数学经典易错题会诊与高考试题预测15

1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十五）考点15导数及其应用导数的概念与运算导数几何意义的运用导数的应用利用导数的几何意义利用导数探讨函数的单调性利用导数求函数的极值勤最值经典易错题会诊命题角度 1导数的概念与运算1（典型例题）设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2005(x) ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考场错解 选A专家把脉 由f1(x)=f0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx

2、)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.对症下药 选C2（典型例题）已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为 （ ）Af（x）=(x-1)3+32(x-1) Bf(x)=2x+1 Cf()=2(x-1)2 Df(x)-x+3考场错解 选B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）=2x+1.正确的是（2x+1）=2,所

3、以x=1时的导数是2，不是3。对症下药 选A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f(1)=33.(典型例题) 已知f(3)=2f(3)=-2，则的值为 （ ）A-4 B0 C8 D不存在考场错解 选D x3,x-30 不存在。专家把脉 限不存在是错误的，事实上，求型的极限要通过将式子变形的可求的。对诊下药 选C = 4（05，全国卷）已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f(x)=0的所有正数x从小到大排成数列；（2）记Sn是数列xnf(xn)的前项和。求考场错解 f(x)=e-x(cosx+sinx)+(e-x)(cosx+sin

4、x)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+（n=1，2，3，）从而xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n·=-e.数列f(xn)是公比为q=-e-的等比数列。专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正确的。对诊下药（1）证明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解

5、出x=n,(n为整数，从而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以数列|f(xn)|是公比q=-e-的等比数列，且首项f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)从而Sn=(-nqn)|q|=e-<1 qn=0,专家会诊1理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则 的运用。2复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整

6、式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。考场思维训练1 函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a= ( )A.2 B.3 C.4 D.5答案： D 解析：f(x)=3x2+2ax+3.令f(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3, 3(-3)2-6a+3=0,得a=5.2 函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是 （ ）A2 B-2 C4 D-4答案： C 解析：f(x)=3x2-8. x=2时的变化率是f(2)=3×22-8=4.3 满足f(x)=f(x)的函数是

7、 （ ）Af(x)=1-x Bf(x)=xCf(x)=0 Df(x)=1答案： C 解析：f(x)=0,0=0, f(x)=f(x).4 已知f(x)=ln|2x|, 则f(x)= ( )A. B. C. D. 答案： A 解析：当x>0时，f(x)=ln(2x), f(x)=cf(x)= .5已知函数f(x)=ln(x-2)-(1)求导数f(x) 答案： f(x)=(2)解不等式:f(x)>0答案：令f(x)=即（i）当a-1时，x2+2x-a>恒成立，x>2.(ii)当a>-1时，的解集为x|x>当-1<a8时，当a>8时，>2, x&

8、gt;.综合得，当a8时，f(x)>0的解集为（2，+）.当a>8时，f(x)>0的解集为（，+）.命题角度 2导数几何意义的运用1.(典型例题)曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_.考场错解 填2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，切线方程为y-1=x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=×2×2=2。专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。对症下药 填。f(x)=3x2 当x

9、=1时f(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2.联立得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（，0）。三条直线所围成的面积为S=×4×（2-）=。2（典型例题）设t0,点P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用t表示a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。考场错解 （1）函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).f(t)=g(t)t3+

10、at=bt2+c. 又两函数的图像在点P处有相同的切线，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.专家把脉 上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由、两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=

11、-t3(2)解法1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当y=(3x+t)(x-t)<0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。 由y<0,若t<0,则t<x<-,若t>0,则-<x<t.则题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t3或-3。即t-9或t3。又当-9<t<3时，函数y=f(x0-g(x)在（-1，3）上单调递增，所以t的取值范围（-，-9）（3，+）解法2 y=f(x)-g(x)=x3-

12、t2x-tx2+t3,y=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，且y=(3x+t)(x-t)0在(-1,3)上恒成立，解得 t-9或t3.3.(典型例题)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处有极值。（1）讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值。（2）过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。考场错解 （1）f(x)=3ax2+2bx-3.依题意f(1)=f(-1)=0.即 解得：a=1,b=0.f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)令f(x)=0.得x=&#

