例析函数的最值在解高考题中的应用

1、例析函数的最值在解高考题中的应用（ 适合高三）吴强（山东省泰山外国语学校 271000）应用数学处理物理问题的能力，这是考试大纲物理学科要考查的能力之一。解物理极值问题一般有两种方法，一种是利用各种数学工具的数学方法，另一种是通过分析物理现象的发生、发展过程，抓住物理概念和规律的特点而求解的物理分析方法。在此，笔者就前者谈点教学中的做法，供参考。例1（08年重庆高考题改编）滑板运动是一项非常刺激的水上运动，如图1所示，研究表明，在进行滑板运动时，当滑板与水平方向的夹角为（板前端抬起的角度）时，水对滑板的作用力FN垂直版面，大小为FN=sv2sin2，式中为水的密度，s为滑板的滑水面积，v为滑板

2、的速度（水可视为静止）。某次运动中，在水平牵引力的作用下，滑板做匀速直线运动，人和滑板的总质量为108kg,s=0.12m2,=1.0×103 kg/m3.试求（重力加速度g=10m/s2,忽略空气阻力，设滑板是光滑的） 滑板的最小速度； 图1滑板具有最小速度时，水平牵引力的大小；滑板具有最小速度时，水平牵引力的功率。 图1解析 以人和滑板为研究对象，其受力分析如图2所示，有共点力的平衡条件可得： FN cos=mg FNsin=F 而 FN=sv2sin2 有以上三式得v= 图2 欲求v的最小值，则应求sin2cos的最大值，令y=sin2cos 为锐角则 y2=sin4cos2

3、= =当且仅当时取等号，即时函数y有最大值。将该最大值和题中所给的数据代人式得滑板的最小速度 4.84m/s 滑板具有最小速度时，水平牵引力的大小有式得将tan=和题给数据得F=1527N由P=Fv,将F=1527N和4.84m/s代入得滑板具有最小速度时，水平牵引力的功率为7390W评析：本题以水上运动为背景考查了共点力的平衡、力的分解和功率的简单计算。利用不等式的性质求极值，这是数学中常用的方法。本题的难度在于数学的恒等变形，关键在于构造出求积的各项和为定值。例2 （07年山东高考题改编）在等量同种电荷连线的中垂线上有A、B两点，如图3所示，下列结论正确的是 A. EAEB,方向相同 图3

4、B. EA不可能等于EB,且方向相反 C. EA和EB大小可能，但方向相反D. EA和EB有可能大小相等，方向相同 图3解析 设两点电荷间的距离为2a，电荷的电荷量为q, 在等量同种电荷连线的中垂线上有一点p,p点与点电荷的连线与等量同种电荷连线的夹角为，两电荷在p点产生的场强分别为E1、E2,根据点电荷的场强计算公式可得：E1=E2=kqcos2/a2由平行四边形定则得，p点场强为E合=2E1sin=2kqcos2sin/a2欲判断p点合场强的变化，则应判断sincos2的变化情况，为此构造函数y=sincos2,判断其在（0，/2）区间内的变化情况。令sin=x,这有y=x(1-x2)=x-x3,关于y对x求导得：y=1-3x2当y/=0时，x=当0时，函数f（x）为单调递增函数；当0时，函数f（x）为单调递减函数。即当0arcsin时，E合为单调递增函数，arcsin/2时， E合单调递减函数。由此可以判断，从等量同种电荷连线的中点沿着中垂线合场强的大小先增大后减小，由于A、B两点位置的不确定性，故EA和EB有可能大小相等的，即选