2019-2020年高中数学223向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测新人教A版必修

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2019-20202019-2020 年高中数学年高中数学 2.2.32.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时跟踪向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测检测 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的线性运算211用已知向量表示其他向量57共线向量定理的运用1、46、8、10综合问题39、12131平面向量a a，b b共线的充要条件是()Aa a，b b方向相同Ba a，b b两向量中至少有一个为零向量C存在R R，b b a aD存在不全为零的实数1、2，1a a2b b0解析：注意向量a a，b b是否

2、为零向量，分类讨论若a a，b b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数1、2，使得1a a2b b0；若a a0，则由两向量共线知，存在0，使得b ba a，即a ab b0，符合题意，故选 D.答案：D2化简 4(a ab b)3(a ab b)b b()Aa a2b bBa aCa a6b bDa a8b b解析：原式4a a4b b3a a3b bb ba a8b b.答案：D3给出下面四个结论：对于实数m和向量a a，b b，恒有m(a ab b)ma amb b；对于实数m，n和向量a a，恒有(mn)a ama ana a；若ma amb b(mR R)，有a ab b

3、；若ma ana a(m，nR R，a a0)，有mn.其中正确的结论个数是()A1B2C3D4解析：正确因为实数与向量的积满足分配律精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业正确因为实数与向量的积满足结合律错误因为若m0，则a a，b b可以是任意向量正确因为由ma ana a，得(mn)a a0，又a a0，所以mn0，即mn.故选 C.答案：C4 已知向量a a，b b， 若ABa a2b b，BC5a a6b b，CD7a a2b b， 则一定共线的三点是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D解析： BCCD5a a6b b7a a2b b2a a4b b2(a a2b

4、b)2AB， 即BD2AB， BDAB.又BD，AB都有公共点B，A，B，D三点共线答案：A5若APtAB(tR R)，O为平面上任意一点，则OP_.(用OA，OB表示)解析：APtAB，OPOAt(OBOA)，OPOAtOBtOA(1t)OAtOB.答案：(1t)OAt OB6设a a，b b是两个不共线的非零向量，若向量ka a2b b与 8a akb b的方向相反，则k_.解析：由题意知，ka a2b b(8a akb b)(0)(k8)a a(2k)b b0.又a a，b b不共线，k80，2k0，解得12，k4.答案：47.如图在边长为a a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，C

5、D中点，设AEa a，AFb b，试用a a，b b表示向量AB，AD.解：因为AEAB12ADa a，AF12ABADb b，所以2ABAD2a a，AB2AD2b b.解得AB43a a23b b，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业AD43b b23a a.8已知e e10，R R，a ae e1e e2，b b2e e1，则a a与b b共线的条件是()A0Be e20Ce e1e e2De e1e e2或0解析： 当e e1e e2时， 易知a a与b b共线； 若e e1与e e2不共线， 设a akb b， 则有e e1e e2k2e e1，即(12k)e e1e e20，

6、于是12k0，0，所以k12，0.因此若a ab b，则e e1e e2或0.故选 D.答案：D9在四边形ABCD中，ABa a2b b，BC4a ab b，CD5a a3b b，其中a a，b b不共线，则四边形ABCD为()A梯形B平行四边形C菱形D矩形解析：ABa a2b b，CD5a a3b b，因为a a与b b不共线，所以AB与CD不共线所以AB与CD不平行又ADABBCCD8a a2b b，显然AD2BC.所以ADBC.所以四边形ABCD为梯形故应选 A.答案：A10.如图，在ABC中，D，E分别在AB，AC上，且ADABAEAC13，则DE_BC.解析：ADABAEAC13，A

7、A，ADEABC.DEBC13.又DE与BC同向，DE13BC.答案：1311已知向量a a，b b.(1)计算：6a a4a ab b5(2a a3b b)(a a7b b)；(2)把满足 3x x2y ya a，4x x3y yb b的向量x x，y y用a a，b b表示出来解：(1)原式6a a(4a ab b10a a15b b)a a7b b精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业6a a(6a a14b b)a a7b b6a a6a a14b ba a7b b13a a7b b.(2)3x x2y ya a，4x x3y yb b，43，得(12x x8y y)(12x x9

8、y y)4a a3b b，即y y4a a3b b，代入式，得x x13(a a2y y)13(a a8a a6b b)3a a2b b，x x3a a2b b，y y4a a3b b.12.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明：F、G分别是AB、AC的中点，FG12BC.同理，EH12BC.FGEH.四边形EFGH为平行四边形13已知ABC中，ABa a，ACb b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OPOAa ab b，0，)试问动点P的轨迹是否过ABC内的某一个定点？说明理由解：以AB，AC为邻边作ABDC

9、，设对角线AD、BC交于点E，AE12AD12(a ab b)由OPOAa ab b得到OPOAAP212(a ab b)2AE，0，)，AP与AE共线由0，)知道动点P的轨迹是射线AE，必过ABC的重心1向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题3用已知向量表示其他向量的方法精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2019-20202019-2020 年高中数学年高中数学 2.2.32.2.3 向量的数乘练习向量的数乘练