13、177;1.若x(-,-1) (1,+ )时，f(x)>0故f(x)在(- ,-1)和(1,+ )上都是增函数。若x(-1,1),则f(x)<0.故f(x)在（-1，1）上是减函数，所以f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值。（2） f(x)=3x2-3，过点A（0，16），因此过点A的切线斜率为k=-3.所求的切线方程是y=-3专家把脉上面解答第（2）问错了，错误原因是把A（0，16）当成了切点，其实A（0，16），不可能成为切点。因此过点A不在曲线，因此根求方程必须先求切点坐标。对症下药 （1）f(x)=3ax2+2bx-3，依题意f(1)=f(-1)=0即 解得 a=

14、1,b=0f(x)=x3+3x,f(x)=3x2-3=0.解得x=±1.又x(-,-1) (1,+)f(x)>0f(x)在(-,-1)与(1，+)上是增函数。若x-1,1时，f(x) 0,故f9x)在-1，1上是减函数。f(-1)=2是极大值。f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=f(x)=x3-3x,点A（0，16）不在曲线上。设切点M（x0,y0）,则点M在曲线上，y0=x30-3x0.因f(x0)=3x20-3.故切线的方程为y-y0=(3x20-3)(x-x0). 点A（0，16）在曲线上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化简得x30=-

15、8，得x0=-2.专家会诊设函数y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f(x0)，则过此点的切线的斜率为f(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。考场思维训练1 曲线y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为_.答案： x+y-2=0 解析: y=2-3x2.y|x=1=2-3=-1, 切线方程为y-1=-(x-1).即x+y-2=0.2 曲线y=x3在点（a,a3）(a0)处的切线与x轴，直线x=a所转成的三角形的面积为，则a=_.答案：±1 解析：曲线在（a,a3）处的切线斜率为3a2.切线方

16、程为y-a3=3a2(x-a).且它与x轴.x=a的交点为（）、（a,a3）,S=a4=1,解得a=±1.3 已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax2+bx(a0)(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围。答案： b=2时，h(x)=lnx-ax2-2x, 则h(x)=-ax-2=-函数 h(x)存在单调逆减区间，h(x)<0有解.又x>0,则ax2+2x-1>0有x>0的理.当a>0时，ax2+2x-1>0总有>0的解.当a<0,要ax2+2x-1>0总有>0的解.则=4

17、+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此时-1<a<0.综上所述,a的取值范围是（-1，0）（0，+）（2）设函数f(x)的图像C1与函数g(x)图像C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。答案：证法1.设点P、Q的坐标分别是（x1 、y1），（x2,y2）,0<x1<x2 .则点M、N的横坐标为x=C1在点M处的切线斜率为k1=|=,C2在点M处的切线斜率为k2=ax+b|假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2即所以ln则lnt=令r（t）=l

18、nt-则r(t)=- 因为t>1时，r(t)>0,所以r(t)在1，+上单调递增，故r(t)>r(1)=0.则lnt>.这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行,证法1得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因为x1>0,所以()ln().令t=,得(t+1)lnt=2(t-1),t>1 令r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t>1,则r(t)=lnt+-1.因为(lnt-)=-,所以t>1时,(lnt+)>0.故lnt+在1,+ 上单调递增.从而lnt+-1>0,即r1(t)>

19、;0.于是r(t)在1，+上单调递增.故r(t)>r(1)=0.即（t+1）lnt>2(t-1). 与矛盾，假设不成立。故C1在点M处的切与C2在点N处的线不平行.4 已知函数f(x)=|1-|,(x>0)(1)证明：0<a<b,且f(a)=f(b)时，ab>1;答案：由f(a)=f(b)得|1-|=|1-|.若1-与1-同号，可得1-=1-这与0<a<b矛盾.故1-与1-必异号，即-1=1-=2(2)点P（x0,y0）(0<x0<1)求曲线y=f(x)在点P处的线与x轴、y轴的正方向所围成的三角形面积表达式（用x0表示）。答案：0&

20、lt;x<1时，y=f(x)=| 1-|=-1.f(x0)=曲线y=f(x)在点P（x0,y0）处的切线方程为：y-y0=-(x-x0)即y=-切线与x轴、y轴、正向的交点为(x0(2-a0),0)和（0，）故所求三角形面积表达式为A（x0）=命题角度 3导数的应用1（典型例题）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间；（2）若f(x)在区间-2，2上最大值为20，求它在该区间上的最小值。考场错解 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)<0,解得x<-1或x>3,函数f(x)的音调递减区间为（-，-1）（3，+）（2）令f(x)

21、=0,得x=-1或x=3当-2<x<-1时,f(x)<0;当-1<x<3时，f(x)>0;当x>3时，f(x)<0.x=-1,是f(x)的极不值点，x=3是极大值点。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.f(x)的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.专家把脉 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大（小）值点，而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小）值，这显然是错误的。对症下药 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令f(x)<0,解得x<-1或x>3.

