概率统计电子教案(5)

1、第二章第二章 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 在第一章中，我们在样本空间的基础上，研究在第一章中，我们在样本空间的基础上，研究了随机事件及其概率，但是，样本空间未必是数集，了随机事件及其概率，但是，样本空间未必是数集，不便于用传统的数学方法来处理。从本章开始，我不便于用传统的数学方法来处理。从本章开始，我们将通过随机变量来研究随机现象。由于随机变量们将通过随机变量来研究随机现象。由于随机变量本质上把样本空间转化成一个数集，因此可以借助本质上把样本空间转化成一个数集，因此可以借助于微积分等数学工具全面地、深刻地揭示随机现象于微积分等数学工具全面地、深刻地揭示随机现象的统计规律性。在

2、概率论中，描述随机变量取值的的统计规律性。在概率论中，描述随机变量取值的统计规律性的各种表达形式统称为分布。统计规律性的各种表达形式统称为分布。 本章介绍较简单、较直观的一类随机变量本章介绍较简单、较直观的一类随机变量离散型随机变量。主要内容如下：离散型随机变量。主要内容如下： 2.1 随机变量随机变量 2.2 概率函数概率函数 2.3 常用离散型随机变量常用离散型随机变量 2.4 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 2.5 随机变量的独立性与条件分布随机变量的独立性与条件分布 2.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.1 随机变量随机变量 通过第一章的学习，我们可能已经发现，许多

3、通过第一章的学习，我们可能已经发现，许多随机试验的结果都与实数密切联系。随机试验的结果都与实数密切联系。例如例如（1）抛一颗骰子出现的点数抛一颗骰子出现的点数 （2）抽样检查产品时发现的不合格品的个数）抽样检查产品时发现的不合格品的个数 （3）建筑物的寿命）建筑物的寿命 在这类随机试验中样本空间在这类随机试验中样本空间 是一个数集。是一个数集。但是，还存在许多随机试验，它们的试验结果从表但是，还存在许多随机试验，它们的试验结果从表面上看并不与实数相联系。面上看并不与实数相联系。 例如上抛一枚硬币，观察它落地时向上的一面，例如上抛一枚硬币，观察它落地时向上的一面，在这种情形下，样本空间在这种情形

4、下，样本空间 不是一个数集。但是我不是一个数集。但是我们可以人为地把试验结果与实数建立起一个对应关们可以人为地把试验结果与实数建立起一个对应关系。系。 从数学上看，上述对应关系犹如一个从数学上看，上述对应关系犹如一个“函数函数”，我们把它记作我们把它记作 ，即对于样本空间，即对于样本空间 中的任意中的任意一个元素一个元素 ，它对应的，它对应的“函数值函数值”为为 。)(X)(X正面反面10)(X 定义定义2.1 给定一个随机试验，给定一个随机试验， 是它的样本是它的样本空间。如果对空间。如果对 中的每一个样本点中的每一个样本点 ，有一个实数，有一个实数 与它对应，那么就把这样一个定义域为与它对

5、应，那么就把这样一个定义域为 的的单值实值函数单值实值函数 称为（一维）随机变量。称为（一维）随机变量。 我们把随机变量我们把随机变量X的值域记作的值域记作 。易见，。易见， 今后我们常用大写字母今后我们常用大写字母X、Y、Z等来表示随机变量。等来表示随机变量。引入随机变量之后，随机事件及其概率可以通过随引入随机变量之后，随机事件及其概率可以通过随机变量来表达。机变量来表达。 )(X)(XX X),(X例如，某厂生产的灯泡按国家标准合格品的使用例如，某厂生产的灯泡按国家标准合格品的使用寿命应不小于寿命应不小于1000小时。设事件小时。设事件A表示表示“从该厂产品从该厂产品中随机地取出一只灯泡，

6、发现它是不合格品中随机地取出一只灯泡，发现它是不合格品”。由。由于于 ，因此可用随机变量，因此可用随机变量X表示表示“随机取出一随机取出一只灯泡的寿命只灯泡的寿命”，这时，这时 ，随机事件，随机事件A可以可以表示成表示成 或或 ，相应的概率，相应的概率P(A)可以表示成可以表示成 或或 ，这里为了简化记号，我们把这里为了简化记号，我们把P()中的随机事件省略了中的随机事件省略了花括号。花括号。), 0), 0X)1000, 010000XX)1000, 0()10000(XPXP 一般地，对实数轴上任意一个集合一般地，对实数轴上任意一个集合S，如果，如果S对对应的样本点构成一个事件应的样本点构

7、成一个事件A，即，即那么，我们便用那么，我们便用 来表示事件来表示事件A，用，用 来表示事件来表示事件A的概率的概率P(A)。 这里要注意，集合这里要注意，集合S不一定是一个区间。在本课不一定是一个区间。在本课程范围内，程范围内，S常常取作一个区间（包括单点集）或常常取作一个区间（包括单点集）或若干区间之并。若干区间之并。ASX )(:SX )(SXP2.2 概率函数概率函数 从随机现象的可能结果来看，随机变量至少有从随机现象的可能结果来看，随机变量至少有两种不同的类型，一种是试验结果所可能取的只为两种不同的类型，一种是试验结果所可能取的只为有限个或至多可列个，我们能把其可能结果一一列有限个或

