排列组合难例题

1、精选优质文档-倾情为你奉上第十二章 排列组合二项式定理、概率统计难题荟萃 例1、某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有_次【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法由分步计数原理

2、得：1×5×4×4200种【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位例2 在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST”的路线的条数与“TSETNOC”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T走到边上的C共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC”路线共有2664条所以本题的答案为64×21127【评述】例9的这种计

3、数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法例3：在正方形中，分别为各边的中点，为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？ 思路分析 根据三角形的类型分为三类：直角三角形有共种；以边为底的三角形共种；过中点和中心的三角形有 共种。由加法原理得，共有种不同类型的三角形。简要评述 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组合中的几何问题，在具体方法上是运用

4、了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。例4：在多项式的展开式中，含项的系数为多少？解1 ，所以含项的系数为 。解2 ，所以含项的系数为 。解3 由组合原理 。简要评述 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。例5：从数字中，随机抽取个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为多少？思路分析 本题的基本事件是由个不同的数字允许重复而且含的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有个。设三个数字之和等于的事件为，则分为六类：数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码组成不同

5、的三位数有个，根据加法原理，事件共有个。故。简要评述 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。例6：若则 ， 。思路分析 将条件等式的左右两边比较，可知变形。利用赋值法，令，则有；令，则有。简要评述 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。例7：鱼塘中共有条鱼，从中捕得条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出条鱼，发现其中有条标志鱼。（1）问其中有条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用表示）？思路分析 （1）由题意可知，基本事件总数为。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼条，无标志的鱼条，

6、从而在捕出条鱼中，有标志的条鱼有种可能，同时无标志的条鱼有种可能，则捕出条鱼中有条鱼共有种可能。所以概率为。 （2）由分层抽样可知，（条）。简要评述 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。例8：某宾馆有间客房，现要安排位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件：指定的个房间各有人；（2）事件：恰有个房间各有人；（3）事件：指定的某房间中有人；（4）事件：一号房间有人，二号房间有人；（5）事件：至少有人在同一个房间。思路分析 由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有种等可能的

7、方法，根据乘法原理，个人进住个房间有种方法，则（1）指定的个房间中各有人有种方法，。（2）恰有个房间各有人有种方法，。（3）从人中选人的方法有种，余下的人每人都可以去另外的个房间中的任一间，有种方法，。（4）从人中选人去一号房间的方法有种，从余下人中选人去二号房间的方法有，再余下的人可去个房间中的任一间，。（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有人在同一个房间”的反面是“没有人在同一个房间，即恰有个房间各有人”，。简要评述 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。（理）例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为，被乙解出而丙解不

8、出的概率为，被甲、丙两人都解出的概率是。（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求该题被解出的概率以及解出该题人数的分布列和数学期望。思路分析（1）设分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则有即由此方程组解得所以该题被乙独立解出的概率为。（2）记为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则。，。所以随机变量的分布列为：期望为。简要评述 本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一个随机变量“”所对应的具体随机试验的结果。（理）例10：某一汽车前进途中要经过个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是，遇到绿灯的概率是。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？（2）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多少？思路分析 根据相互独立事件同时