22、(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在-1，2因为在（-1，3）上f(x)>0,所以f(x)在-1，2上单调递增，又由于f(x)在-2，-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即函数f(x)在区间-2，2上的最小值为-7。2（典型例题）已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。考场错解 f(x)=3ax2+6x-1,因为f(x)在R上是减函

23、数，所以f(x)=3ax2+6x-1<0对任何xR恒成立。 解得a<-3.专家把脉 当f(x)>0时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如f(x)=-x3是减函数，f(x)=3x2并不恒小于0，（x=0时f(x)=0）.因此本题应该有f(x)在R上恒小于或等于0。对症下药 函数f(x)的导数：f(x)=3x2+6x-1.当f(x)=3ax2+6x-1<0对任何xR恒成立时，f(x)在R上是减函数。对任何xR,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且=36+12a<0a<-3.所以当a<-3时，由f(x)<0对任何xR恒成立时，f(x)在

24、R上是减函数。当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.由函数y=x3在R上的单调性知，当a=-3时，f(x)在R上是减函数。当a>-3时，f(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一个区间，所以当a>-3时，f(x)是在R上的减函数。综上，所求a的取值范围是（-，-3）。3（典型例题）已知aR,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。考场错解 f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+2)2-4(2a+1

25、)=a2-4a.当a2-4a>0,即a>4或a<0时，方程（*）有两个不相等的实数根x1、x2，因此函数f(x)有两个极值点。当a2-4a=,即a=或a=0时，方程（*）有两个相等实数根x1=x2。因此函数f(x)有一个极值点。当a2-4a<0,即0<a<4时，方程（*）没有实根，因经函数f(x)没有极值点。专家把脉 以上解法看似合理，但结果有误，原因就在于将驻点等同于极值点，方程f(x)=0的实根个数并不等价于f(x)的极值点的个数，要使驻点成为极值点，必须验证在此点两侧导数值异号，即函数在此点两侧的单调性相反，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易出错。

26、对症下药f(x)=ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1)令f(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,不妨设x1<x2.于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+ )F(x)+0-0+F(x)f(x1)有极大值f（x2）有极小值即此时f(x)有两个极值点。（2）当=0，即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)

27、x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2于是f(x)=ex(x1-x1)2.故当x<x1时，f(x)>0;当x>x1时，f(x)>0因此f(x)无极值。（3）当<0，即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0,故f(x)为增函数，此时f(x)无极值点，因此，当a>4或a<0时，f(x)有两个极值点，当0a4时，f(x)无极值点。4（典型例题）设函数f(x)=x-ln(x+m)其中常数m为整数。（1）当m为何值时，f(x)0;(2)定理：若g(x)在a、b上连续

28、，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程f(x)=0，在e-m-m,e2m-m内有两个实根。考场错解 令f(x)0,xln(x+m).mex-x m取小于或等于ex-x的整数。专家把脉 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时，f(x)0恒成立”，并不是对x的一定范围成立。因此，mex-x这个结果显然是错误的。对症下药 （1）函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+ )连续，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.当-m<x<1-m时，f(x)<0,f(x)为减函数；当x>1

29、-m时，f(x)>0,f(x)为增函数。根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x(-m,+ )都有f(x) f(1-m)=1-m，故当1-m=f()0,即m1时，f(x)0.即m1且mZ时，f(x)0.(2)证明：由（1）可知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又f(x)为连续函数，且当m>1时，f(e-m-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m>1时，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m

30、-3m>1+2m+-3m>0.(m>12m-1>1).类似地，当整数m>1时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上为连续增函数，且f(1-m)与f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+（1-m,e2m-m）使f(x2)=0.故当整数m>1时，方程f(x)=0在e-m-m,e2m-m内有两个实根。5（典型例题）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？考场错解 设容器的高为x,容器的容积为

