抛物线性质 (2)

1、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（p0）上一点，若）上一点，若点点M 的横坐标为的横坐标为x0，则点，则点M到焦点的距到焦点的距离是离是x0 + 2pOyxFM焦半径及焦半径公式焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在在y2=2px上，上， P(x0，y0)在在y2=-2px上上,P(x0，y0)在在x2=2py上上,P(x0，y0)在在x2=-2py上上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF xy抛物线的几何性质：抛物线的几何性质：XY XYXYXY例例1：已知抛物线已知抛物线y2=2x(1)设点设点A的坐标为的坐标为( ，0)

2、，求曲，求曲线上与点线上与点A距离最近的点距离最近的点P的坐的坐标及相应的标及相应的|PA|的值；的值；32(2)若若题题中中A(2,0)，则则结结果果如如何？何？例例2： 斜率为斜率为1的直线经过抛物的直线经过抛物线线y2 =4x 的焦点的焦点,与抛物线相交与抛物线相交于两点于两点A、B, 求线段求线段AB的长的长.6、焦点弦和通径、焦点弦和通径通径是焦点弦中最短的弦，通径是焦点弦中最短的弦，通径通径|AB|=2p设设AB是抛物线是抛物线y2=2px(p0)过焦点过焦点F的一条弦。设的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的的中点中点M(x0,y0),过过A,B,M分别向抛物线分

3、别向抛物线的准线作垂线，垂足为的准线作垂线，垂足为A1,B1,M1,则则yFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1A(x1,y1)(1)|AB|x1+x2+p (2)x1x2= ,y1y2= - p242pPBFAF2|1|1)3( XyFOB(x2,y2)MA1B1M1y2=2px(p0)三点共线三点共线三点共线三点共线11,)4(AOBBOAyFA(x1,y1)OB(x2,y2)MA1B1M1(5)证明证明:以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切y2=2px(p0)AM1B=Rt , A1FB1=Rt N练习练习1：已知抛物线方程为已知抛物线方程为y2=4x，直线，直线

4、l过定点过定点P（- -2，1），斜率为），斜率为k.则则k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y2=4x 只有一个公共点；有两个只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。公共点；没有公共点呢。提出问题提出问题 过抛物线过抛物线 的焦的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标为点的纵坐标为 ，求证：求证： . .（焦点弦的其中（焦点弦的其中一条性质）一条性质） pxy2221, yy221pyy 探究探究1 过焦点的直线具有上述性质，过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线反之，若直线AB与抛物线与抛物线 的两个交点的两个交点A，B的纵坐标为的纵坐标为

5、 ，且且 ，那么直线，那么直线AB是否经是否经过焦点过焦点F 呢？呢？ pxy22 21, yy221pyy 探究探究2 既然过抛物线焦点的直线与既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质他任意一定点，是否也有这个性质呢呢?探究探究3 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，且满足，且满足 ，问，问AB是否恒过是否恒过某一定点？某一定点？ pxy22 ),(),(2211yxByxA)(21为为常常数数kkyy pxy22 探究探究4 设抛物线设抛物线 上两动点上两

6、动点 ，且满足，且满足 ，求求AB中点中点P的的轨迹方程轨迹方程.),(),(2211yxByxA)(21为为常常数数kkyy pxy22 探究探究5 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，O为坐标原点，为坐标原点，OAOB，则直线，则直线AB是否过定点？是否过定点？求求AB中点中点P的轨迹方程的轨迹方程.),(),(2211yxByxApxy22 探究探究6 设抛物线设抛物线 上两动点上两动点 ，M为该抛物线为该抛物线上一定点，且上一定点，且MAMB，则直线，则直线AB是否过定点？是否过定点？),(),(2211yxByxA探究探究7 若若M为抛物线为抛物线 上一个定点，上一个定点，A、B是

7、抛物线上的两是抛物线上的两个动点，且个动点，且 (r为非零常为非零常数数)，求证：直线，求证：直线AB过定点。过定点。 22(0)ypx pMAMBkkr将将“探究探究6”的的 “ “直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之差为的倾斜角之差为900”变为变为“直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角的倾斜角之和为之和为900”，即，即 ，r =1,=1,直线直线AB过定点过定点. .MAMBMAMBkkr将将“探究探究6”的的 “ “直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角之差为的倾斜角之差为900”变为变为“直线直线MA与直线与直线MB的倾斜角的倾斜角之和为之和为1800”，直线，直线AB不过定点，不

8、过定点，但可得到：但可得到： MAMB探究探究8 若若M为抛物线为抛物线 上一个定点，上一个定点，A、B是抛物线上的两是抛物线上的两个动点，且直线个动点，且直线MA与直线与直线MB的倾的倾斜角互补，求证：直线斜角互补，求证：直线AB的斜率为的斜率为定值。定值。 22(0)ypx p设计意图：设计意图：培养学生研究数学问题培养学生研究数学问题的一般思想方法，一是考虑原命题的一般思想方法，一是考虑原命题的逆命题是否成立；二是考虑能否的逆命题是否成立；二是考虑能否把原命题进行一般推广；三是考虑把原命题进行一般推广；三是考虑从原命题条件中还能推出什么结论？从原命题条件中还能推出什么结论？四是考虑把原命

9、题进行适当变式进四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。行拓展。 问题问题 (2004年北京卷理年北京卷理) 过抛物线过抛物线 上一定点上一定点 ，作两条直线分别，作两条直线分别交抛物线于交抛物线于 .当当PA与与PB的斜率存在且倾斜角互补时，的斜率存在且倾斜角互补时，求求 的值，的值，并证明直线并证明直线AB的斜的斜率为非零常数率为非零常数.)0(22ppxy)0)(,(000yyxP),(),(2211yxByxA021yyy 变式变式1过抛物线过抛物线 上一定上一定点点 ，作两条直线分别，作两条直线分别交抛物线于交抛物线于 ，若直，若直线线AB的斜率为定值的斜率为定值 ，证明直线，证明直线

10、PA与与PB的倾斜角互补的倾斜角互补.)0(22 ppxy)0)(,(000 yyxP),(),(2211yxByxA0yp 设动直线设动直线AB：y=- -x+b与抛物与抛物线线 相交于两点相交于两点 ，问在直线问在直线MN：x=2上能否找到一定上能否找到一定点点P（坐标与（坐标与b 的值无关），使得直的值无关），使得直线线PA与与PB的倾斜角互补？的倾斜角互补？变式变式2),(),(2211yxByxAxy82 变式变式3 如图如图，抛物线，抛物线 ，过点过点P(1,0)作斜率为作斜率为k的直线的直线l交抛物交抛物线于线于A、B两点，两点，A关于关于x轴的对称点轴的对称点为为C，直线，直线

11、BC交交x轴于轴于Q点，当点，当k变化变化时，探究点时，探究点Q是否为定点？是否为定点？)0(22 ppxy练习练习1：如图，定长为如图，定长为3的线段的线段AB的两的两端点在抛物线端点在抛物线y2=x上移动，设上移动，设线段线段AB的中点为的中点为M，求点，求点M到到y轴的最短距离。轴的最短距离。练习练习2：正三角形的一个顶点位正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在于坐标原点，另外两个顶点在抛物线抛物线y2=2px(p0)上，求这个上，求这个三角形的边长。三角形的边长。变式：变式：已知在抛物线已知在抛物线y=x2上三个上三个点点A、B、C组成一个等腰直角三组成一个等腰直角三角形，且顶点角形，且顶点B是直角顶点，是直角顶点， (1)设直线设直线BC的斜率为的斜率为k，求顶点，求顶点B的坐标；的坐标； (2)求等腰直角三角形