj, yj,Zj Vi，所有这样的小的立体的质量之和即为 这个物体的质量的一个近似值.即nM f xi,yi,zi Vi.i1当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即nM lim0f xi ,yi ,zi Vi .0 i 1从上面的讨论可以看出， 整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的， 都是先分割， 再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.二、

3、三重积分的定义设f x,y,z是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域 V上的有界函数，将V任意分割 为若干个可求体积的小闭区域 VjVz,Vn，这个分割也称为 V的分划，记为P: V1,V2,.,Vn. Vi0 Vjo （空，i j）,其体积分别是 V1, V2,，Vn，直径分别是d1,d2,.,dn .设max d1 ,d2 ,.,dn,或记为|P|.在每个小区域中任意取一点Xi, yi, Zi V，作和nf xi, yi ,zi Vi （称为 Riemann 和），若当 0时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数 f x,y,z 在区域 V 上的三重积分 ，记为 f x, y, z dV

4、并称函数 f x,y,z 在V区域V上可积.f x, y,z称为被积函数，x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为f x,y,z dxdydzV我们同样可以引入 Darboux 大,小和 来判别可积 , 也有同样的结论 （略）.1. 若 f x,y,z 是有界闭区域 V 上的连续函数，则函数 f x,y,z 在区域 V 上可积2. 若 f x,y,z =1 时 , dxdydz V 的体积 .V3.若f x, y,z在有界闭区域V上的间断点集合是 0体积时，f x, y,z在V可积.三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下1可积函数的和（或差）及积仍可

5、积.和（差）的积分等于积分的和 （差）.2可积函数的函数 k倍仍可积.其积分等于该函数积分的 k倍.3 设是可求体积的有界闭区域，f x,y,z在 上可积，分为两个无共同点的可求体积的闭区域2之并，则 f x,y,z 在2 上可积，并有x,y,z dVf x, y,z dV1f x, y,z dV 2等等 .三重积分的计算方法同二重积分一样I(x)f x, y,z dydzDb存在 , 则I ( x)dxaf x, y,z dydz dx (记为bdxaDf x,y,z dydz)也存在 , 且 f x,y,z dVVbdx f x,y,zdydzaDbddxachdy f x,y,z dz.

6、e, 我们这里给出三重积分的计算方法 ,理论上的证明读者自己完成1. 利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论 .定理 12.14 若函数 f x, y,z是长方体 V=a,b x c,d x e,h上的可积，记 D=c,d x e,h,对任意x a,b,二重积分这时右边称为三次积分或累次积分 , 即三重积分化为三次积分 证明 分别中 a,b, c,d, e,h 插入若干个分点ax0x1x2xn b;c yo yiy2yme ZoZiZ2Zsh作平面 xXj, y yj,zZk,(i=0,1,2,，n; ,j i =0,1,2, - , m; k=0,1,2,，s,)得到 V 的一个分划 P.

7、令 VijkXi 1,Xi yj1,yj Zk 1,Zk, (i=1,2，n; ,j i =1,2,-, m; k=1,2,s,),M jk,mjk分别是f x, y, z在v*上的上，下确界那么在D jk yj 1, yj Zk 1, Zk上有mjk yj Zk f ( i,y,z)dydz Mjk yj ZkDjk其中Xi,= X - xi-1, yj,= y j - y j -1 , zk,= zk -zk-1, (i=1,2,n; ,j i =1,2，,m; k=1,2,s,).f( i ,y,z)dydz f ( i, y,z)dydz 1( Jj，k DjkDnmjk Xi yjZ

8、kI ( i) Xi MjkXiyjZki,j,ki 1i,j,kh若函数f x, y, z在V上的可积，那么 f x, y, z dV dz f x, y, z dxdy.VeDz设函F面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成.数f (x, y, z)在有界闭区域 上连.V = X1C 矽J Z图 12-4-2续，我们先讨论一种比较特殊的情况.xy,z|x,y D,Z| x, y z z> x, y，其中Dxy为 在xoy平面上的投影，且Dxy x, y | a x b,ydx) y y2 x.如图1 2.我们现在z轴上做积分，暂时将 x, y看成是常数把函

9、数f x,y,z看作是z的函数，将它在区间乙x,y ,Z2 x, y 上积分得到z x,yf x, y, z dz.Zi x,y显然这个结果是x, y的函数，再把这个结果在平面区域Dxy上做二重积分Z2 x,yf x, y, z dz dxdy.Zi x,yDxyDxy可以用不等式在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果若平面区域a x b, yi x yy? x 表示，则b y2 xZ2 x,yf x,y, z dV dx dy f x, y, z dz.yi xZi x,ya这个公式也将三重积分化为了三次积分.如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算.例1计算三重积分xdV，其中

10、 是由三个坐标面和平面 x y z 1所围的立体区域.解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为0 x 1,0y 1x,0z1 x y ,1 M所以积分可以化为1/-b V + 11 1x1x yxxdVdx0 0dyJ 0xdzX1 1x/ 1dx0 0x 1x y dy1 丫11 ,2dx/-x 10 2x1A Jf图 12-4-31 41 31 21-x-xx834024四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果：定理12.15 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)，是V到xyz空间R3中的

11、一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且(x,y,z)(u,v,w)0, (u, v, w) V (称为 Jacobi).u v z y _y y u v z z z z如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么f (x, y,z)dxdydzT(V)Vf (x(u,v,w), y(u,v, w),z(u,v, w)_(x,y,z)dudvdw(u,v,w)在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算.同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.设空间中有一