31、V，则V=（90-2x）（48-2x）·x=4x3-276x2+4320xV=12x2-552x+4320=0 得x1=10,x2=36又x<10时，V<0,10<x<36,V>0,x>36时,V<0当x=36时，V有极大值V（36）<0故V没有最大值。专家把脉 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f(x)的符号时，计算错误，x<10,V>0;10<x<36,V<0;x>36,V>0.对症下药 设容器的高为x，容器的容积为V。则V=（90-2x）（48-2x）·x =

32、4x3-276x2+4320x (0<x<24)V=12x2-552x+4320由V=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36x<10时,V>0,10<x<36时，V<0,x>36时V>0.所以，当x=10时V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10时,V有最大值V（10）=1960。所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.专家会诊1证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个

33、别点上满足f(x)=0(或不存在但连续)其余点满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。2函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。3函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间a、b上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b

34、）上就不一定有最大值（或最小值）。4实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f(x)=0的解是最值点。考场思维训练1 已知mR,设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|x1-x2|对任意实数a-1，1恒成立。Q：函数f(x)=x3+(m+)x+6在（-,+ ）上有极值。求使P正确且Q正确的m的取值范围。答案：解：|x1-x2|=|x1-x2|3由题意，不等式|m2-5m-3|3的解集。由此不等式得m2-5m-3-3 或 m2-5m-33 不等式的解为0m5.不等式的解为m-1或m6.

35、因此，当m-1或0m5或m6时，P是正确的。对函数f(x)=x3+mx2+(m+)x+6求导f(x)=3x2+2mx+m+.令f(x)=0，即3x2+2mx+m+=0。此一无二次方程的判别式=4m2-12(m+)=4m2-12m-16若=0，则f'(x)=0有两个相等的实根x0，且f(x)的符号如下：X(-,x0)X0(x0+  )F(x)+0+因此f(x0)不是函数f(x)的极值若>0，则f'(x)=0有两个不相等的实x1和x2 (x1<x2)，且f'(x)的符号如下：X(-,x1 )X1X1X2X2(X2 -)F(x)+0-0+因此，

36、函数f'(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值综上所述，当且仅当A>0时，函数f(x)在(-，+)上有极值由A=4m2-12m-16>0得 m<-1或m>4，因此，当m<-1或m>4时，Q是正确的综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为 (-，-1)(4，5)6，+2 已知函数f(x)=0,1(1)求f(x)的单调减区间和值域；答案：对函数F(x)求导，得f'(x)=令f'(x)=0解得x=或x=当x变化时f'(x)、f(x)的变化情况如下表X0(0, )(,1)1F(X)-0+-4-3所以，当x(0，)时f

37、(x)是减函数； 当x(，1)时f(x)是增函数当x0，1时f(x)的值域为-4，3（2）设a1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x0,1若对于任意x10，1，总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.答案：对函数g(x)求导，得g'(x)=3(x2-a2)因为a1时，当x(0，1)时，g'(x)<3(1-a2)<0因此当x(0，1)时，g(x)为减函数，从而求x0，1时有g(x)1-2a-3a2,-2a任给x10，1,f(x1)-4，-3存在x00，1使得g(x0)=f(x0)，则1-2a-3a2，2a-4， -3即 3 已知函数f(x

38、)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1) 求函数f(x)的最大值；答案：函数的定义域为(-1，+),f(x)=-1，令f'(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时f'(x)> 0，当x>0时f'(x)<0，f(0)=0，故当且仅当a=0时,f(x)取得最大值，最大值为0(2) 设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)答案： g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，设F(x)=g(a)+g(x)-2g()则F'(x)=g'(x)-2g()=lnx-ln，当0&

39、lt;x<O，F'(x)<0因此F(x)在(0，a)上单调递减 当x>a时，F'(x)>0，因此F(x)在(a，+)上为增函数从而x=a时，F(x)有极小值F(a) 因为F(a)=0，b>a所以F(b)>0即0<g(a)+g(b)-2g() 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-lnx-ln2=lnx-ln(a+x) 当x>0，G(x)<0，因此C(x)在(0，+)上为减函数 因为G(a)=0，b>a，所以G(b)<0 即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln24 设函

40、数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR, (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值。答案： f'(x)=6x26(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因f(x)在x=3取得极值，所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3经检验当a=3时x=3为f)(x)的极值点（2）若f(x)在（-，0）上为增函数，求a的取值范围。答案：令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1当a<1时，若x(-，-a)(1，+)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-，a)和(1，+)上为增函数故当0o<1时f(