8、至多可列个，我们能把其可能结果一一列举出来。举出来。 如果一个随机变量只可能取有限个或可列无限如果一个随机变量只可能取有限个或可列无限个值个值(即它的值域是一个有限集或可列无限集即它的值域是一个有限集或可列无限集)，那，那么我们便称这个随机变量为么我们便称这个随机变量为(一维一维)离散型随机变量。离散型随机变量。 例如例如（1）投掷一颗骰子出现的点数投掷一颗骰子出现的点数 （2）某交通道口中午）某交通道口中午1小时内汽车的流量小时内汽车的流量 （3） n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数 （4） 我国一年内发生我国一年内发生3级以上地层的次数级以上地层的次数它们都是离散

9、型随机变量。它们都是离散型随机变量。 为了便于大家由浅入深地掌握研究随机变量取为了便于大家由浅入深地掌握研究随机变量取值的统计规律性值的统计规律性(即分布即分布)的方法，这里先介绍一维的方法，这里先介绍一维离散型随机变量的分布的表现形式离散型随机变量的分布的表现形式概率函数。概率函数。 设离散型随机变量设离散型随机变量X的值域为的值域为 ，对于每一个对于每一个 X取值为取值为 （即事件（即事件 ）的概率为的概率为 按照概率的定义与性质，按照概率的定义与性质， 自然应该满自然应该满足下列两个条件足下列两个条件 （） （）, 2 , 1i,21aaXiaX iaiipaXP)(,21pp, 2 ,

10、 1, 0ipi, 11iip 当满足这两个条件时，我们称当满足这两个条件时，我们称 为随机变量为随机变量X的概率的概率(质量质量)函数函数(或分布律或分布律)。随机变。随机变量量X的概率函数常常用下列表格来表示：的概率函数常常用下列表格来表示： 一般一般 的项不必列出。的项不必列出。 另外，为了便于另外，为了便于计算概率，通常把计算概率，通常把X的各种取值按从小到大的次序的各种取值按从小到大的次序排列。有时，也称此表格为随机变量排列。有时，也称此表格为随机变量X的分布列。的分布列。 0ip, 2 , 1,)(ipaXPii21aaX21ppPr 例例1 某位足球运动员罚点球命中的概率为某位足

11、球运动员罚点球命中的概率为0.8。今给他今给他3次罚球的机会，假定各次罚球是相互独立次罚球的机会，假定各次罚球是相互独立的。记随机变量的。记随机变量X为这位运动员罚球命中的次数，为这位运动员罚球命中的次数，求求X的概率函数。的概率函数。 解解 易见，易见，X的值域的值域 事件事件X=0表示表示“在在3次罚球中有次罚球中有0次命中次命中” 事件事件X=1表示表示“在在3次罚球中有次罚球中有1次命中次命中” 事件事件X=2表示表示“在在3次罚球中有次罚球中有2次命中次命中” 事件事件X=3表示表示“在在3次罚球中有次罚球中有3次命中次命中”3 , 2 , 1 , 0X这样，这样，X的概率函数为的概

12、率函数为 0.0080.0960.3840.5123210XrP(2)0.384(3)0.512P XP X096. 02 . 08 . 013) 1(008. 02 . 08 . 003)0(2130XPXP 在上例中，如果我们要求在上例中，如果我们要求“他至少有他至少有2次罚球命次罚球命中中”的概率，那么这个概率为的概率，那么这个概率为 一般地，对任意一个实数轴上的集合一般地，对任意一个实数轴上的集合S：这个公式表明，知道了一个随机变量的概率函数，这个公式表明，知道了一个随机变量的概率函数，便能算出任意一个概率便能算出任意一个概率 。正因为如此，概。正因为如此，概率函数也称为离散型随机变量

13、的（概率）分布。率函数也称为离散型随机变量的（概率）分布。 :()()iiiiaSi aSP XSP Xap)(SXP896. 0)3()2()2(XPXPXP2.3 常用离散型随机变量常用离散型随机变量一、二项分布一、二项分布 在在n重贝努利试验中，设随机变量重贝努利试验中，设随机变量X表示表示n次试次试验中事件验中事件A发生的次数，则发生的次数，则X的值域为的值域为 且且X的概率函数为的概率函数为称这个随机变量称这个随机变量X服从参数为服从参数为 的二项分布，记的二项分布，记作作 ，其中，其中 。, 1 , 0nX., 2 , 1 , 0,)1 ()(nkppknkXPknkpn,),(p

14、nBX10 p 例例2 已知某公司生产的螺丝钉的次品率为已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01，各个螺丝钉是否为次品是相互独立的，这家公司将各个螺丝钉是否为次品是相互独立的，这家公司将每十个螺丝钉包成一包出售，并承诺若发现某包内每十个螺丝钉包成一包出售，并承诺若发现某包内多于一个次品则可退货。问卖出的某包螺丝钉被退多于一个次品则可退货。问卖出的某包螺丝钉被退回的概率有多大回的概率有多大? 解解 设设X表示表示“某包中次品的个数某包中次品的个数”，则，则 所以所以)01. 0,10( BX 0043. 099. 001. 011099. 001. 00101) 1()0(1) 1(91100X