12、点 M x, y, z，其在坐标面xoy上的投影点 M'的极坐标为r,，这样三个数乙r,就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4).£iyX/A T图 12-4-4zM (x,y,z)M '图 12-4-5这里规定三个变量的变化围是注意到，当r 常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面.当=常数时，表示通过 z轴，与平面xoy的夹角为 的半平面.当z 常数时，表示平行于平面 xoy，与平面xoy距离为z的平面.空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系,即是R3到R3的映射xr cosyr sin .z z(x, y,z)cosr sin0所以其崖 Jacobi 为 -sinr

13、 cos0r,(r, ,z)001故容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则f x, y,z dV f r cos ,rsin ,zrdrd dz,VV其中，变换前后区域都用 V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来用三组坐标面r C1, C1,z C3将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和r dr两个圆柱面，极角为和 d的两个半平面，以及高度为z和z dz的两个平面所围成的.它可以近似的 看作一个柱体，其底面的面积为rdrd ，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素，

14、即dV rdrd dz.再利用两种坐标系之间的关系，可以得到f x,y,zdV f rcos ,rsin ,zrdrd dz.VV在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.例2计算三重积分x2 y2 dV，其中是由椭圆抛物面z 4 x2 y2和平面z 4所围成的区域.解如图所示，积分区域在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆.所0 r 1,02 ,4r2z 4 .于是x2 y2 dVr 2rdrd dz21 24dr rdr2 dz004r221352d4r4r dr003图 12-4-62.利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数r,来表示空间的一个点.设有直角坐标系的空间点

15、M x, y, z，点M在坐标面xoy上的投影M'，其中r|OM |,为x轴到射线OM'转角. 为向量0M与z轴的夹角.如图12-4-7 .规定三个变量的变化围是000r2 .我们可以看到，注意到，当r常数时,表示以原点为球心的球面当=常数时，表示通过z轴的半平面.当常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面.两种坐标系之间的关系如下：x rsin cosy r sin sinz r cos图 12-4-7即又是一个即是R3到R3的映射它的Jacobi是(x,y,z) (r,)sin cossin sincosr cos sin r cos cosr si nrsin sinr

16、sin cos0r 2sin由一般的重积分变换公式容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则f x, y, z dV f rsin cos ,r sin sin ,rcos r sin drd d ,VV其中，变换前后区域都用 V表示.用几何直观的意义可以如下理解：已知f(x,y,z)闭区域V上的可积函数.用三组坐标r 常数， 常数， 常数，将积分区域V划分为若干个小的区域.考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为r和r dr的球面，极角为和d的半平面，与中心轴夹角为和 d的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别是dr, rd , r sin d的小

17、长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为2dV r sin drd d .再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式2f x, y, z dV f rsin cos ,r s in sin ,rcos r sin drd dVV例3计算三重积分x2 y2 dV，其中是右半球面x2y2 z2a2, y 0所围成的区域.解在球面坐标下，积分区域可以表示为0 r a,0,0所以x2 y2 dV r2 sin2 r2 sin drd d与二重积分，三重积分一样可以定义一般n重积分我们这里只是简单介绍dad43r sin dr0 00a15d3sinr d0 05051345acoscosa

18、53015当V是R n中的有界闭区域.依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测(略).设f(X1, X2,xn,)是R n中的有界可测闭区域V上的函数，任取V的分划P,即把分成若干个可测小区域y,V2,Vm ,它们的”体积”或测度分别记为V1, V2,Vm,当令di supIQQI IQ1QVi| Q1Q2 |表示两点的距离,II P II max di, d2,dm对任取(x1(i),x2i),x() Vi,(i1,2, ,m),如果iiPm。f(Xi(i),x2i)xni) Vi存在，称f(xi, X2,xn,)是V上的可积函数.其极限值称为f(xi, X2,xn,)在V上的n重积分，

19、记为nnf(Xi,X2,Xn)dV或V特别 当 V=ai,bix a2,b2x-x an,bn时,nf (Xi,X2, ,Xn)dXidX2dXn.Vf (Xi , X2 , ,Xn)dXidX2 dXnbib2bndXi dX2f (Xi , X2 , , Xn )dXn.aia2an若V上有一一映射TXi Xi(Ui,U2,Un)T :X2 X2(Ui,U2,Un)，其每个分量的函数有连续偏导数,Xn Xn(Ui,U2,Un)当V是有界可测区域，f(xi, X2,xn,)在 T(V)上可积，并且 JacobiV(Xi,X2,Xn)(Ui,U2,Un)XiXiUiU2X2X2UiU2XnXn

20、UiU2XiUnX2UnXnUn0, (Ui,U2, ,Un) V那么nf (Xi , X2 ,Xn)dXidX2dXnT(V)f (Xi (Ui, U2 ,Un),X2(Ui,U2,Un),Xn(Ui,U2,Un)(Xi,X2, ,Xn)dUidU2 dUn(Ui , U2 , ,Un)特别是R n中的球坐标变换T : x1r cos 1, x2r sin 1 cos2, X3r sin 1 sin2 cosxn 1r sin 1 sin2 sin 3sinn 2 cos n 1 ,xnr si n1 sin2 sin 3sin n2 sin n 1,在R n中，0 r,01,2,3,n 2,0n 12 .这时的Jacobi是X1X1X1r1n 1(X1, X2,Xn)X2X2X2n 1 n 2 n(r,1 , n 1 )r1n 1r sin1 sinXnXnXnr1n 13,32同样可以得到相应的公式nsin4求X12dX1 dx2dXn.2X2Xn2 R2用球坐标.这时,0R,0,02X12X22XndX1 dx2R2dXndr d0