例谈角平分线在高中数学解题中的应用

1、例谈角平分线在解析几何中的应用作者：马杰 工作单位： 安徽省宿州学院附属实验中学 邮编：234000角平分线是初中学过的基本知识，但它频繁出现在高中数学试题中，为了提高同学们解题能力，笔者现把它的基本用法给与归类如下：1 经常与等腰三角形、菱形等知识的结合使用，如等腰三角的三线合一定理、菱形的对角线平分一组对角等等；2 与向量的知识结合使用，如图1，OC是AOB的平分线，则直线OC的方向向量可以表示为；3 角是一个轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，然后再利用点的对称或直线的对称知识解题；4 利用三角形的内角平分线定理即比例性质解题，如图2在ABC中，AD是A的平分线，则利用相似三角

2、形或正弦定理很容易得： ；5利用角平分线性质解题定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上然后再使用点到直线距离的公式可以解题现举例如下：例、已知如图3，点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2平分线上的一点，且F1MMP，则OM的取值范围是_分析：利用M是F1PF2平分线上的一点，且F1MMP，得F1F2N是等腰三角形且判断OM是的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围。如图，延长PF2，F1M，交与N点

3、，PM是F1PF2平分线，且F1MMP，|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，连接OM，O为F1F2中点，M为F1F2中点|OM|=|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|在椭圆中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，|PF1|-|PF2|=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=|x0|P点在椭圆上，|x0|0，4，又当|x0|=4时，F1MMP不成立，|x0|0，4）|OM|0，2）例、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （

4、C）重心 （D）垂心分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过ABC的内心。例、(2011全国卷已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为（2，0），AM为F1AF2的平分线则|AF2| = 分析：由三角形的内角平分线性质定理得：故.例、如图4在ABC中，已知A（-1,5），B与C的平分线所在的直线方程为xy+2=0和y=2求BC所在的直线方程分析：因为BD、CE分别是B、C的平分线所以点A（-1,5）关于直线BD：xy+2=0的对称点A1（3，1）在

5、BC上；点A（-1,5）关于直线CE：y=2的对称点A2（,1）也在BC上。利用直线两点式方程得BC的直线方程是x2y1=0例5、已知在ABC中，A点坐标（-1，3），过B点的角平分线所在直线方程为2x-y=0，过C点的中线所在直线的方程为x+7y+5=0，求B点的坐标和BC边所在直线的方程。分析：例6、（2010·安徽卷）已知如图5，椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。(1求椭圆的方程；(2求的角平分线所在直线L的方程；分析：（1）设椭圆的方程为（），由题意，又，解得：椭圆的方程为 （2）方法1：由（1）问得，又，易得为直角三角形，其中设的角平分线所在直线L与x轴交于点，根据三角形内角平分线定理可知：，可得， 直线L的方程为：，即。方法2：利用角平分线的方向向量，由（1）问得，又，直线L的方程为：，即。方法：利用角平分