15、PXPXP二、二、0-1分布分布 在二项分布中，当在二项分布中，当n1时，称时，称X服从参数为服从参数为 的的0-1分布分布，记作，记作 ，这时这时 ，X的概率函数为的概率函数为 0-1分布有时也称为贝努利分布或两点分布分布有时也称为贝努利分布或两点分布。p), 1 (pBX1 , 0X1 , 0,)1 ()(1kppkXPkk 三、泊松分布三、泊松分布 若随机变量若随机变量X可取一切非负整数值，且可取一切非负整数值，且则称随机变量则称随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布。记的泊松分布。记作作 ，其中，其中 。 服从泊松分布的随机变量有很多，例如服从泊松分布的随机变量有很多，例如 （1）

16、公共汽车站等候的乘客数；）公共汽车站等候的乘客数； （2）显微镜下某个区域内细菌的个数；）显微镜下某个区域内细菌的个数； , 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk0)(PX 泊松分布和二项分布有着很密切的关系，下面泊松分布和二项分布有着很密切的关系，下面我们给出一个定理：我们给出一个定理： 定理定理2.1 (泊松定理泊松定理) 设设 。对于任意一个非负整数对于任意一个非负整数k： 定理的证明在此略去。定理的证明在此略去。10 , 0nnpnp!)1 (limkeppknkknnknn 例例3 分析病史资料表明，因患感冒而最终导致分析病史资料表明，因患感冒而最终导致死亡死亡(相互独立相互独立

17、)的比例为的比例为0.2%。试求，目前正在患。试求，目前正在患感冒的感冒的1000个病人中：个病人中： (1)最终恰有最终恰有4个人死亡的概率；个人死亡的概率； (2)最终死亡人数不超过最终死亡人数不超过2个人的概率。个人的概率。 解解 设设X表示表示“1000个病人中最终死亡的人数个病人中最终死亡的人数”，则则 ，我们可以把它近似地看作我们可以把它近似地看作 ，其中，其中 ，于是有，于是有)002. 0,1000( BX)(PX2 np (1)所求概率为所求概率为 (2)所求概率为所求概率为0902. 0! 42998. 0002. 041000)4(429964eXP6767. 02707

18、. 02707. 01353. 0)2() 1()0()2(XPXPXPXP四、超几何分布、超几何分布 设在设在N件产品中有件产品中有M件不合格品，从这批产品中件不合格品，从这批产品中随机地抽取随机地抽取n件产品作检查，则在这件产品作检查，则在这n件产品中出现件产品中出现的次品数的次品数X的取值为的取值为 ，则，则X的概率函的概率函数为数为 通常称通常称X服从参数为服从参数为N, M, n的超几何分布。的超几何分布。, 2 , 1 , 0nXMkNnknNknMNkMkXP,0,)( 其实，这种抽样检查方法实质上等价于无放回抽样。如其实，这种抽样检查方法实质上等价于无放回抽样。如果我们采用有放

19、回抽样的检查方法，那么这等价于果我们采用有放回抽样的检查方法，那么这等价于n重贝努利重贝努利试验，即试验，即n件被检查产品中不合格品数件被检查产品中不合格品数 ，其中其中 利用高等数学知识不难证明，当利用高等数学知识不难证明，当 时：时： 因此，在实际应用时，只要因此，在实际应用时，只要 ，就用二项分布来近似，就用二项分布来近似地描述产品抽样检查中的不合格品个数。地描述产品抽样检查中的不合格品个数。),(pnBXNMp NpM knknppknnNknMNkM)1 (limnN10 例例5 从积累的资料看，某条流水线生产的产品中，一从积累的资料看，某条流水线生产的产品中，一级品率为级品率为90

20、%。今从某天生产的。今从某天生产的1000件产品中，随机地抽取件产品中，随机地抽取20件作检查。试求：件作检查。试求： (1)恰有恰有18件一级品的概率；件一级品的概率； (2)一级品不超过一级品不超过18件的概率。件的概率。 解解 设设X表示表示“20件产品中一级品的个数件产品中一级品的个数”由于由于 因此，可以近似地认为因此，可以近似地认为 。因此所求概率因此所求概率 (1) (2) nN10)9 . 0,20( BX608. 0)20()19(1)18(1)18(285. 01 . 09 . 01820)18(218XPXPXPXPXP五、几何分布五、几何分布 在事件在事件A发生的概率为发生的概率为p的贝努利试验中，若以的贝努利试验中，若以X表示事件表示事件A首次出现时的试验次数，那么，首次出现时的试验次数，那么，X为随为随机变量，它的值域为机变量，它的值域为 ，它的概率函数为，它的概率函数为称随机变量称随机变量X服从参数为服从参数为p的几何分布。的几何分布。 几何分布也是重复独立地做贝努利试验产生的，几何分布也是重复独立地做贝努利试验产生的，只是试验次数预先不能确定，它是一个取正整数值只是试验次数