41、x)在(-，0)上为增函数5 某企业有一条价值a万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y万元与技改把风入x万元之间的关系满足y与（a-x）x2成正比例；当x=时，y=;0t,其中t为常数且t0,2.(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式，并求其定义域；答案： f(x)=8a2x212x3=(0x，t2)（2）求出增加值y的最大值，并求出此时的技改投入x值。答案： f'(x)=16a2x-36x2，令f(x)=0，得x=a，当t<1时f'(x)=36(x2-a2)<0(>a) f(x)在0，

42、上是减数， 当x=t时，ymas=f()=,当1t2时f'(x)=-36(x2-a2)<a 0<x< a 时f'(x)>0；<x时f'(x)<0，x=a时，ymax=f()=a3.探究开放题预测预测角度 1利用导数的几何意义1已知抛物线y=-x2+2,过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的面积最小，求l的方程。解题思路 设法用某个变量（如P点横坐标）去表示三角形的面积S，在利用函数关系式求最值就可以解决问题。解答 设P点坐标为（x0,-x20,+2）.y=-2x，过P点的切线方程为：y-(-x20+2)=-2x0

43、(x-x0) 令x=0得y=x20-x20+2=x20+2>0y=0得x=x0+S=(x20+2) (x0>0)=S=(3x20+4-) 令S=0得x0= 又0<x0<时，S<0; <x时S>0.当x0=时，S最小。把x0=代入得l的方程为：2x+3y-8=0.2由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn)(1) 求x1;(2) 求xn与xn+1满足的关系式；(3) 若a>0，试判断

44、xn与a的大小关系并说明理由解题思路 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、xn+1的递推关系，通过递推关系求出xn的通项公式，最后按n为奇数和偶数两种情况的讨论可得xn与a的大小关系。解答 （1）由y=x3-3ax2,得y=3x2-6ax过曲线上点P1（x1,y1）的切线L1的斜率为3x21-6ax1.L1的方程为y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1).又L1过原点，故有：-（x31-3ax21）=-x1(3x21-6ax1) 2x31=3ax21, x1=a(2)过曲线上的点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程是y-(x3n+1-3ax2n+1

45、)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1)Ln+1过曲线上点Pn(xn,yn).故x3n-3ax2n-(x3n+1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).即x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).xn-xn+10,x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1.x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0.xn+2xn+1=3a.(3)由（2）得xn+1=-xn+1-a=-(xn-a)故数列xn

46、-a是以x1-a=a为首数，公比为-的等比数列。xn-a=(-)n-1当n为偶数时，xn-a=-a(-)n<0. xn<a当n为奇数时，xn-a=-a(-)n>0. xn>a.预测角度 2利用导数探讨函数的单调性1已知mR,研究函数f(x)=的单调区间解题思路 先求f(x),再令f(x)>0和f(x)<0可解得函数的递增区间和递减区间。解答 记g(x)=-mx2-(m+3)x-3ex>0,只需g(x)的正负即可。（1）当m=0时，g(x)=-3x-3.当g(x)>0时，x<-1,f(x)>0当g(x)<0时，x>-1,f(

47、x)<0当m=0时，f(x)的增区间为（-，-1），减区间为（-1，+）。（2）当m0时,g(x)有两个根：x1=-,x2=-1.当m<0时，x1>x2,在区间（-，-1）(-,+)上，g(x)>0,即f(x)<0.f(x)在（-，-1）(-,+)上是增函数。在区间（-1，-）上，g(x)<0，即f(x)<0.f(x)在（-1，-）上是减函数。当0<m<3时，x1<x2.在区间（-，-）（-1，+）上g(x)<0,即f(x)<0.函数f(x)在(-, -)（-1，+）上是减函数，在区间（-，-1）上，g(x)>0，f

48、(x)>0.f(x)在（-，-1）上是增函数。m=3时，x1=x2.在区间(-, -1)（-1，+）上g(x)<0，f(x)<0。f(x)在x=-1处连续。f(x)在（-，+）上是减函数。当m>3时x1>x2。在区间(-, -1)（-，+）上，g(x)<0，f(x)<0。f(x)在(-, -1)（-，+）上是减函数。在区间（-1，-）上，g(x)>0，即f(x)>0.f(x)在（-1，-）上是增函数。2.已知函数f(x)=在x=1处取极值，且函数g(x)= 在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a的取值范围。解答 f(x)=x3-bx2-

