选修11椭圆的几何性质教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时知识点椭圆的几何性质及其应用椭圆的综合问题教学目标1掌握椭圆的简单几何性质2掌握椭圆离心率及其范围的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量3会用椭圆及其性质处理一些实际问题教学重点掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质教学难点椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质【教学建议】本节课采用创设问题情景学生自主探究师生共同辨析研讨归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探

2、索勇气根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度使用实物投影及多媒体辅助教学借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】画出椭圆1 (a>b>0)，你能从图中看出x，y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？二、知识讲解考点1 椭圆的简单几何性质考点1 单调函数的定义胞【问题导思】图中椭圆的标准方程为1(a>b>0)1椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴

3、，y轴为对称轴的轴对称图形2可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y0，得x±a，故A1(a，0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，b)，B2(0，b)3椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】xa，a，yb，b【知识梳理】1椭圆的简单几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点(±a，0)，(0，±b)(±b，0)，(0，±a)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点(±c，0)(0，±c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0)考点2 椭圆的标准方程1当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何

4、变化？【提示】b越小，椭圆越扁【知识梳理】椭圆的离心率为e(0e1)，当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆【教学建议】 教学时，可以先用焦点在x轴上的椭圆探讨几何性质，然后让学生独立探讨焦点在y轴上的椭圆的几何性质三 、例题精析类型一 椭圆的简单几何性质求椭圆x29y281的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆【思路探究】化为标准方程求a，b求几何性质【自主解答】把已知方程化成标准方程1，于是a9，b3，c6，所以长轴长2a18，短轴长2b6，离心率e，焦点为F1(6，0)，F2(6，0)，顶点为A1(9，0)，A2(9，0

5、)，B1(0，3)，B2(0，3)将方程变形为y±，根据y算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：x0369y32832240先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆【总结与反思】 1由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式2画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度例题1类型二 由椭圆的几何性质求方程求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,6)【思路探究】由几何性质寻求a，b，c关系求a，b得方程【自

6、主解答】(1)由题意：因为2c8，所以c4又因为08，所以a5，所以b29，焦点在x轴上时椭圆标准方程为：1；焦点在y轴上时椭圆标准方程为：1(2)由题意，得ac，bc，a2b2c2，解得a210，b25，所以焦点在x轴上时椭圆标准方程为：1；焦点在y轴上时椭圆标准方程为：1(3)设椭圆的标准方程为1或1又过点(2，6)，因此有1或1由已知a2b，得a2148，b237或a252，b213故所求的方程为1或1【总结与反思】1利用椭圆的几何性质求其标准方程，通常采用待定系数法其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数2当椭圆焦点位置不完全确定时，其

7、标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y轴上的情形例题2例题1求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e，短轴长为；【自主解答】(1)由题意知2c8，c4，所以e，所以a8，从而b2a2c248，所以椭圆的标准方程是1(2)由e，得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以椭圆的标准方程为1或1【总结与反思】在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法 例题1类型三 求椭圆的

8、离心率(1)椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_(2)已知F1、F2是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，F1PF290°，求椭圆离心率的最小值【思路探究】(1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径cb求解【自主解答】(1)椭圆的顶点为A(a，0)，B(a，

9、0)，焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，所以AF1ac，F1Bac，F1F22c因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2(ac)(ac)a2c2，即5c2a2，所以ac，所以离心率为e【答案】(2)解法一：设PF1m，PF2n，所以m2n24c2，又2amn，所以4a2m2n22mn2(m2n2)8c2，即a22c2，所以e所以emin解法二：设椭圆与y轴上方交点为B因为F1BF290°，所以cos F1BF20，即a22c2所以e，所以emin解法三：以F1F2为直径的圆的方程为：x2y2c2，由题意cb，所以c2a2c2，所以2c2a2，所以，所以e，所以emin

