数列基础知识点和方法归纳

1、数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义： an 1and （ d 为常数）， ana1n1 d ，推论公式：等差中项：x， A， y成等差数列2 A x y ,等差数列前 n 项和： Sna1an nn n12na1d2性质： an是等差数列（ 1）若 mnp q ，则aman ap（下标和定理） 注意：要求等式左右两边项数相等aq；（ 2）数列 a2 n 1, a2 n , a2 n 1仍为等差数列， Sn， S2nSn， S3 n S2n仍为等差数列，公差为 n2 d ；（ 3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad ；（ 4）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分

2、别为 Sn， Tn ，则 amS2m 1 ；bmT2m 1（ 5） an 为等差数列San 2bn （ a，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数）nSn 的最值可求二次函数 Snan2bn 的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当 a10， d 0，解不等式组an0an 1可得 Sn 达到最大值时的 n 值.0当 a1 0， d0 ，由an0an可得 Sn 达到最小值时的 n 值.10(6)项数为偶数 2n 的等差数列an，有S2 n n(a1 a2 n )n(a2a2 n 1 )n(an an 1 )( an , an 1为中间两项 )Word 文档S偶S奇nd ，S奇a

3、n .S偶an 1（7）项数为奇数2n 1 的等差数列 an，有 S2n 1(2n1)an(an为中间项 ),S奇S偶an ，S奇n.n1S偶2. 等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q 0）， ana1 qn 1an.推论公式：等比中项 ： x、 G、 y 成等比数列G2xy ，或 Gxy.等比数列中奇数项同号，偶数项同号等比数列前 n 项和公式 ：性质： an是等比数列（ 1）若 mnpq ，则 am· anap· aq (下标和定理 )注意：要求等式左右两边项数相等。（ 2） Sn， S2nSn， S3nS2n仍为等比数列 ,公比为 qn 。.

4、（ 3） an 是正项等比数列，则注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？n 1 时， a1 S1 ；n 2 时， anSnSn 1.Word 文档3. 求数列通项公式的常用方法（ 1) 定义法求通项公式 ( 已知数列为等差数列或等比数列）（2）已知 Sn 与 n的关系sn与 an的关系时求 anans1 (n1)或，。snsn 1(n 2)例：数列的前项和求数列的通项公式 ;解：当时，当时数列的通项公式为练习：设数列的前项和为，且求数列的通项公式。（3）求差（商）法Word 文档例：数列 an ， 1 a112 a21nan2n5，求 an222解： n 1 时， 1 a12 1 5 ， a

5、11421 a112a21n an2n 5222n 2 时，11a21a1222n 1 an 12n 1 52 得： 1an2， an2n 1， an14 (n1)2n 1 (n2)2n练习：在数列中，,求数列的通项公式。(4)累乘法形如的递推式由an 1f (n) ，则a2a3f (2) Lan 1f ( n)ana1f (1)La2anan1n两边分别相乘得，a1f (k)a1k1例：数列 anan 1n，求 an中， a1 3nan1解 a2·a3an1·2n 1 ， an1 又 a13， an3a1 a2an 12 3na1nn ., 求数列的通项公式。练习：已知（

6、5）累加法Word 文档形如的递推式。由 anan1f ( n) a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)a3a2f (3)n 2 时，两边相加得 an a1 f (2) f (3)f (n)anan1 f (n) ana0f (2)f (3)f (n)例：已知数列满足,（2）求数列的通项公式练习：已知数列中，（）求数列的通项公式；（ 6）构造法形如 ancan1 d （ c、d 为常数， c0 c1 d0）的递推式。可转化为等比数列，设 anx c an1xancan 1c1 x令 (c1)xd ， xd， and是首项为 a1dc 为公比的等比数列c1c1c1 anda1d

7、83; cn 1 ， ana1cdcn 1dc1c11c1例满足，.求数列的通项公式；：已知数列解：（1），而，故数列是首项为2，公比为2 的等比数列，因此Word 文档练习 1：，求数列an 的通项公式。练习 2：已知数列 a 满足 an 12an3 5n ， a6 ，求数列an的通项公式。n1（ 7）倒数法例： a1，an 12an，求 an1an2由已知得：1an211， 111an 12an2 anan 1an21为等差数列， 11，公差为 1 ， 11 n 1·11 n 1 ， an2ana12an22n 1练习：已知数列的首项，。总结：公式法、利用 anS1(n 1)Sn

8、 Sn 1 ( n 2) 、累加法、累乘法. 构造等差或等比an 1 pan q 或an 1panf ( n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法。Word 文档4. 求数列前 n 项和的常用方法（1）定义法 ：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和等差数列前 n 项和： Sna1an nn n12na1d2等比数列前n项和公式：常见公式：,（ 2）错位相减法给两边同乘以一个适当的数或者式，然后把所得的等式与原等式相减，对应项互相抵消，最后得出前n 项的和.一般适用于an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列anbn （差比数列）前 n 项和，可由 SnqSn ，求 Sn ，其中 q

9、 为 bn的公比 .Word 文档例： Sn1 2x 3x24x3nx n 1x·Snx 2x23x34 x4n 1 xn 1nxn 1 x Sn1 x x2xn 1nxnnn1xn n1nx ， x1 时， Snx 1 时， Sn21 2 3n1x1x2练习：已知数列是等差数列，是等比数列，且，（ 1）求数列和的通项公式（ 2）数列满足，求数列的前项和(2) 裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。常见形式：若an是公差为d的等差数列，则Word 文档n1如： an 是公差为 d 的等差数列，求k 1 akak 1解：由11111d0ak&

10、#183;ak 1 ak akdd akak 1n1n 1 111 1 11 111k 1 d akak 1d a1a2a2 a3anan 1k 1 ak ak 1111da1an1练习： 已知数列的前 n 项和，求数列的通项公式；求数列的前 n 项和。（ 3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 .Sna1a2an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a1x2练习已知f ( x)1x2 ，则f (1)f (2) f1f1f (4)1f (3)3f2412x2x2由 f ( x)1x11f1 x2121 x21 x2x1x原式f (1)f (2) f 1f (3)f 1f (4) f 111113123422（ 3）分组求和法有一类