49、(2+a)x+2a由f(1)=0得b=1-a.f(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a)若a=1时f(x)=(x-1)2(x+2). x(-2,1)f(x)>0 x(1,+ ),f(x)>0.x=1不是极值点。a1 又b=1-a.g(x)=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).当x<a时,g(x)<0,g(x)在(-,a)上递减，（a-6,2a-3）(-,a)a-6<2a-3a,-3<a3.综合，得a的范围为（-3，1）（1，3）。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数

50、，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在-1，0和4，5上有相同的单调性，在0，2和4，5上有相反的单调性。（1）求C的值；（2）在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解题思路 根据题设条件作出f(x)的图像知,f(x)有两个极值点，一个为x=0，另一个极值点在2，4之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b，解答（1）由题意可知f(x)在-1，0和0，2上具有相反的单调性。x=0是f(x)的一个极值点，故f(0)=0。即3ax2+2bx+c=0有一个解为x

51、=0c=0。（2）f(x)交x轴于点B（2，0）。8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f(x)=0，则3ax2+2bx=0,x1=0,x2=f(x)在0，2和4，5上具有相反的单调2-4， -6-3。假设存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b，则f(x0)=3b。即3ax20+2bx0-3b=0。=（2b）2-4×3a×(-3b)=4b2+36ab=4ab(+9)又-6-3,<0.不存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b。4已知函数f(x)=+（b-1）x2+cx(b,c为常数)（1）若f(x)在x(-,x1)及x

52、（x2+）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，又满足0<x2-x1<1.求证b2<2(b+2c).(2)在（1）的条件下，若t>x1,试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明。解题思路 由f(x)的单调性可知x1、x2是f(x)=0的两根，<x2-x1<1可证明（1），（2）可用作差比较法。解答 f(x)在x（-，x1）及x（x2,+ ）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，x=x1或x=x2是函数f(x)的极值点，即f(x1)=0，f(x2)=0。f(x)=x2+(b-1)x+c.x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，得又0&

53、lt;x2-x1<1,(x2-x1)2<1, 即(x1+x2)2-4x1x2<1.(1-b)2-4c<1.b2<2(b+2c)(2)由（1）有b=1-(x1+x2)·c=x1x2.(t2+bt+c)-x1=t2+1-(x1+x2)t+x1x2-x1=(t-x1)(t-x2+1).t>x1,x2-x1<1t-x1>0,x1<x1+1<t+1(t-x1)(t-x2+1)>0t2+bt+c>x1.预测角度 3利用导数求函数的极值和最值1已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上奇函数，当x=-1时，f(x)取得极

54、值2。（1）求f(x)的单调区间；（2）若对于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求m的最小值。解题思路 由题设条件易求得a、b、c的值。因此由f(x)>0和f(x)<0可求f(x)的单调区间。（2）若对于任意x1、x2-1，1，不等式|f(x1)- f(x2)|m恒成立，即|f(x1)- f(x2)| 是函数f(x)的最大值和最小值之差的绝对值。因此，这一问主要是f(x)在-1，1上的最大值和最小值。解答 （1）由f(-x)=-f(x)xR,f(0)=0即d=0.f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.由题设f（-1）=2为f(x)的极值，必有f(-1

55、)=0。 解得a=1,c=-3。f(x)=x3-3x.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f(x)>0，解得x>1或x<-1. f(x)<0，解得1-<x<1.f(x)在（-，-1）（1，+）上单调递增。f(x)在（-1，1）上单调递减。（2）用（1）知；f(x)=x3-3x在-1，1，恒有|x(x1)-f(x2)| M-N=2-(-2)=4.2.设函数f(x)是定义在-1，0 0，1上奇函数，当x-1，0时，f(x)=2ax+(a为实数)（1）当x（0，1）时，求f(x)的解析式；（2）若a>-1，试判断f(x)在0，1上的单调性；（3）是否存在a，使得当x（0，1）时，f(x)有最大值-6。解题思路（1）利用函数f(x)的奇偶性可求得x（0，1）时，f(x)的解析式；（2）可用导数法判断；（3）分a>-1和a-1两种情况讨论f(x)的最大值。解答（1）设x（0，1），则-x-1，0，f(-x)=-2ax+.f(x)是奇函数，f(x)= 2ax-，x（0，1