10、【总结与反思】1求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a，b，c的等式关系2求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a，b，c间的不等关系，然后利用定义或列出关于e的不等式进行求解，应注意e还应受到0<e<1的限制例题1类型四 椭圆的范围的应用设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P(0，)到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程【错解】依题意可设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，则e21，所以，即a2b设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2x2(y)2a2(1)y23y3(y)24b23所以当y时，d2有最大值，从而d也有最大值，所以4b23()2，由此解

11、得b21，a24于是所求椭圆的标准方程为y21【错因分析】错解中“当y时，d2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有byb，因此在求d2的最大值时，应分类讨论【防范措施】涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆1(a>b>0)，xa，a，yb，b；对于椭圆1(a>b>0)，xb，b，ya，a【正解】同错解得到d2x2(y)2a2(1)y23y3(y)24b23若b<，则当yb时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2(b)2，从而解得b>，与b<矛盾所以必有b，此时当y时，d2

12、有最大值，从而d有最大值，所以4b23()2，解得b21，a24于是所求椭圆的标准方程为y21四 、课堂运用【基础】1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是_2椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e_3若椭圆1的离心率为，则m等于_答案与解析1【解析】因为x21，所以焦点在y轴上，所以长轴端点坐标为(0，±)【答案】(0，±)2【解析】如图，F1B2F2为等边三角形，所以B2F2O60°，所以ecos 60°【答案】3【解析】因为1或1，所以m或【答案】或【巩固】1椭圆经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e，求椭圆

13、的标准方程2求椭圆4x29y236的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆3求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为答案与解析1【解】设椭圆的方程为1(ab0)，由e，即，得a2c，b2a2c23c2所以椭圆方程可化为1将A(2，3)代入上式，得1，解得c2，所以椭圆的标准方程为12【解】把椭圆的方程化为标准方程1可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a3，短半轴长b2，故半焦距c因此椭圆的长轴长2a6，短轴长2b4；离心率e，两个焦点的坐标分别是(，0)，(，0

14、)；四个顶点的坐标分别是(3，0)，(3，0)，(0，2)，(0，2)为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为y±(3x3)由y (0x3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：x0051152253y21971891731491110描点，再用光滑曲线顺次连结点，得到椭圆在第一象限的图形，然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图所示3【解】(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为1(a>b>0)，因为椭圆过点A(2，0)，所以1，a2，因为2a2·2b，所以b1，所以方程为y21若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(a>b>0

15、)，因为椭圆过点A(2，0)，所以1，所以b2，2a2·2b，所以a4，所以方程1综上所述，椭圆方程为y21或1(2)由已知，所以从而b29，所以所求椭圆的标准方程为1或1【提高】1已知椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为_答案与解析【解析】在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB|·|BF|·cosABF102822×10×8×36，则|AF|6由|AB|2|AF|2|BF|2可知，ABF是直角三角形，OF

16、为斜边AB的中线，c|OF|5设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|AF1|8由椭圆的性质可知|AF|AF1|142aa7，则e【答案】五、课堂小结1椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标2椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程3求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a，b，c的相等或不等关系，从而得出关于e的方程或不等式六、课后作业【基础】

17、1椭圆1的离心率是_2已知椭圆C1：1，C2：1，则下列说法正确的是_C1与C2顶点相同；C1与C2长轴长相同；C1与C2短轴长相同；C1与C2焦距相等3中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为_4若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率为e，则其标准方程为_5若椭圆1(0<m<9)的焦距为2，则m_答案与解析1【解析】e【答案】2【解析】由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4，0)，(0，±2)，长轴长为8，短

18、轴长为4，焦距为4只有正确【答案】3【解析】由题意得，解得，因为焦点在x轴上，所以所求椭圆的方程为1【答案】14【解析】依题意，得a2，e，所以c，所以b2a2c21【答案】x215【解析】因为0<m<9，所以9m()2，所以m6【答案】6【巩固】1设F1、F2是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为_2已知椭圆M：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且|·|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是_3已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos OFA，求椭圆的方程答案与解析1【解析】因为F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以PF2A60°，PF2F1F22c，所以AF2c，所以2ca，所以e【答案】2【解析】因为|2a，所以，所以2c