10、习 （含解析含解析） 苏教版必苏教版必修修4 4情景： 我们已经学习了向量的加法， 请同学们作出aaa和(a)(a)(a)(与已知向量a相比)思考：相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？1实数与向量a的积是一个向量，记作_答案：a2|a|_答案：|a|3当_时，a与a方向相同；0 时，a与a方向_；当_时，a0(a0)答案：0相反04实数与向量的积的运算律中，结合律是_，它的几何意义是_.答案：(a)()a将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|倍， 再伸长或压缩|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍所得结果相同5第一分配律是_，几何意义是_.答案：()aaa将表示向量

11、a的有向线段伸长或压缩|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍后相加， 和直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|倍所得结果相同6第二分配律是_，几何意义是_.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业答案：(ab)ab将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|倍，再相加所得结果相同7向量b与非零向量a共线的等价条件是_答案：存在唯一实数使ba8 向 量 线 性 运 算 是 指 向 量 的 _ 运 算 ， 几 何 意 义 是_答案：加、减、数乘将表示两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|1|，|2|倍，再相加(或相减)，最后再伸长或缩

12、短|倍，与将表示这两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|1|，|2|倍，再相加(或相减)所得的结果相同9与非零向量a共线的单位向量是_答案：a|a|实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0 时，a与a方向相同；当0 时，a与a方向相反；当0 时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘实数与向量的积的定义可以看做是数与数的积的概念的推广 数与向量的积还是一个向量，a与a同向(0)或反向(0)时，判断两个向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数和其中的一个向量的积能够把另一个向量表示出来向量数乘运算律设、为实数，那么：精选优

13、质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似， 只是实数乘向量的分配律由于因子的不同可分为： 第一分配律， 即()aaa； 第二分配律， 即(ab)ab.共线向量定理如果有一个实数， 使ba(a0)， 那么b与a是共线向量； 反之， 如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.基础巩固1设、R，下面叙述不正确的是()A(a)()aB()aaaC(ab)abDa与a的方向相同(0)答案：D2|ab|a|b|(b0)成立的等价条件是()Aba且(，0)Bab且0，)Cba且(

14、，0Dab且(，0答案：D3 在ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点， 若BEmABnAC， 则mn_精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解析：如图，BEAEAB12ADAB12(ABBD)AB12AB12BD12AB14BC12AB14(ACAB)34AB14AC.m34，n14.mn12.答案：124已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是_答案：共线5若a，b是已知向量，且13(3a2c)414cba6b0，则c_答案：6(ab)6已知向量a、b不共线，实数x、y满足等式 5xa(8y)b4xb3(y9)a，则x_，y_答案：3

15、4精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业7 已知平面上不共线的四点O，A，B，C， 若OA2 015OB2 014OC0， 则|AB|BC|_答案：xx8化简：7612a37b76a12（3a2b）23ab_答案：09已知OAa，OBb，C为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示OD的表达式为OD_答案：4a5b9能力升级10 已知O，A，B是平面上的三个点， 直线AB上有一点C， 满足 2ACCB0， 则OC()A2OAOBBOA2OBC.23OA13OBD13OA23OB答案：A11已知向量a、b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定

16、共线的三点是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D解析：ABa2b，BDBCCD2a4b2AB，A、B、D三点共线答案：A12向量OAa，OBb，a、b不共线，则AOB的平分线OM可表示为()A.a|a|b|a|B.ab|ab|C.|b|a|a|b|a|b|精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业Da|a|b|b| (由|OM|确定)解析：因a|a|与b|b|均是单位向量，以这两个向量为邻边的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分对角只有 D 项才表示AOB的平分线向量答案：D13O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAAB|AB|AC|AC|，0，

17、)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心C重心D垂心解析：AB|AB|是与AB同向的单位向量，AC|AC|是与AC同向的单位向量以A为共同起点，以这两个单位向量为邻边作出菱形AB0P0C0， 则它们的和向量AB|AB|AC|AC|即菱形的对角线所确定的以A为起点的向量AP0，同时由菱形的对角线平分一组对角知AP0平分BAC.AB|AB|AC|AC| AP0(0)，与以A为起点的AP0同向的向量APOPOAAP0(0)，故点P的轨迹是BAC的平分线(含点A)故通过内心答案：B14过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若ADxAB，AEyAC，xy0，则1x1y的值为_解析：

18、不妨设过ABC的重心所作直线与BC平行，则AD23AB，AE23AC，故xy23，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以1x1y32323.15已知非零向量e1，e2不共线，且ABe1e2，BCke1 8e2，CD3(e1e2)若A、B、D三点共线，试确定实数k的值解析：BDBCCDke18e23(e1e2)(k3)e15e2，又A、B、D三点共线，存在唯一实数，使得ABBD，即e1e2(k3)e15e2，即(k3)1e1(15)e2.又e1，e2不共线，（k3）10，150.则k2，15.k2.16设a，b是不共线的两个非零向量(1)若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若 8akb与ka2b共线，求实数k的值(1)证明： ABOBOA(3ab)(2ab)a2b，