第2章 2.2 2.2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算

1、.2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目的：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示重点2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算重点3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题重点、难点自 主 预 习·探 新 知1向量的正交分解2向量的直角坐标1在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向一样的两个单位向量e1，e2，那么对任一向量a，存在唯一的有序实数对a1，a2，使得aa1e1a2e2，a1，a2就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即aa1，a22向量的坐标：设点A的坐标为x，y，那么x，y符号x，y在直角坐标系中有双

2、重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量3向量的直角坐标运算向量的加、减法设aa1，a2，bb1，b2，那么aba1b1，a2b2，aba1b1，a2b2，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积假设aa1，a2，R，那么aa1，a2，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标向量的起点Ax1，y1，终点Bx2，y2，那么x2x1，y2y1，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标考虑：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全一样吗？提示向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定一样，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才一样

3、根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1两个向量的终点不同，那么这两个向量的坐标一定不同2当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标3两向量差的坐标与两向量的顺序无关4点的坐标与向量的坐标一样解析1错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样2正确根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标3错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关4错误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于终点的坐标答案1×23×4×2a1，1，b3,0，那么3a2b等于A5,3B4，1C2，1 D3，3D3a2b31，123,03

4、，36,03，33向量ax3，x23x4与相等，其中A1,2，B3,2，那么x_.【导学号：79402079】解析易得2,0，由ax3，x23x4与相等得解得x1.答案1合 作 探 究·攻 重 难平面向量的坐标表示1A3,1，B2，1，那么的坐标是A2，1B2,1C1,2 D1，221,3，且点A2,5，那么点B的坐标为A1,8 B1,8C3,2 D3,2 3如图2­2­16，在正方形ABCD中，O为中心，且1，1，那么_；_；_.图2­2­16思路探究解析13,12，11,22设B的坐标为x，y，x，y2,5x2，y51,3，所以解得所以点B

5、的坐标为1,83如题干图，1，11,1，由正方形的对称性可知，B1，1，所以1，1，同理1,1答案1C2B31，11,11,1规律方法求点、向量坐标的常用方法：1求一个点的坐标：可利用条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标2求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标跟踪训练1点A2,4，a3,4，且2a，那么点B的坐标为_解析设B点坐标为x，y，那么x2，y423,46,8，解得所以B点的坐标为8,12答案8,12平面向量的坐标运算1设2,3，m，n，1,4，那么A1m,7n B1m，7nC1m,7n D1m

6、 ，7n2向量3，2，5，1，那么向量的坐标是A. B.C. D8,13假设A，B，C三点的坐标分别为2，4，0,6，8,10，求2，的坐标思路探究1可利用向量加法的三角形法那么将分解为来求解2可借助来求坐标3可利用xBxA，yByA来求解解析11,4m，n2,31m，7n2A8,1，.答案1B2A32,10，8,4，10,14，22,1028,42,1016,818,18，8,410,148,45,73，3规律方法平面向量坐标的线性运算的方法：(1)假设向量的坐标，那么直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法那么进展.(2)假设有向线段两端点的坐标，那么可先求出向量的坐标，然后再进展向量的坐

7、标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进展.跟踪训练2a1,2，b2,1，求：12a3b；2a3b；3ab.【导学号：79402080】解12a3b21,232,12,46,34,72a3b1,232,11,26,37，13ab1,22,1.向量坐标运算的综合应用探究问题1点O0,0，A1,2，B4,5，及t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？提示t1,2t3,313t,23t假设点P在x轴上，那么23t0，t.假设点P在y轴上，那么13t0，t.假设点P在第二象限，那么<t<.2对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？假设能，求出t

8、的值；假设不能，请说明理由提示1,2，33t,33t假设四边形OABP为平行四边形，那么，该方程组无解故四边形不能为平行四边形3在非平行四边形ABCD中，ABDC，且A，B，D三点的坐标分别为0,0，2,0，1,1，那么顶点C的横坐标的取值范围是什么？图2­2­17提示当ABCD为平行四边形时，那么2,01,13,1，故满足条件的顶点C的横坐标的取值范围是1,33，点A2,3，B5,4，C7,10假设AAAR，试求为何值时，1点P在一、三象限角平分线上；2点P在第三象限内思路探究先用表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解解设点P的坐标为x，y，那么Ax，y2,3

9、x2，y3，AA5,42,37,102,33,15,735，17AAA，那么1假设P在一、三象限角平分线上，那么5547，即时，点P在一、三象限角平分线上2假设点P在第三象限内，那么<1.即<1时，点P在第三象限内规律方法1解答此题可用待定系数法，此法是最根本的数学方法之一，本质是先将未知量设出来，建立方程组求出未知数的值，此方法是待定系数法的根本形式，也是方程思想的一种根本应用2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值跟踪训练3向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2­2­18所示，假设ca

10、b，R，那么_.【导学号：79402081】图2­2­18解析以向量a的终点为原点，以过该点的程度和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系图略，设一个小正方形网格的边长为1，那么a1,1，b6,2，c1，3由ca b，即1，31，16,2，得61，23，故2，那么4.答案4当 堂 达 标·固 双 基1点A1，3，的坐标为3,7，那么点B的坐标为A4,4B2,4C2,10 D2，10A设点B的坐标为x，y，由3,7x，y1，3x1，y33,7，得B4,42假设a2,1，b1,0，那么3a2b的坐标是A5,3 B4,3C8,3 D0，1B3a2b32,121,04,33假设向量1,2，3,4，那么A4,6 B4，6C2，2 D2,2A1,23,44,6应选A.4点A1,3，B4，1，那